Aufgaben zur Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme

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1. Welche der folgenden Systeme ist ein lineares Gleichungssystem? Markiere alle zutreffenden Antworten.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &2& = &a& + &b& + &c&\\\mathrm{II} &3& = &a& - &b& + &c&\\\mathrm{III} &1& = &&&&&c&\end{array}$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &x& + &y& = &2&\\\mathrm{II} &5& - &y& = &4&\end{array}$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &x& = &1\\\mathrm{II} &y& = &2\end{array}$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &x& = &0\\\mathrm{II} &x& = &2&\end{array}$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &\frac7x&-&\frac{12}y&=&\frac56\\\mathrm{II} &x&-&y& = &2\end{array}$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &-3& = &x& + &2y&\\\mathrm{II} &1& = &x^2& + &y&\end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungsystem
  Überlege dir, was ein lineares Gleichungssystem überhaupt ist:
  Mehrere Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen, nennt man Gleichungssystem.
  Wenn zusätzlich noch jede Variable höchstens mit dem Exponenten $1$ auftaucht, wird es Lineares Gleichungssystem genannt.
  Überprüfe nun die beiden Kriterien.
  Du erkennst, dass…
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &\frac7x&-&\frac{12}y&=&\frac56\\\mathrm{II} &x&-&y& = &2\end{array}$
  … kein Lineares Gleichungssystem ist, weil in der ersten Gleichung sowohl $x$ als auch $y$ den Exponenten $-1$ haben.
  Du erkennst weiter, dass…
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &-3& = &x& + &2y&\\\mathrm{II} &1& = &x^2& + &y&\end{array}$
  … kein Lineares Gleichungssystem ist, weil $x$ in der zweiten Gleichung mit dem Exponenten $2$ auftaucht.
  In allen anderen Fällen sind beide Kriterien erfüllt. Es handelt es sich somit um lineare Gleichungssysteme.
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2. Wie viele Lösungen hat folgendes lineares Gleichungssystem?
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &-3& = &x& + &2y&\\\mathrm{II} &1& = &x& + &2y&\end{array}$
  keine
  unendlich viele
  genau eine
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösbarbarkeit von Gleichungssystemen
  Du zeigst, dass die Gleichungen $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ nicht gleichzeitig erfüllt sein können. Dabei verwendest du am besten das Subtraktionsverfahren.
  Subtrahiere Gleichung $\mathrm{II}$ von Gleichung $\mathrm{I}$ .
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rlrl}\mathrm{I} - \mathrm{II} \;\rightarrow &-4 &= &0 \end{array}$
  Die Gleichung ist offensichtlich falsch. Damit ist auch das gegebene Gleichungssystem falsch und hat keine Lösung.
  Die Lösungsmenge ist somit $\mathbb{L}=\{\}$ .
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3. Wie viele Lösungen hat folgendes Gleichungssystem?
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &\frac{9}{2}x&-&\frac{3}{2}y&=&3\\\mathrm{II} &3x& = &2&+&y\end{array}$
  unendlich viele
  genau eine
  keine
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösbarkeit von Gleichungssystemen
  Du zeigst, dass die Gleichungen $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ äquivalent sind. Das heißt, jedes $x$ und $y$ , das Gleichung $\mathrm{I}$ löst, liefert auch für Gleichung $\mathrm{II}$ eine wahre Aussage.
  Eine Möglichkeit, dies zu zeigen, ist das Einsetzungsverfahren.
  Stelle zunächst Gleichung $\mathrm{II}$ nach y um.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{II} &3x& = &2&+&y &\vert -2\end{array}$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lrll}\mathrm{II}' &3x&-&2& = &y\end{array}$
  Setze nun $\mathrm{II}'$ in Gleichung $\mathrm{I}$ ein. Du erhältst die neue Gleichung $\mathrm{I'}$ .
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I'} &\frac{9}{2}x&-&\frac{3}{2}(3x - 2)&=&3\end{array}$
  Fasse die linke Seite der Gleichung zusammen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I'} &3&=&3\end{array}$
  Die Gleichung $\mathrm{I'}$ ist wahr und zwar unabhängig von $x$ . Es gibt also unendlich viele Lösungen.
  $\mathbb{L}=\{(x|y)|\;y=3x-2\}$
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4. Wie viele Lösungen hat folgendes lineares Gleichungssystem?
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &2x&+&y&=&\frac56\\\mathrm{II} &x&-&2y& = &2\end{array}$
  genau eine
  unendlich viele
  keine
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösbarkeit der Gleichungssysteme
  Ein lineares Gleichungssystem hat genau eine Lösung, wenn es eindeutig nach $x$ und $y$ aufgelöst werden kann.
  Um das herauszufinden, bietet sich das Einsetzungsverfahren an, da man zum Beispiel Gleichung $\mathrm{I}$ sehr einfach nach $y$ umstellen kann.
  Stelle zunächst Gleichung $\mathrm{I}$ nach $y$ um.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &2x&+&y& = &\frac{5}{6} & \vert -2x\end{array}$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I'} &y& = &\frac{5}{6}&-&2x\end{array}$
  Setze nun $\mathrm{I'}$ in Gleichung $\mathrm{II}$ ein. Du erhältst die neue Gleichung $\mathrm{II'}$ .
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{II'} &x&-&2(\frac56 - 2x)&=&2\end{array}$
  Fasse die linke Seite zusammen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{II'} &5x&-&\frac53&=&2\end{array}$
  Löse nach $x$ auf.
  $x = \frac{11}{15}$
  $x = \frac{11}{15}$ zum Beispiel in Gleichung $\mathrm{I}$ ein, um $y$ zu bestimmen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\mathrm{I} &2\cdot(\frac{11}{15})&+&y& = &\frac{5}{6}\end{array}$
  Löse nach $y$ auf.
  $y = -\frac{19}{30}$
  Es gibt also genau eine Lösung.
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2
Entscheide, ob die folgenden linearen Gleichungssysteme lösbar sind oder nicht. Fertige dafür eine Skizze der entsprechenden linearen Funktionen an.
1. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}(\text{I})& x &+& y &=& 5\\ (\text{II})& -2x &+& 3y &=& 6\end{array}$
  hat genau eine Lösung
  hat keine Lösung
  hat unendlich viele Lösungen
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme
  $(\text{I})$ nach $y$ auflösen
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}x + y &=& 5&|-x\\ y&=&-x+5\end{array}$
  $(\text{II})$ nach $y$ auflösen
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll} -2x + 3y &=& 6&|+2x\\3y&=&2x+6&|:3\\y&=&\frac 23x+2\end{array}$
  Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen
  Antwort
  Das lineare Gleichungssystem hat genaue eine Lösung, da sich die beiden Geraden im Punkt $S$ schneiden.
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  Löse zuerst die Gleichung $(\text{I})$ und $(\text{II})$ nach y auf und zeichne die entsprechenden Geraden in ein Koordinatensystem.
2. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}(\text{I})& 8x &+& 2y &=& 16\\ (\text{II})& 16x &+& 4y &=& 32\end{array}$
  hat genau eine Lösung
  hat keine Lösung
  hat unendlich viele Lösungen
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme
  $(\text{I})$ nach $y$ auflösen
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}8x + 2y &=& 16 &|-8x\\ 2y&=&-8x+16&|:2\\y&=&-4x+8\end{array}$
  $(\text{II})$ nach $y$ auflösen
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}16x + 4y &=& 32&|-16x\\4y&=&-16x+32&|:4\\y&=&-4x+8\end{array}$
  Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen
  Antwort
  Das lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.
  Die Gleichungen $(\text{I})$ und $(\text{II})$ beschreiben die gleiche lineare Funktion. Daher ist für jedes $x\in\mathbb{R}$ $(x|y)=(x|-4x+8)$ eine Lösung des linearen Gleichungssystems.
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  Löse zuerst die Gleichung $(\text{I})$ und $(\text{II})$ nach y auf und zeichne die entsprechenden Geraden in ein Koordinatensystem.
3. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}(\text{I})& 5x &-& 2y &=& 2\\ (\text{II})& 15x &-& 6y &=& -24\end{array}$
  hat genau eine Lösung
  hat keine Lösung
  hat unendlich viele Lösungen
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme
  $(\text{I})$ nach $y$ auflösen
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}5x - 2y &=& 2&|+2y-2\\5x-2&=&2y\\2y&=&5x-2&|:2\\y&=&\frac 52x-1\end{array}$
  $(\text{II})$ nach $y$ auflösen
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}15x - 6y &=& -24&|+6y+24\\15x+24&=&6y\\6y&=&15x+24&|:6\\y&=&\frac{15}{6}x+4\\y&=&\frac52x+4\end{array}$
  Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen
  Antwort
  Das lineare Gleichungssystem hat keine Lösung.
  Die entsprechenden Geraden, die sich aus dem linearen Gleichungssystem ergeben, sind zueinander parallel und schneiden sich nicht.
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  Löse zuerst die Gleichung $(\text{I})$ und $(\text{II})$ nach y auf und zeichne die entsprechenden Geraden in ein Koordinatensystem.
4. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}(\text{I})& 5x &+& 3y &=& 6\\ (\text{II})& -y &+& 7 &=& 0\end{array}$
  hat genau eine Lösung
  hat keine Lösung
  hat unendlich viele Lösungen
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme
  $(\text{I})$ nach $y$ auflösen
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll} 5x+ 3y &=& 6&|-5x\\3y&=&-5x+6&|:3\\y&=&-\frac 53 x+2\end{array}$
  $(\text{II})$ nach $y$ auflösen
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}-y + 7 &=& 0&|+y\\y&=&7\end{array}$
  Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen
  Antwort
  Das lineare Gleichungssystem hat genaue eine Lösung, da sich die beiden Geraden im Punkt $S$ schneiden.
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  Löse zuerst die Gleichung $(\text{I})$ und $(\text{II})$ nach y auf und zeichne die entsprechenden Geraden in ein Koordinatensystem.
5. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}(\text{I})& -3x &+& 4y &=& 10\\ (\text{II})& -x &+& 5y &=& 17{,}5\end{array}$
  hat genau eine Lösung
  hat keine Lösung
  hat unendlich viele Lösungen
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme
  $(\text{I})$ nach $y$ auflösen
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll} -3x + 4y &=& 10&|+3x\\4y&=&3x+10&|:4\\y&=&\frac34x+2{,}5\end{array}$
  $(\text{II})$ nach $y$ auflösen
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll} -x + 5y &=& 17{,}5&|+x\\5y&=&x+17{,}5&|:5\\y&=&\frac15x+3{,}5\end{array}$
  Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen
  Antwort
  Das lineare Gleichungssystem hat genaue eine Lösung, da sich die beiden Geraden im Punkt $S$ schneiden.
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  Löse zuerst die Gleichung $(\text{I})$ und $(\text{II})$ nach y auf und zeichne die entsprechenden Geraden in ein Koordinatensystem.
6. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}(\text{I})& x &+& 3y &=& 9\\ (\text{II})& -3x &+& 4y &=& 6\end{array}$
  hat genau eine Lösung
  hat keine Lösung
  hat unendlich viele Lösungen
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme
  $(\text{I})$ nach $y$ auflösen
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}x + 3y &=& 9&|-x\\3y&=&-x+9&|:3\\y&=&-\frac13x+3\end{array}$
  $(\text{II})$ nach $y$ auflösen
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll} -3x +4y &=& 6&|+3x\\4y&=&3x+6&|:4\\y&=&\frac 34x+1{,}5\end{array}$
  Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen
  Antwort
  Das lineare Gleichungssystem hat genaue eine Lösung, da sich die beiden Geraden im Punkt $S$ schneiden.
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  Löse zuerst die Gleichung $(\text{I})$ und $(\text{II})$ nach y auf und zeichne die entsprechenden Geraden in ein Koordinatensystem.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

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