Aufgaben zur Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme

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1. Welche der folgenden Systeme ist ein lineares Gleichungssystem? Markiere alle zutreffenden Antworten.
  $\begin{array}{rrll} I & 2 & = & a & + & b & + & c \\ II & 3 & = & a & - & b & + & c \\ III & 1 & = & c \end{array}$
  $\begin{array}{rrll} I & x & + & y & = & 2 \\ II & 5 & - & y & = & 4 \end{array}$
  $\begin{array}{rrll} I & x & = & 1 \\ II & y & = & 2 \end{array}$
  $\begin{array}{rrll} I & x & = & 0 \\ II & x & = & 2 \end{array}$
  $\begin{array}{rrll} I & \frac{7}{x} & - & \frac{12}{y} & = & \frac{5}{6} \\ II & x & - & y & = & 2 \end{array}$
  $\begin{array}{rrll} I & - 3 & = & x & + & 2 y \\ II & 1 & = & x^{2} & + & y \end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungsystem
  Überlege dir, was ein lineares Gleichungssystem überhaupt ist:
  Mehrere Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen, nennt man Gleichungssystem.
  Wenn zusätzlich noch jede Variable höchstens mit dem Exponenten $1$ auftaucht, wird es Lineares Gleichungssystem genannt.
  Überprüfe nun die beiden Kriterien.
  Du erkennst, dass…
  $\begin{array}{rrll} I & \frac{7}{x} & - & \frac{12}{y} & = & \frac{5}{6} \\ II & x & - & y & = & 2 \end{array}$
  … kein Lineares Gleichungssystem ist, weil in der ersten Gleichung sowohl $x$ als auch $y$ den Exponenten $- 1$ haben.
  Du erkennst weiter, dass…
  $\begin{array}{rrll} I & - 3 & = & x & + & 2 y \\ II & 1 & = & x^{2} & + & y \end{array}$
  … kein Lineares Gleichungssystem ist, weil $x$ in der zweiten Gleichung mit dem Exponenten $2$ auftaucht.
  In allen anderen Fällen sind beide Kriterien erfüllt. Es handelt es sich somit um lineare Gleichungssysteme.
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2. Wie viele Lösungen hat folgendes lineares Gleichungssystem?
  $\begin{array}{rrll} I & - 3 & = & x & + & 2 y \\ II & 1 & = & x & + & 2 y \end{array}$
  keine
  unendlich viele
  genau eine
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösbarbarkeit von Gleichungssystemen
  Du zeigst, dass die Gleichungen $I$ und $II$ nicht gleichzeitig erfüllt sein können. Dabei verwendest du am besten das Subtraktionsverfahren.
  Subtrahiere Gleichung $II$ von Gleichung $I$ .
  $\begin{aligned} I - II \to & - 4 & = & 0 \end{aligned}$
  Die Gleichung ist offensichtlich falsch. Damit ist auch das gegebene Gleichungssystem falsch und hat keine Lösung.
  Die Lösungsmenge ist somit $𝕃 = {}$ .
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3. Wie viele Lösungen hat folgendes Gleichungssystem?
  $\begin{array}{rrll} I & \frac{9}{2} x & - & \frac{3}{2} y & = & 3 \\ II & 3 x & = & 2 & + & y \end{array}$
  unendlich viele
  genau eine
  keine
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösbarkeit von Gleichungssystemen
  Du zeigst, dass die Gleichungen $I$ und $II$ äquivalent sind. Das heißt, jedes $x$ und $y$ , das Gleichung $I$ löst, liefert auch für Gleichung $II$ eine wahre Aussage.
  Eine Möglichkeit, dies zu zeigen, ist das Einsetzungsverfahren.
  Stelle zunächst Gleichung $II$ nach y um.
  $\begin{array}{rrll} II & 3 x & = & 2 & + & y & | - 2 \end{array}$
  $\begin{array}{lrll} {II}^{'} & 3 x & - & 2 & = & y \end{array}$
  Setze nun ${II}^{'}$ in Gleichung $I$ ein. Du erhältst die neue Gleichung $I^{'}$ .
  $\begin{array}{rrll} I^{'} & \frac{9}{2} x & - & \frac{3}{2} (3 x - 2) & = & 3 \end{array}$
  Fasse die linke Seite der Gleichung zusammen.
  $\begin{array}{rrll} I^{'} & 3 & = & 3 \end{array}$
  Die Gleichung $I^{'}$ ist wahr und zwar unabhängig von $x$ . Es gibt also unendlich viele Lösungen.
  $𝕃 = {(x | y) | y = 3 x - 2}$
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4. Wie viele Lösungen hat folgendes lineares Gleichungssystem?
  $\begin{array}{rrll} I & 2 x & + & y & = & \frac{5}{6} \\ II & x & - & 2 y & = & 2 \end{array}$
  genau eine
  unendlich viele
  keine
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösbarkeit der Gleichungssysteme
  Ein lineares Gleichungssystem hat genau eine Lösung, wenn es eindeutig nach $x$ und $y$ aufgelöst werden kann.
  Um das herauszufinden, bietet sich das Einsetzungsverfahren an, da man zum Beispiel Gleichung $I$ sehr einfach nach $y$ umstellen kann.
  Stelle zunächst Gleichung $I$ nach $y$ um.
  $\begin{array}{rrll} I & 2 x & + & y & = & \frac{5}{6} & | - 2 x \end{array}$
  $\begin{array}{rrll} I^{'} & y & = & \frac{5}{6} & - & 2 x \end{array}$
  Setze nun $I^{'}$ in Gleichung $II$ ein. Du erhältst die neue Gleichung $I I^{'}$ .
  $\begin{array}{rrll} I I^{'} & x & - & 2 (\frac{5}{6} - 2 x) & = & 2 \end{array}$
  Fasse die linke Seite zusammen.
  $\begin{array}{rrll} I I^{'} & 5 x & - & \frac{5}{3} & = & 2 \end{array}$
  Löse nach $x$ auf.
  $x = \frac{11}{15}$
  $x = \frac{11}{15}$ zum Beispiel in Gleichung $I$ ein, um $y$ zu bestimmen.
  $\begin{array}{rrll} I & 2 \cdot (\frac{11}{15}) & + & y & = & \frac{5}{6} \end{array}$
  Löse nach $y$ auf.
  $y = - \frac{19}{30}$
  Es gibt also genau eine Lösung.
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Entscheide, ob die folgenden linearen Gleichungssysteme lösbar sind oder nicht. Fertige dafür eine Skizze der entsprechenden linearen Funktionen an.
1. $\begin{array}{rcl} (I) & x & + & y & = & 5 \\ (II) & - 2 x & + & 3 y & = & 6 \end{array}$
  hat genau eine Lösung
  hat keine Lösung
  hat unendlich viele Lösungen
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme
  $(I)$ nach $y$ auflösen
  $\begin{array}{rcll} x + y & = & 5 & | - x \\ y & = & - x + 5 \end{array}$
  $(II)$ nach $y$ auflösen
  $\begin{array}{rcll} - 2 x + 3 y & = & 6 & | + 2 x \\ 3 y & = & 2 x + 6 & | : 3 \\ y & = & \frac{2}{3} x + 2 \end{array}$
  Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen
  Antwort
  Das lineare Gleichungssystem hat genaue eine Lösung, da sich die beiden Geraden im Punkt $S$ schneiden.
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  Löse zuerst die Gleichung $(I)$ und $(II)$ nach y auf und zeichne die entsprechenden Geraden in ein Koordinatensystem.
2. $\begin{array}{rcl} (I) & 8 x & + & 2 y & = & 16 \\ (II) & 16 x & + & 4 y & = & 32 \end{array}$
  hat genau eine Lösung
  hat keine Lösung
  hat unendlich viele Lösungen
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme
  $(I)$ nach $y$ auflösen
  $\begin{array}{rcll} 8 x + 2 y & = & 16 & | - 8 x \\ 2 y & = & - 8 x + 16 & | : 2 \\ y & = & - 4 x + 8 \end{array}$
  $(II)$ nach $y$ auflösen
  $\begin{array}{rcll} 16 x + 4 y & = & 32 & | - 16 x \\ 4 y & = & - 16 x + 32 & | : 4 \\ y & = & - 4 x + 8 \end{array}$
  Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen
  Antwort
  Das lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.
  Die Gleichungen $(I)$ und $(II)$ beschreiben die gleiche lineare Funktion. Daher ist für jedes $x \in ℝ$ $(x | y) = (x | - 4 x + 8)$ eine Lösung des linearen Gleichungssystems.
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  Löse zuerst die Gleichung $(I)$ und $(II)$ nach y auf und zeichne die entsprechenden Geraden in ein Koordinatensystem.
3. $\begin{array}{rcl} (I) & 5 x & - & 2 y & = & 2 \\ (II) & 15 x & - & 6 y & = & - 24 \end{array}$
  hat genau eine Lösung
  hat keine Lösung
  hat unendlich viele Lösungen
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme
  $(I)$ nach $y$ auflösen
  $\begin{array}{rcll} 5 x - 2 y & = & 2 & | + 2 y - 2 \\ 5 x - 2 & = & 2 y \\ 2 y & = & 5 x - 2 & | : 2 \\ y & = & \frac{5}{2} x - 1 \end{array}$
  $(II)$ nach $y$ auflösen
  $\begin{array}{rcll} 15 x - 6 y & = & - 24 & | + 6 y + 24 \\ 15 x + 24 & = & 6 y \\ 6 y & = & 15 x + 24 & | : 6 \\ y & = & \frac{15}{6} x + 4 \\ y & = & \frac{5}{2} x + 4 \end{array}$
  Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen
  Antwort
  Das lineare Gleichungssystem hat keine Lösung.
  Die entsprechenden Geraden, die sich aus dem linearen Gleichungssystem ergeben, sind zueinander parallel und schneiden sich nicht.
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  Löse zuerst die Gleichung $(I)$ und $(II)$ nach y auf und zeichne die entsprechenden Geraden in ein Koordinatensystem.
4. $\begin{array}{rcl} (I) & 5 x & + & 3 y & = & 6 \\ (II) & - y & + & 7 & = & 0 \end{array}$
  hat genau eine Lösung
  hat keine Lösung
  hat unendlich viele Lösungen
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme
  $(I)$ nach $y$ auflösen
  $\begin{array}{rcll} 5 x + 3 y & = & 6 & | - 5 x \\ 3 y & = & - 5 x + 6 & | : 3 \\ y & = & - \frac{5}{3} x + 2 \end{array}$
  $(II)$ nach $y$ auflösen
  $\begin{array}{rcl} - y + 7 & = & 0 & | + y \\ y & = & 7 \end{array}$
  Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen
  Antwort
  Das lineare Gleichungssystem hat genaue eine Lösung, da sich die beiden Geraden im Punkt $S$ schneiden.
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  Löse zuerst die Gleichung $(I)$ und $(II)$ nach y auf und zeichne die entsprechenden Geraden in ein Koordinatensystem.
5. $\begin{array}{rcl} (I) & - 3 x & + & 4 y & = & 10 \\ (II) & - x & + & 5 y & = & 17,5 \end{array}$
  hat genau eine Lösung
  hat keine Lösung
  hat unendlich viele Lösungen
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme
  $(I)$ nach $y$ auflösen
  $\begin{array}{rcll} - 3 x + 4 y & = & 10 & | + 3 x \\ 4 y & = & 3 x + 10 & | : 4 \\ y & = & \frac{3}{4} x + 2,5 \end{array}$
  $(II)$ nach $y$ auflösen
  $\begin{array}{rcll} - x + 5 y & = & 17,5 & | + x \\ 5 y & = & x + 17,5 & | : 5 \\ y & = & \frac{1}{5} x + 3,5 \end{array}$
  Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen
  Antwort
  Das lineare Gleichungssystem hat genaue eine Lösung, da sich die beiden Geraden im Punkt $S$ schneiden.
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  Löse zuerst die Gleichung $(I)$ und $(II)$ nach y auf und zeichne die entsprechenden Geraden in ein Koordinatensystem.
6. $\begin{array}{rcl} (I) & x & + & 3 y & = & 9 \\ (II) & - 3 x & + & 4 y & = & 6 \end{array}$
  hat genau eine Lösung
  hat keine Lösung
  hat unendlich viele Lösungen
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungssysteme
  $(I)$ nach $y$ auflösen
  $\begin{array}{rcll} x + 3 y & = & 9 & | - x \\ 3 y & = & - x + 9 & | : 3 \\ y & = & - \frac{1}{3} x + 3 \end{array}$
  $(II)$ nach $y$ auflösen
  $\begin{array}{rcll} - 3 x + 4 y & = & 6 & | + 3 x \\ 4 y & = & 3 x + 6 & | : 4 \\ y & = & \frac{3}{4} x + 1,5 \end{array}$
  Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen
  Antwort
  Das lineare Gleichungssystem hat genaue eine Lösung, da sich die beiden Geraden im Punkt $S$ schneiden.
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  Löse zuerst die Gleichung $(I)$ und $(II)$ nach y auf und zeichne die entsprechenden Geraden in ein Koordinatensystem.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

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(I) nach y auflösen

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