Aufgaben zur Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme

Überlege dir, was ein lineares Gleichungssystem überhaupt ist:

• Mehrere Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen, nennt man Gleichungssystem.

• Wenn zusätzlich noch jede Variable höchstens mit dem Exponenten $11$ auftaucht, wird es Lineares Gleichungssystem genannt.

Überprüfe nun die beiden Kriterien.

In allen anderen Fällen sind beide Kriterien erfüllt. Es handelt es sich somit um lineare Gleichungssysteme.

Du zeigst, dass die Gleichungen $\mathrm{I}\backslash mathrm\{I\}$ und $\mathrm{I}\mathrm{I}\backslash mathrm\{II\}$ nicht gleichzeitig erfüllt sein können. Dabei verwendest du am besten das Subtraktionsverfahren.

Die Lösungsmenge ist somit $\mathbb{L}=\{\}\backslash mathbb\{L\}=\backslash \{\backslash \}$.

Du zeigst, dass die Gleichungen $\mathrm{I}\backslash mathrm\{I\}$ und $\mathrm{I}\mathrm{I}\backslash mathrm\{II\}$ äquivalent sind. Das heißt, jedes $xx$ und $yy$, das Gleichung $\mathrm{I}\backslash mathrm\{I\}$ löst, liefert auch für Gleichung $\mathrm{I}\mathrm{I}\backslash mathrm\{II\}$ eine wahre Aussage.

Eine Möglichkeit, dies zu zeigen, ist das Einsetzungsverfahren.

Die Gleichung ${\mathrm{I}}^{\mathrm{\prime }}\backslash mathrm\{I\text{'}\}$ ist wahr und zwar unabhängig von $xx$. Es gibt also unendlich viele Lösungen.

$\mathbb{L}=\{(x\mathrm{\mid }y)\mathrm{\mid }y=3x-2\}\backslash mathbb\{L\}=\backslash \{(x|y)|\backslash ;y=3x-2\backslash \}$

Ein lineares Gleichungssystem hat genau eine Lösung, wenn es eindeutig nach $xx$ und $yy$ aufgelöst werden kann.

Um das herauszufinden, bietet sich das Einsetzungsverfahren an, da man zum Beispiel Gleichung $\mathrm{I}\backslash mathrm\{I\}$ sehr einfach nach $yy$ umstellen kann.

Es gibt also genau eine Lösung.

$(\text{I})(\backslash text\{I\})$ nach $yy$ auflösen

$(\text{II})(\backslash text\{II\})$ nach $yy$ auflösen

Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen

Antwort

Das lineare Gleichungssystem hat genaue eine Lösung, da sich die beiden Geraden im Punkt $SS$ schneiden.

$(\text{I})(\backslash text\{I\})$ nach $yy$ auflösen

$(\text{II})(\backslash text\{II\})$ nach $yy$ auflösen

Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen

Antwort

Das lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.

Die Gleichungen $(\text{I})(\backslash text\{I\})$ und $(\text{II})(\backslash text\{II\})$ beschreiben die gleiche lineare Funktion. Daher ist für jedes $x\in \mathbb{R}x\backslash in\backslash mathbb\{R\}$ $(x\mathrm{\mid }y)=(x\mathrm{\mid }-4x+8)(x|y)=(x|-4x+8)$ eine Lösung des linearen Gleichungssystems.

$(\text{I})(\backslash text\{I\})$ nach $yy$ auflösen

$(\text{II})(\backslash text\{II\})$ nach $yy$ auflösen

Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen

Antwort

Das lineare Gleichungssystem hat keine Lösung.

Die entsprechenden Geraden, die sich aus dem linearen Gleichungssystem ergeben, sind zueinander parallel und schneiden sich nicht.

$(\text{I})(\backslash text\{I\})$ nach $yy$ auflösen

$(\text{II})(\backslash text\{II\})$ nach $yy$ auflösen

Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen

Antwort

Das lineare Gleichungssystem hat genaue eine Lösung, da sich die beiden Geraden im Punkt $SS$ schneiden.

$(\text{I})(\backslash text\{I\})$ nach $yy$ auflösen

$(\text{II})(\backslash text\{II\})$ nach $yy$ auflösen

Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen

Antwort

Das lineare Gleichungssystem hat genaue eine Lösung, da sich die beiden Geraden im Punkt $SS$ schneiden.

$(\text{I})(\backslash text\{I\})$ nach $yy$ auflösen

$(\text{II})(\backslash text\{II\})$ nach $yy$ auflösen

Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen

Antwort

Das lineare Gleichungssystem hat genaue eine Lösung, da sich die beiden Geraden im Punkt $SS$ schneiden.