Aufgaben zu Extremwerten - lernen mit Serlo!

Aus einem diagonal halbierten DIN A4 Blatt soll entsprechend der Zeichnung ein möglichst großflächiges Rechteck geschnitten werden.

Finde die Breite a, für die der Flächeninhalt des Rechtecks maximal ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe

Stelle die allgemeine Flächenformel eines Rechtecks auf.

$\mathrm A=\mathrm a\cdot\mathrm b$

Bestimme b. Benutze dazu, dass das ganze Dreieck ähnlich zu dem schraffierten Dreieck ist und berechne mit dem SWS-Satz (oder: Strahlensatz V-Figur) die Seite b.

$\displaystyle \frac{\mathrm{b}}{\left(21-\mathrm{a}\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{29{,}7}{21}$
	↓	Löse nach b auf.
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \frac{29{,}7}{21}\cdot\left(21-\mathrm{a}\right)$
	↓	Setze b in die allgemeine Form für den Flächeninhalt des Rechtecks ein.
$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle \mathrm{a}\cdot\frac{29{,}7}{21}\cdot\left(21-\mathrm{a}\right)$
	$=$	$\displaystyle \mathrm{a}\left(29{,}7-\frac{29{,}7}{21}\mathrm{a}\right)$
	$=$	$\displaystyle 29{,}7\mathrm{a}-\frac{29{,}7}{21}\mathrm{a}^2$

Dies ist nun die Formel für den Flächeninhalt des Rechtecks in Abhängigkeit von a.

Bestimme nun den maximalen Flächeninhalt.

Da es sich um eine nach unten geöffnete Parabel handelt, liegt das Maximum der Funktion bei ihrem Scheitelpunkt .

Dieser liegt genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen.

Bestimme die Nullstellen der Funktion.

$\displaystyle -\frac{29{,}7}{21}\mathrm{a}^2+29{,}7\mathrm{a}$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \mathrm{a}\left(29{,}7-\frac{29{,}7}{21}\mathrm{a}\right)$	$=$	$\displaystyle 0$

Betrachte die beiden Faktoren getrennt. Betrachte zuerst den 1. Faktor:

$\Rightarrow\;\;{\mathrm a}_1=0$

Betrachte den 2. Faktor:

$\displaystyle 29{,}7-\frac{29{,}7}{21}\mathrm{a}$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +\frac{29{,}7}{21}a$
$\displaystyle 29{,}7$	$=$	$\displaystyle \frac{29{,}7}{21}\mathrm{a}$	$\displaystyle :\frac{29{,}7}{21}$

$\Rightarrow\;\;{\mathrm a}_2=21$

Bestimme die Stelle, an der der Scheitelpunkt liegt (Mitte der Nullstellen).

$\Rightarrow$ Scheitel bei $\mathrm a=10{,}5$

Formuliere einen Antwortsatz.

Für $\mathrm a=10{,}5$ wird der Flächeninhaltdes Rechtecks maximal.

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