Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 2

Gegeben:

$x=0x=0$ ist die einzige Nullstelle von f, da der Quotient ${\displaystyle \frac{4x}{(x+1{)}^2}}\backslash displaystyle\; \backslash frac\{4x\}\{(x+1)^2\}$ nur Null wird, wenn der Zähler $00$ ist.

Formale Berechnung der Nullstelle(n):

Angabe der senkrechten Asymptote von $G_{f}G\_f$:

Die Funktion $ff$ hat (nur) für $x=-1x=-1$ einen (geraden) Pol. Die Gleichung der senkrechten Asymptote des Graphen $G_{f}G\_f$ lautet also $x=-1.x\; =\; -1.$

Formaler Nachweis des Polverhaltens der Funktion $ff$:

linksseitige Annäherung an $x=-1x=-1$:

rechtsseitige Annäherung an $x=-1x=-1$:

${\displaystyle \underset{h\to 0}{\lim }f(-1+h)={\displaystyle \underset{h\to 0}{\lim }\frac{\stackrel{\text{negativ}\to -4}{\overbrace{4(-1+h)}}}{\underset{\text{positiv}\to +0}{\underbrace{(+h{)}^2}}}=-\mathrm{\infty }}}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{h\backslash to\; 0\}\; f(-1\; +h)=\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{h\; \backslash to\; 0\}\; \backslash frac\{\backslash overbrace\{4(-1+h)\}^\{\backslash text\{negativ\}\backslash to-4\}\}\{\backslash underbrace\{(+h)^2\}\_\{\backslash text\{positiv\}\backslash to+0\}\}=-\backslash infty$

Das rechnerische Ergebnis der beidseitigen Annäherung an die Stelle $x=-1x=-1$ bestätigt das Vorliegen einer geraden Polstelle mit $f(x)\to -\mathrm{\infty }f(x)\backslash to\; -\backslash infty$.

Begründung der waagrechten Asymptote $y=0y=0$ für $x\to \pm \mathrm{\infty }x\backslash to\; \backslash pm\backslash infty$:

Die Funktion $ff$ ist eine echt gebrochen rationale Funktion (der Grad des Zählers ist 1; der Grad des Nenners ist 2) und der Graph hat deshalb die x-Achse als waagrechte Asymptote.

Eine rechnerische Grenzwertüberlegung führst du folgendermaßen durch:

Es gilt:

$f(x)={\displaystyle \frac{4x}{(x+1{)}^2}=\frac{4x}{x^2+2x+1}}f(x)=\backslash displaystyle\; \backslash frac\{4x\}\{(x+1)^2\}=\backslash frac\{4x\}\{x^2+2x+1\}$

Du kannst jetzt beide Grenzwertbetrachtungen (für $x\to +\mathrm{\infty }x\backslash to\; +\backslash infty$ und für $x\to -\mathrm{\infty }x\backslash to\; -\; \backslash infty$) "in einem Zug" durchführen:

In der Teilaufgabe ist Lage und die Art des Extremums des Graphen $G_{f}G\_f$ der gebrochenrationalen Funktion $ff$ zu bestimmen. Dazu verwendest du die Quotientenregel und die Kettenregel.

Lage des Extremums

Bilde die 1. Ableitung der Funktion $ff$.

Zur Berechnung der Ableitung kannst du die Quotientenregel benutzen.

Gegeben ist:

$f(x)={\displaystyle \frac{4x}{(x+1{)}^2};D_f=\mathrm{R}\setminus \{-1\}\Rightarrow }f(x)=\backslash displaystyle\; \backslash frac\{4x\}\{(x+1)^2\};\; \backslash ;D\_f=\backslash mathrm\{R\}\backslash setminus\{\backslash \{-1\backslash \}\}\backslash quad\; \backslash Rightarrow$

Setze $f^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)$ gleich Null und löse die Gleichung:

Setze $x=1x=1$ in $f(x)f(x)$ ein, um die 2. Koordinate des möglichen Extremums zu erhalten:

$f(1)={\displaystyle \frac{4\cdot 1}{(1+1{)}^2}=1}f(1)=\backslash displaystyle\; \backslash frac\; \{4\backslash cdot1\}\{(1+1)^2\}=1$

Der Punkt $M(1\mathrm{\mid }1)M(1|1)$ ist ein mögliches lokales Extremum von $G_{f}G\_f$.

Art des Extremums

$M(1\mathrm{\mid }1)M(1|1)$ ist ein lokales Maximum.

Begründung:

Es ist $f(0)=0f(0)=0$ die einzige Nullstelle und für alle positiven $xx$ ist $f(x)f(x)$ positiv mit ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=0}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{x\backslash to\; +\backslash infty\}f(x)=0$. Dann ist die einzige Stelle mit waagrechter Tangente ein lokales Maximum des Graphen.

Alternative Begründung

Du kannst auch den Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung heranziehen:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=4\cdot {\displaystyle \frac{1-x}{(x+1{)}^3}}f\text{'}(x)=4\backslash cdot\backslash displaystyle\; \backslash frac\{1-x\}\{(x+1)^3\}$

Für ein $x_{0}x\_0$ (etwas) kleiner als $11$ gilt $f^{\mathrm{\prime }}(x_0)>0f\text{'}(x\_0)>0$, da dann Zähler und Nenner positiv.

Für ein $x_{0}x\_0$ (etwas) größer als $11$ gilt , da der Zähler dann negativ, der Nenner aber positiv ist.

Damit wechseln die Funktionswerte von $f^{\mathrm{\prime }}f\text{'}$ beim Durchgang von links nach rechts bei $x=1x=1$ ihr Vorzeichen von plus nach minus.

Für $x=1x=1$ ergibt sich also ein lokales Maximum.

Zur Ermittlung der Art des Punktes mit waagrechter Tangente kannst du - notfalls - auch die 2. Ableitung von $ff$ heranziehen.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle 4\cdot \frac{1-x}{(x+1{)}^3}}f\text{'}(x)=\backslash displaystyle\; 4\backslash cdot\backslash frac\{1-x\}\{(x+1)^3\}\backslash quad$

Setze die x-Koordinate des Punktes $M(1\mathrm{\mid }1)M(1|1)$ in $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}\text{'}(x)$ ein:

$M(1\mathrm{\mid }1)M(1|1)$ ist ein lokales Maximum.

Mit $f(x)={\displaystyle \frac{4x}{(x+1{)}^2}}\backslash ;f(x)=\backslash displaystyle\; \backslash frac\{4x\}\{(x+1)^2\}$ ist für negative $xx$ der Funktionsterm negativ, da der Zähler dann negativ, der Nenner aber positiv ist.

Der Graph $G_{f}G\_f$ verläuft also für negative x-Werte im III. Quadranten.

Für die gewählten Punkte mit $x=-\mathrm{0,5}x=-0\{,\}5$, $x=-3x=-3$, $x=-4x=-4$ und $x=-6x=-6$ erhältst du:

$f(-\mathrm{0,5})=-8,f(-0\{,\}5)=-8,\backslash ;$$f(-3)=-3f(-3)=-3$$f(-4)\approx -\mathrm{1,78},f(-4)\backslash approx-1\{,\}78\backslash ,,$$f(-6)=-\mathrm{0,96}f(-6)=-0\{,\}96$

Der Graph $G_{f}G\_f$ mit den Punkten $A,B,C,DA,B,C,D$

Gegeben ist die Funktion

mit $D_F=]-1;+\mathrm{\infty }[D\_F=]-1;+\backslash infty[$

$FF$ ist dann für $x>-1x>-1$ eine Stammfunktion, wenn für dieses Intervall gilt: $F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)F\text{'}(x)=f(x)$.

Damit ist gezeigt, dass $FF$ für $x>-1x>-1$ eine Stammfunktion von $ff$ ist.

Zu berechnen ist $f(x)\backslash ,f(x)$ für $x=\mathrm{0,5}x=0\{,\}5$ und anzugeben ist das Maximum von $ff$ in der Einheit $\frac{mg}{l}\backslash frac\{mg\}\{l\}$.

$f(\mathrm{0,5})={\displaystyle \frac{4\cdot \mathrm{0,5}}{(\mathrm{0,5}+1{)}^2}\approx \mathrm{0,89}}f(0\{,\}5)=\backslash displaystyle\; \backslash frac\{4\backslash cdot\; 0\{,\}5\}\{(0\{,\}5+1)^2\}\backslash approx0\{,\}89$.

Ergebnis:

30 Minuten nach Einnahme einer Tablette beträgt die Wirkstoffkonzentration des Medikaments rund $\mathrm{0,89}\frac{mg}{l}0\{,\}89\backslash ,\backslash frac\{mg\}\{l\}$.

Die maximale Wirkstoffkonzentration wird im Extremum des Graphen von $ff$, also nach einer Stunde mit einer Konzentration von $1\frac{mg}{l}1\backslash ,\backslash frac\{mg\}\{l\}$ erreicht.

f)

(3 BE)

Den Nachweis, dass für $x=2x=2$ der Graph $G_{f}G\_f$ einen Wendepunkt hat, führst du rechnerisch indem du die 2. Ableitung von $ff$ berechnest und feststellst, dass diese für $x=2x=2$ Null wird. Zusätzlich zeigst du, dass die 2. Ableitung für $x=2x=2$ ihr Vorzeichen wechselt oder du überprüfst, ob die 3. Ableitung von $ff$ für $x_{2}x\_2$ von Null verschieden ist.

Im Sachzusammenhang der Aufgabe gibt die x-Koordinate des Wendepunkts die größte lokale Änderungsrate an. Also ist nach 2 Stunden der Zeitpunkt der maximalen Abnahme der Wirkstoffkonzentration erreicht.

Die Aufgabe zielt auf die Untersuchung, ob der Grenzwert ${\displaystyle \underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }A(b)}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{b\backslash to\backslash infty\}A(b)$ endlich ist.

Berechne jetzt den Grenzwert für $b\to +\mathrm{\infty }b\backslash to+\backslash infty$:

${\displaystyle \underset{b\to +\mathrm{\infty }}{\lim }A(b)=\underset{b\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(4\cdot \underset{\to +\mathrm{\infty }}{\underbrace{\ln (b+1)}}+\frac{4}{\underset{\to 0}{\underbrace{b+1}}}-4)=+\mathrm{\infty }}\backslash displaystyle\backslash lim\_\{b\backslash to\; +\backslash infty\}A(b)\; =\backslash lim\_\{b\backslash to\; +\; \backslash infty\}(4\backslash cdot\; \backslash underbrace\{\backslash ln(b+1)\}\_\{\backslash to\; +\; \backslash infty\}+\backslash frac\{4\}\{\backslash underbrace\{b+1\}\_\{\backslash to\; 0\}\}-4)\; =+\backslash infty$

Ergebnis:

Da der Flächeninhalt $A(b)A(b)$ bei $b\to +\mathrm{\infty }b\backslash to\; +\backslash infty$ nicht endlich ist, eignet sich die Funktion $ff$ nicht als Modellierung für große Zeitwerte.

h)

(4 BE)

Du musst feststellen, ab welchem x-Wert die Funktion $ff$ in ihrem monoton fallenden Bereich kleiner als $\mathrm{0,75}0\{,\}75$ wird.

Schneide dazu den Graphen von $ff$ mit der Geraden $y=\mathrm{0,75}y=0\{,\}75$.

$x_2=\frac{1}{3}x\_2=\backslash frac13$ scheidet aus, da hierfür $ff$ steigend ist.

Ergebnis:

Die zweite Tablette muss nach spätestens drei Stunden eingenommen werden.

Siehe die nachfolgende Zeichnung.

i)

(3 BE)

Der passende Term ist der Term $f(x)+f(x-\mathrm{2,5})f(x)+f(x-2\{,\}5)$.

Begründung:

Im Intervall$x\in [\mathrm{2,5};9]\backslash ;x\backslash in[2\{,\}5;9]\backslash ,$ wird die gemeinsame Wirkstoffkonzentration beider Tabletten durch die Summe der Funktion $ff$ und der um 2,5-Längeneinheiten nach rechts verschobenen Funktion von $ff$ erfasst.

j)

(4 BE)

Du zeigst, dass der Graph von $kk$ streng monoton steigend ist, indem du nachweist, dass $k^{\mathrm{\prime }}(x)>0k\text{'}(x)>0$ für alle $x\in \mathbb{R}x\backslash in\backslash mathbb\{R\}$.

Bilde mit Hilfe der Quotientenregel und der Kettenregel die 1. Ableitung von $kk$.

${\displaystyle k(x)=\frac{3\cdot e^{2x}}{e^{2x}+1}-\mathrm{1,5}\Rightarrow }\backslash displaystyle\; k(x)=\backslash frac\{3\backslash cdot\; e^\{2x\}\}\{e^\{2x\}+1\}-1\{,\}5\backslash quad\backslash Rightarrow$

Begründung:

$k^{\mathrm{\prime }}(x)k\text{'}(x)$ ist für alle $x\in \mathbb{R}x\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}\backslash ;$positiv, da - unter Beachtung des positiven Verlaufs von $e^{2x}e^\{2x\}$ Zähler und Nenner des Quotienten positiv sind.

Folglich ist der Graph von $kk$ in $\mathbb{R}\backslash mathbb\{R\}$ streng monoton steigend.

k)

(5 BE)

Darum geht es:

Wirkstoffkonzentration "spätestens nach 1 Stunde dauerhaft größer als $\mathrm{0,75}\frac{mg}{l}0\{,\}75\backslash ,\backslash frac\{mg\}\{l\}$" bedeutet,du musst zeigen, dass $k(x)k(x)$ größer als $\mathrm{0,75}\frac{mg}{l}0\{,\}75\; \backslash ,\backslash frac\{mg\}\{l\}$ für alle $x>1x>1$ ist.

Wirkstoffkonzentration "stets mindestens 25% unter der schädlichen Grenze von $2\frac{mg}{l}2\backslash ,\backslash frac\{mg\}\{l\}$" bedeutet, zu keiner Zeit $xx$ darf eine Konzentration von $\mathrm{0,75}\cdot 2\frac{mg}{l}=\mathrm{1,5}\frac{mg}{l}0\{,\}75\backslash cdot\; 2\backslash ,\backslash frac\{mg\}\{l\}=1\{,\}5\backslash frac\{mg\}\{l\}$ erreicht werden.

Zusammenfassend ist zu zeigen, dass für gilt .

Zunächst gilt:

$k(1)={\displaystyle \frac{3\cdot e^{2\cdot 1}}{e^{2\cdot 1}+1}-\mathrm{1,5}\approx \mathrm{1,14}>\mathrm{0,75}}k(1)=\backslash displaystyle\; \backslash frac\{3\backslash cdot\; e^\{2\backslash cdot\; 1\}\}\{e^\{2\backslash cdot\; 1\}+1\}-1\{,\}5\backslash ;\backslash approx\backslash ;1\{,\}14\backslash ;\backslash color\{red\}\{>\}\backslash ;0\{,\}75$

Da $kk$ monoton steigend ist, musst du noch den Grenzwert ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }k(x)}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{x\backslash to+\backslash infty\}k(x)$ berechnen.

Ergebnis:

Die Rechenergebnisse bestätigen und die Graphik unterstreicht, dass die Modellierung der Dauerinfusion durch die gegebene Funktion $kk$ die gestellten Bedingungen erfüllt.