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Geometrie, Teil B, Aufgabengruppe 2

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Die Abbildung zeigt den Würfel ABCDEFGHABCDEFGH mit A(000)A(0|0|0) und G(555)G(5|5|5) in einem kartesischen Koordinatensystem. Die Ebene TT schneidet die Kanten des Würfels unter anderem in den Punkten I(501)I(5|0|1), J(250)J(2|5|0), K(052)K(0|5|2) und L(105)L(1|0|5).

    Würfel

    Teilaufgabe a)

    (4 BE)

    Zeichnen Sie das Viereck IJKLIJKL in die Abbildung ein und zeigen Sie, dass es sich um ein Trapez handelt, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind.

    Teilaufgabe b)

    (3 BE)

    Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene TT in Normalenform.

    (zur Kontrolle: T:5x1+4x2+5x330=0T:5x_1+4x_2+5x_3-30=0)

    Für aR+a\in\mathbb{R}^+ ist die Gerade gag_a:  x=(2,503,5)+λ(010a2a)\;\overrightarrow{x}= \begin{pmatrix}2{,}5\\0\\3{,}5 \end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}0\\-10a\\\frac{2}{a}\end{pmatrix} mit λR\lambda\in \mathbb{R} gegeben.

    Teilaufgabe c)

    (3 BE)

    Bestimmen Sie den Wert von aa so, dass die Gerade gag_a die Würfelfläche CDHGCDHG in ihrem Mittelpunkt schneidet.

    Für jedes aR+a\in\mathbb{R}^+ liegt die Gerade gag_a in der Ebene UU mit der Gleichung x1=2,5x_1=2{,}5.

    Teilaufgabe d)

    (2 BE)

    Ein beliebiger Punkt P(p1p2p3)P(p_1|p_2|p_3) des Raums wird an der Ebene UU gespiegelt. Geben Sie die Koordinaten des Bildpunkts PP' in Abhängigkeit von p1p_1, p2p_2 und p3p_3 an.

    Teilaufgabe e)

    (4 BE)

    Spiegelt man die Ebene TT an UU, so erhält man die von TT verschiedene Ebene TT'. Zeigen Sie, dass für einen bestimmten Wert von aa die Gerade gag_a in der Ebene TT liegt, und begründen Sie, dass diese Gerade gag_a die Schnittgerade von TT und TT' ist.

    Teilaufgabe f)

    (4 BE)

    Die Spitze einer Pyramide mit der Grundfläche IJKLIJKL liegt auf der Kante [FG][FG]. Untersuchen Sie, ob die Höhe dieser Pyramide 22 betragen kann.


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