Aufgaben zu linearen Funktionen, Nullstellen, Achsenschnittpunkten u.a.

Zeichne die Geraden $\mathrm y=3\mathrm x-2$ und $\mathrm y=-\frac34\mathrm x+1$ in ein Koordinatensystem. Bestimme die Nullstellen und den Schnittpunkt der Geraden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen

Zeichne die Graphen

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/4905_6fWpNpSnfx.xml

Bestimmung der Nullstellen

$\mathrm y=3\mathrm x-2$

Setze y=0 um die Nullstelle zu bestimmen. Denn an der Stelle, an der y=0, schneidet die Gerade die x-Achse.

$\displaystyle 3x-2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle \mathrm{x}_{\mathrm{N1}}$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}$
	↓	Die erste Gerade hat bei $\mathrm{x}_{\mathrm{N}}=\frac{2}{3}$ eine Nullstelle.

Gehe für die zweite Gerade genauso vor.

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{4}\mathrm{x}+1$
	↓	Setze y=0 um die Nullstelle zu bestimmen.
$\displaystyle -\frac{3}{4}\mathrm{x}+1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle -\frac{3}{4}x$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :\left(-\frac{3}{4}\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{\frac{3}{4}}$
	↓	Du dividierst durch einen Bruch $\rightarrow$ Multipliziere mit dem Kehrwert
$\displaystyle \mathrm{x}_{\mathrm{N2}}$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{3}$
	↓	Die zweite Gerade hat bei $\mathrm x_\mathrm N=\frac43$ eine Nullstelle.

Bestimmung des Schnittpunkts

Setze die beiden Funktionsgleichungen gleich. Die Geraden schneiden sich dort, wo beide an der gleichen x-Stelle denselben y-Wert haben.

$\displaystyle 3\mathrm{x}-2$	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{4}\mathrm{x}+1$	$\displaystyle +\frac{3}{4}x\ +2$
$\displaystyle 3\mathrm{x}+\frac{3}{4}\mathrm{x}$	$=$	$\displaystyle 1+2$
$\displaystyle 3{,}75x$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle :3{,}75$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{3{,}75}$
$\displaystyle \mathrm{x}_{\mathrm{S}}$	$=$	$\displaystyle 0{,}8$
	↓	Setze $x_S$ in eine der beiden Funktionen ein.
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 3\cdot0{,}8-2$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 2{,}4-2$
$\displaystyle \mathrm{y}_{\mathrm{S}}$	$=$	$\displaystyle 0{,}4$

$\;\;\Rightarrow\;\;S\left(0{,}8\vert0{,}4\right)$

Der Schnittpunkt liegt bei $S\left(0{,}8\vert0{,}4\right)$ .

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