${\int }_{}^{}f\left(x\right)\mathrm{d}x={\int }_{}^{}\frac{1}{x\cdot \ln x}\mathrm{d}x\backslash int\_\{\; \}^\{\; \}f\backslash left(x\backslash right)\backslash mathrm\{d\}x=\backslash int\_\{\; \}^\{\; \}\backslash frac\{1\}\{x\backslash cdot\backslash ln\; x\}\backslash mathrm\{d\}x$

Du kannst den Bruchterm in zwei Bruchterme aufspalten, da es sich um ein Produkt von Brüchen handelt.

${\int }_{}^{}\frac{1}{x\cdot \ln x}\mathrm{d}x={\int }_{}^{}\frac{1\cdot 1}{x\cdot \ln x}\mathrm{d}x={\int }_{}^{}\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{\ln x}\backslash int\_\{\; \}^\{\; \}\backslash frac\{1\}\{x\backslash cdot\backslash ln\; x\}\backslash mathrm\{d\}x=\backslash int\; \_\{\; \}^\{\; \}\backslash frac\{1\backslash cdot\; 1\}\{x\backslash cdot\; \backslash ln\; x\}\backslash mathrm\{d\}x=\backslash int\; \_\{\; \}^\{\; \}\backslash frac\{1\}\{x\}\backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{\backslash ln\; x\}$

Ziehe $\frac{1}{x}\backslash frac\; 1\; x$ in den Zähler, damit ein Bruch der Form $\frac{f^{\mathrm{\prime }}(x)}{f(x)}\backslash frac\{f\text{'}(x)\}\{f(x)\}$ entsteht.

${\int }_{}^{}\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{\ln x}={\int }_{}\frac{\frac{1}{x}}{\ln x}\mathrm{d}x\backslash int\; \_\{\; \}^\{\; \}\backslash frac\{1\}\{x\}\backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{\backslash ln\; x\}=\backslash int\_\{\}\backslash frac\{\backslash frac1x\}\{\backslash ln\; x\}\backslash mathrm\; dx$

Da $(\ln x{)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{x}(\backslash ln\; x)\text{'}=\; \backslash frac\; 1\; x$ hilft dir die Regel $\int \frac{f^{\mathrm{\prime }}(x)}{f(x)}dx=\ln \mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }+c\backslash int\backslash frac\{f\text{'}(x)\}\{f(x)\}dx\; =\; \backslash ln\; |f(x)|\; +c$

${\int }_{}\frac{\frac{1}{x}}{\ln x}\mathrm{d}x=\ln \mid \ln x\mid +C\backslash int\_\{\}\backslash frac\{\backslash frac1x\}\{\backslash ln\; x\}\backslash mathrm\; dx=\backslash ln\backslash left|\backslash ln\; x\backslash right|+C$

Deswegen ist

$\int f\left(x\right)\mathrm{d}x=\int e^{x-e^x}\mathrm{d}x\backslash int\; f\backslash left(\; x\backslash right)\backslash mathrm\{d\}x=\backslash int\; e^\{\; x-\; e^x\}\backslash mathrm\{d\}x$

Die normalen Regeln zur Integration helfen dir hier nicht weiter. Teile den Term erstmal mithilfe der Potenzgesetze auf.

$\int e^{x-e^x}\mathrm{d}x=\int e^x\cdot e^{-e^x}\mathrm{d}x\backslash int\; e^\{\; x-\; e^x\}\backslash mathrm\{d\}x=\backslash int\; e^x\backslash cdot\; e^\{-e^x\}\backslash mathrm\{d\}x$

Überlege dir, was passiert, wenn du nur den hinteren Faktor hast und diesen ableitest: $(e^{-e^x}{)}^{\mathrm{\prime }}=-e^x\cdot e^{-e^x}(e^\{-e^x\})\text{'}=\; -e^x\backslash cdot\; e^\{-e^x\}$

$\int e^x\cdot e^{-e^x}\mathrm{d}x=\int -(-e^x\cdot e^{-e^x})dx\backslash int\; e^x\backslash cdot\; e^\{-e^x\}\backslash mathrm\{d\}x=\backslash int\; -(-e^x\backslash cdot\; e^\{-e^x\})\; dx$

Ziehe eines der beiden vor das Integral.

$\int -(-e^x\cdot e^{-e^x})dx=-\int -e^x\cdot e^{-e^x}\mathrm{d}x\backslash int\; -(-e^x\backslash cdot\; e^\{-e^x\})\; dx=-\backslash int-\; e^x\backslash cdot\; e^\{-\; e^x\}\backslash mathrm\{d\}x$

Nun hast du innerhalb des Integrals im Integranden die oben ermittelte Ableitung von $e^{-e^x}e^\{-e^x\}$. Also ist das die gesuchte Stammfunktion! Vergiss das Minus vor dem Integral nicht ;)

$-\int -e^x\cdot e^{-e^x}\mathrm{d}x=-e^{-e^x}+C-\backslash int-\; e^x\backslash cdot\; e^\{-\; e^x\}\backslash mathrm\{d\}x=-\; e^\{-\; e^x\}+\; C$

Deswegen ist