$\int_{ }^{ }f\left(x\right)\mathrm{d}x=\int_{ }^{ }\frac{1}{x\cdot\ln x}\mathrm{d}x$

Du kannst den Bruchterm in zwei Bruchterme aufspalten, da es sich um ein Produkt von Brüchen handelt.

$\int_{ }^{ }\frac{1}{x\cdot\ln x}\mathrm{d}x=\int _{ }^{ }\frac{1\cdot 1}{x\cdot \ln x}\mathrm{d}x=\int _{ }^{ }\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{\ln x}$

Ziehe $\frac 1 x$ in den Zähler, damit ein Bruch der Form $\frac{f'(x)}{f(x)}$ entsteht.

$\int _{ }^{ }\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{\ln x}=\int_{}\frac{\frac1x}{\ln x}\mathrm dx$

Da $(\ln x)'= \frac 1 x$ hilft dir die Regel $\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx = \ln |f(x)| +c$

$\int_{}\frac{\frac1x}{\ln x}\mathrm dx=\ln\left|\ln x\right|+C$

Deswegen ist

$\int f\left( x\right)\mathrm{d}x=\int e^{ x- e^x}\mathrm{d}x$

Die normalen Regeln zur Integration helfen dir hier nicht weiter. Teile den Term erstmal mithilfe der Potenzgesetze auf.

$\int e^{ x- e^x}\mathrm{d}x=\int e^x\cdot e^{-e^x}\mathrm{d}x$

Überlege dir, was passiert, wenn du nur den hinteren Faktor hast und diesen ableitest: $(e^{-e^x})'= -e^x\cdot e^{-e^x}$

$\int e^x\cdot e^{-e^x}\mathrm{d}x=\int -(-e^x\cdot e^{-e^x}) dx$

Ziehe eines der beiden vor das Integral.

$\int -(-e^x\cdot e^{-e^x}) dx=-\int- e^x\cdot e^{- e^x}\mathrm{d}x$

Nun hast du innerhalb des Integrals im Integranden die oben ermittelte Ableitung von $e^{-e^x}$. Also ist das die gesuchte Stammfunktion! Vergiss das Minus vor dem Integral nicht ;)

$-\int- e^x\cdot e^{- e^x}\mathrm{d}x=- e^{- e^x}+ C$

Deswegen ist