${\int }_{}^{}f\left(x\right)\mathrm{d}x={\int }_{}^{}\frac{1}{x\cdot \ln x}\mathrm{d}x$

Du kannst den Bruchterm in zwei Bruchterme aufspalten, da es sich um ein Produkt von Brüchen handelt.

${\int }_{}^{}\frac{1}{x\cdot \ln x}\mathrm{d}x={\int }_{}^{}\frac{1\cdot 1}{x\cdot \ln x}\mathrm{d}x={\int }_{}^{}\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{\ln x}$

Ziehe $\frac{1}{x}$ in den Zähler, damit ein Bruch der Form $\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$ entsteht.

${\int }_{}^{}\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{\ln x}={\int }_{}\frac{\frac{1}{x}}{\ln x}\mathrm{d}x$

Da $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ hilft dir die Regel $\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx=\ln |f(x)|+c$

${\int }_{}\frac{\frac{1}{x}}{\ln x}\mathrm{d}x=\ln \left|\ln x\right|+C$

Deswegen ist

$\int f\left(x\right)\mathrm{d}x=\int e^{x-e^x}\mathrm{d}x$

Die normalen Regeln zur Integration helfen dir hier nicht weiter. Teile den Term erstmal mithilfe der Potenzgesetze auf.

$\int e^{x-e^x}\mathrm{d}x=\int e^x\cdot e^{-e^x}\mathrm{d}x$

Überlege dir, was passiert, wenn du nur den hinteren Faktor hast und diesen ableitest: $(e^{-e^x}{)}^{\prime }=-e^x\cdot e^{-e^x}$

$\int e^x\cdot e^{-e^x}\mathrm{d}x=\int -(-e^x\cdot e^{-e^x})dx$

Ziehe eines der beiden vor das Integral.

$\int -(-e^x\cdot e^{-e^x})dx=-\int -e^x\cdot e^{-e^x}\mathrm{d}x$

Nun hast du innerhalb des Integrals im Integranden die oben ermittelte Ableitung von $e^{-e^x}$. Also ist das die gesuchte Stammfunktion! Vergiss das Minus vor dem Integral nicht ;)

$-\int -e^x\cdot e^{-e^x}\mathrm{d}x=-e^{-e^x}+C$

Deswegen ist