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Brüche potenzieren

In diesem Artikel lernst du sowohl theoretisch als auch anhand von Beispielen, wie man Brüche potenziert.

Definition

Man potenziert einen Bruch mit dem Exponenten n, indem man Nenner und Zähler getrennt mit n potenziert.

Allgemeine Erklärung

Erklärung am Beispiel

(ab)n=(ab)(ab)    (ab)nmal=abab    abnmal=aa    anmalbb    bnmal=anbn\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}\left(\frac ab\right)^n&=\underbrace{\left(\frac ab\right)\cdot\left(\frac ab\right)\cdot\;…\;\cdot\left(\frac ab\right)}_{n-\mathrm{mal}}\\&=\underbrace{\frac ab\cdot\frac ab\cdot\;…\;\cdot\frac ab}_{n-\mathrm{mal}}\\&=\frac{\overbrace{a\cdot a\cdot\;…\;\cdot a}^{n-\mathrm{mal}}}{\underbrace{b\cdot b\cdot\;…\;\cdot b}_{n-\mathrm{mal}}}\\&=\frac{a^n}{b^n}\end{aligned}

(57)4=(57)(57)(57)(57)4mal=575757574mal=55554mal77774mal=5474\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}\left(\frac57\right)^4&=\underbrace{\left(\frac57\right)\cdot\left(\frac57\right)\cdot\left(\frac57\right)\cdot\left(\frac57\right)}_{4-\mathrm{mal}}\\&={\textstyle\underbrace{{\displaystyle\frac57}\cdot{\displaystyle\frac57}\cdot{\displaystyle\frac57}\cdot\displaystyle\frac57}_{4-\mathrm{mal}}}\\&=\frac{\overbrace{5\cdot5\cdot5\cdot5}^{4-\mathrm{mal}}}{\underbrace{7\cdot7\cdot7\cdot7}_{4-\mathrm{mal}}}\\&=\frac{5^4}{7^4}\end{aligned}

Weitere Beispiele

  1. (34)2=3344=3242=916\left(\frac34\right)^2=\frac{3\cdot3}{4\cdot4}=\frac{3^2}{4^2}=\frac9{16}

  2. (23)3=2333=827\left(\frac23\right)^3=\frac{2^3}{3^3}=\frac8{27}

Negative Brüche

Ist der Exponent eine ungerade Zahl, so bleibt der Bruch negativ.

Ist der Exponent eine gerade Zahl, wird der potenzierte Bruch positiv.

(34)2=916\left(-\frac{3}{4}\right)^2=\frac{9}{16}

Begründung: (34)2=(3)2(4)2=916\left(-\frac34\right)^2=\frac{\left(-3\right)^2}{\left(4\right)^2}=\frac9{16}

(34)3=2764\left(-\frac{3}{4}\right)^3=-\frac{27}{64}

Begründung: (34)3=(3)3(4)3=2764=2764\left(-\frac34\right)^3=\frac{\left(-3\right)^3}{\left(4\right)^3}=\frac{-27}{64}=-\frac{27}{64}

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