In diesem Kurs lernst du, wie du Bruchterme vereinfachen kannst.

Was du davor wissen solltest:

• Kürzen und Erweitern von Brüchen

• Addieren und Subtrahieren von Brüchen

• Multiplizieren und Dividieren von Brüchen

• Ausklammern und Ausmultiplizieren von Termen

Der Kurs dauert ca. 90 min.

Max und Anna sollen für den Matheunterricht Termwerte des Terms berechnen.

Anna gibt den Term aufwändig in ihren Taschenrechner ein und möchte sich eine Wertetabelle erstellen. Noch bevor sie die ersten Termwerte sieht, sagt Max: "$-2-2$"

"Was meinst du?", fragt Anna, "Welchen Termwert hast du berechnet?"

Max erklärt: "Der Termwert ist für alle x-Werte, die man einsetzen kann, derselbe, nämlich $-2-2$."

Wie ist Max darauf gekommen?

Er hat den Term vereinfacht. Wie das geht und was es für Vorteile bringt, lernst du auf den folgenden Seiten.

• Du weißt, was ein Bruch ist; z.B. $\frac{1}{4}\backslash frac\{1\}\{4\}$.

• Du weißt auch, was ein Term ist; z.B. $3\cdot (2+4)3\backslash \; \backslash cdot\backslash left(2+4\backslash right)$ In Termen können auch Variablen vorkommen; z.B. $3x\cdot (2+4y)3x\backslash cdot\backslash left(2+4y\backslash right)$

Ein Bruchterm stellt eine Kombination aus diesen beiden dar. Die Bedingung ist, dass im Nenner eine Variable (z.B. $xx$) stehen muss.

Beispiele:

Bruchterme:

Keine Bruchterme:

Im weiteren Kurs geht es darum, mit Bruchtermen zu rechnen und diese zu vereinfachen.

Die Definitionsmenge eines Bruchterms ist die Menge aller Zahlen, die man für $xx$ einsetzen darf. Bei einem Bruch darf der Nenner nicht null sein.

Aus diesem Grund ist die Definitionsmenge die Menge der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}\backslash mathbb\{Q\}$ ohne die $xx$-Werte, für die der Nenner null ist.

Beispiel:

Die Definitionsmenge ist die Menge der rationalen Zahlen ohne die Zahlen, für die der Nenner einer der beiden Brüche gleich null ist.

Die Definitionsmenge ist also:

Löse nun die folgenden Aufgaben, um zu sehen, ob du die Definitionsmenge verstanden hast:

Schau dir das Video an, in dem erklärt wird, wie man Bruchterme kürzen kann.

Löse nun die folgenden drei Aufgaben und teste damit, ob du das Kürzen von Bruchtermen verstanden hast.

Schau dir zunächst das Video an. Hier wird erklärt, wie man Bruchterme (ohne Hauptnennersuche) addiert oder subtrahiert.

Überprüfe dein neues Wissen, indem du diese Aufgaben löst!

Multiplizierst du, wie im Video auf der letzten Seite gezeigt, jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchterms, so findest du beim Addieren und Subtrahieren immer einen gemeinsamen Nenner.

Dieser ist allerdings nicht möglichst einfach. Eventuell musst du mit unnötig großen Termen hantieren, was zu Fehlern führen kann. Außerdem musst du dann nach dem Verrechnen eventuell nochmal viel kürzen.

Deshalb sucht man häufig den einfachsten gemeinsamen Nenner, also den, der aus den wenigsten Faktoren besteht. Diesen möglichst einfachen gemeinsamen Nenner nennt man Hauptnenner. Die Suche nach dem Hauptnenner ist im Artikel Hauptnenner mit Variablen bereits sehr schön erklärt.

Bringt man die Bruchterme auf den Hauptnenner, so erweitert man jeweils nur mit den Faktoren, die den Nenner noch vom Hauptnenner unterscheiden.

Schau dir zunächst das folgende Video an. Hier wird erklärt, wie man Bruchterme multipliziert.

Schau dir zunächst das folgende Video an. Hier wird erklärt, wie man Bruchterme dividiert.

Bruchterme kürzen

Um Bruchterme so weit wie es geht zu vereinfachen, muss man zunächst den Zähler und Nenner faktorisieren (und eventuell einzelne Faktoren ausklammern) und anschließend kürzen.

Beispiele:

${\displaystyle \frac{7x-yx}{2x}}={\displaystyle \frac{x\cdot (7-y)}{x\cdot 2}}={\displaystyle \frac{7-y}{2}}\backslash dfrac\{7x\; -\; yx\}\{2x\}\; =\; \backslash dfrac\{x\backslash cdot\; (7-y)\}\{x\backslash cdot\; 2\}=\backslash dfrac\{7-y\}\{2\}$

${\displaystyle \frac{3x^2-9x}{xy-3y}}={\displaystyle \frac{3x\cdot (x-3)}{y\cdot (x-3)}}={\displaystyle \frac{3x}{y}}\backslash dfrac\{3x^2-9x\}\{xy-3y\}=\backslash dfrac\{3x\backslash cdot\; (x-3)\}\{y\backslash cdot\; (x-3)\}=\backslash dfrac\{3x\}\{y\}$

Bruchterme addieren und subtrahieren

Um Bruchterme zu addieren oder subtrahieren, muss man sie zunächst auf einen Nenner bringen.

Achtung: Setze unbedingt Klammern um Summen oder Differenzen!

Beispiel:

${\displaystyle \frac{6}{x+1}}-{\displaystyle \frac{x}{x-2}}\backslash dfrac\{6\}\{x+1\}-\backslash dfrac\{x\}\{x-2\}$

$={\displaystyle \frac{6\cdot (x-2)}{(x+1)\cdot (x-2)}}-{\displaystyle \frac{x\cdot (x+1)}{(x-2)\cdot (x+1)}}=\backslash dfrac\{6\backslash cdot\backslash left(x-2\backslash right)\}\{\backslash left(x+1\backslash right)\backslash cdot\backslash left(x-2\backslash right)\}-\backslash dfrac\{x\backslash cdot\backslash left(x+1\backslash right)\}\{\backslash left(x-2\backslash right)\backslash cdot\backslash left(x+1\backslash right)\}$

$={\displaystyle \frac{6\cdot (x-2)-x\cdot (x+1)}{(x+1)\cdot (x-2)}}=\backslash dfrac\{6\backslash cdot\backslash left(x-2\backslash right)-x\backslash cdot\backslash left(x+1\backslash right)\}\{\backslash left(x+1\backslash right)\backslash cdot\backslash left(x-2\backslash right)\}$

$={\displaystyle \frac{6x-12-x^2-x}{x^2-x-2}}=\backslash dfrac\{6x-12-x^2-x\}\{x^2-x-2\}$

$={\displaystyle \frac{5x-12-x^2}{x^2-x-2}}=\backslash dfrac\{5x-12-x^2\}\{x^2-x-2\}$

Bruchterme multiplizieren

Um Bruchterme zu multiplizieren, multipliziert man jeweils den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner. Eventuell kann man bereits kürzen, bevor man die Produkte ausmultipliziert.

Achtung: Setze unbedingt Klammern um Summen oder Differenzen!

Beispiel:

${\displaystyle \frac{3x}{2y}}\cdot {\displaystyle \frac{y-1}{4x}}={\displaystyle \frac{3x\cdot (y-1)}{2y\cdot 4x}}={\displaystyle \frac{3\cdot (y-1)}{2y\cdot 4}}={\displaystyle \frac{3y-3}{8y}}\backslash dfrac\{3x\}\{2y\}\backslash cdot\backslash dfrac\{y-1\}\{4x\}=\backslash dfrac\{3x\backslash cdot\backslash left(y-1\backslash right)\}\{2y\backslash cdot4x\}=\backslash dfrac\{3\backslash cdot\backslash left(y-1\backslash right)\}\{2y\backslash cdot4\}=\backslash dfrac\{3y-3\}\{8y\}$

Bruchterme dividieren

Um Bruchterme zu dividieren, multipliziert man den ersten Bruchterm mit dem Kehrbruch des zweiten Bruchterms.

Achtung: Setze unbedingt Klammern um Summen oder Differenzen!

Beispiel:

${\displaystyle \frac{3x}{x+1}}:{\displaystyle \frac{2x}{x-2}}={\displaystyle \frac{3x}{x+1}}\cdot {\displaystyle \frac{x-2}{2x}}={\displaystyle \frac{3x\cdot (x-2)}{(x+1)\cdot 2x}}={\displaystyle \frac{3x-6}{2x+2}}\backslash dfrac\{3x\}\{x+1\}:\backslash dfrac\{2x\}\{x-2\}=\backslash dfrac\{3x\}\{x+1\}\backslash cdot\backslash dfrac\{x-2\}\{2x\}=\backslash dfrac\{3x\backslash cdot\backslash left(x-2\backslash right)\}\{\backslash left(x+1\backslash right)\backslash cdot2x\}=\backslash dfrac\{3x-6\}\{2x+2\}$

Bei den meisten Aufgaben muss man mehrere Umformungen machen, um den Term so gut wie möglich zu vereinfachen.

Ein solches Beispiel wird dir im folgenden Video vorgerechnet:

Gehe nun auf die nächste Seite und versuche, selbst solche Aufgaben zu lösen.

Versuche hier, dein gelerntes Wissen anzuwenden:

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