Krümmungsverhalten eines Funktionsgraphen

Das Krümmungsverhalten eines Funktionsgraphen an einer Stelle xx ist die Richtungsänderung in diesem Punkt.

Man unterscheidet rechtsgekrümmte und linksgekrümmte Abschnitte sowie Wendepunkte.

Meist interessiert man sich für das Krümmungsverhalten bestimmter Abschnitte des Graphen.

Dazu betrachtet man für xx aus einem bestimmten Abschnitt die zweite Ableitung:

f(x)>0ff^{\prime\prime}(x)>0 \Rightarrow f linksgekrümmt

f(x)<0ff^{\prime\prime}(x)<0 \Rightarrow f rechtsgekrümmt

Wie du Ableitungen berechnest, erfährst du im entsprechenden Artikel zu Ableitungen.

Merkhilfe rechts- und linksgekrümmt

Ist f(x)f''(x)

  • positiv, so ist der Graph dort linksgekrümmt.

  • negativ, so ist der Graph dort rechtsgekrümmt.

Man überlegt sich, in welche Richtung man lenken müsste, wenn man mit einem Fahrrad den Funktionsgraphen nach ++\infty abfahren würde. Die Richtung ist dann die Gleiche wie das Krümmungsverhalten.

Beispiel: Sinus-Funktion

Betrachtest du f(x)=sin(x)f\left(x\right)=\sin\left(x\right) im Bereich [0,52π]\left[0,\frac{5}{2}\pi\right].

  • Die erste Ableitung der Funktion ist f(x)=cos(x)f'(x)=\cos(x)

  • Die zweite Ableitung dieser Funktion ist  f(x)=sin(x)f''\left(x\right)=-\sin\left(x\right).

  • Die xx-Werte der Wendepunkte im Bereich [0,52π]\left[0,\frac52\pi\right] sind x1=0x_1=0, x2=πx_2=\pi, x3=2πx_3=2\pi.

Um zu berechnen, wie der Graph von ff im Bereich [0,π]\left[0,\pi\right] gekrümmt ist, setzt man einen Punkt aus diesem Intervall in die zweite Ableitung ein und betrachtet das Vorzeichen:

Es ist dabei egal, welchen Punkt aus dem Intervall man nimmt, denn das Krümmungsverhalten zwischen zwei Wendepunkten ändert sich nicht.

Man wählt zum Beispiel x=π2x=\frac\pi2.

f(π2)=sin(π2)=1  <0f^{\prime\prime}\left(\frac\pi2\right)=-\sin\left(\frac\pi2\right)=-1\;<0

Der Graph von ff ist also im Bereich  ]0,π[\rbrack0,\pi\lbrack rechtsgekrümmt.

Mit dem gleichen Verfahren erhält man:

ff in ]π,2π[\rbrack\pi,2\pi\lbrack linksgekrümmt

ff in [2π,52π]\left[2\pi,\frac52\pi\right] rechtsgekrümmt

Beispiel: Quadratische Funktion

Gegeben ist eine quadratische Funktion ff in der Form f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c mit aR\{0}a\in \mathbb R \backslash \{0\}.

Die zweite Ableitung dieser Funktion ist f(x)=2af^{\prime\prime}(x)=2a.

Da aa konstant und ungleich Null ist, besitzt ff keine Wendepunkte und behält also im gesamten Definitionsbereich R\mathbb{R} das gleiche Krümmungsverhalten bei:

  • Ist aa positiv, so ist ff linksgekrümmt (in der Grafik orange), 

  • Ist aa negativ, so ist ff rechtsgekrümmt (in der Grafik türkis).

Übungsaufgaben

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Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zur Berechnung von Wendepunkten und Bestimmung des Krümmungsverhaltens

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