Aufgaben zur Länge eines Vektors

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Verändere den Vektor $\vec a=\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}$ so, dass er die geforderte Länge hat

Länge 10

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge des Vektors anpassen

Länge des Vektors bestimmen

Bestimme die Länge des Vektors $\vec a$ :

$|\vec a|=\sqrt{0^2+4^2+3^2} LE = 5 LE$

Skalare Multiplikation

Der Vektor wird auf die gewünschte Länge gebracht, in dem man ihn erst von der Länge $|\vec a|=5$ auf die Länge 1 verkürzt und dann wieder auf die Länge $k=10$ streckt:

$\displaystyle \dfrac{k}{\|\vec a\|}\cdot \vec a$	$=$	$\displaystyle \frac {10}{5}\cdot\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}$
	↓	Berechne den Wert des Bruchs.
	$=$	$\displaystyle 2\cdot \begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}$
	↓	Führe die skalare Multiplikation durch.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\8\\6\end{pmatrix}$

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Zunächst muss man die aktuelle Länge des Vektors bestimmen.

Anschließend teilt man die gewünschte Länge durch die aktuelle Länge.

Abschließend kann man durch eine skalare Multiplikation mit diesem Bruch den Vektor auf die gewünschte Länge bringen.

(Im oben verlinkten Artikel ist dieses Vorgehen ausführlich erklärt)

Länge 2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge des Vektors anpassen

Länge des Vektors bestimmen

Bestimme die Länge des Vektors $\vec a$ :

$|\vec a|=\sqrt{0^2+4^2+3^2} LE = 5 LE$

Skalare Multiplikation

Der Vektor wird auf die gewünschte Länge gebracht, in dem man ihn erst von der Länge $|\vec a|=5$ auf die Länge 1 verkürzt und dann wieder auf die Länge $k=2$ streckt:

$\displaystyle \dfrac{k}{\|\vec a\|}\cdot \vec a$	$=$	$\displaystyle \frac {2}{5}\cdot\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}$
	↓	Führe die skalare Multiplikation durch.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\1{,}6\\1{,}2\end{pmatrix}$

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Zunächst muss man die aktuelle Länge des Vektors bestimmen.

Anschließend teilt man die gewünschte Länge durch die aktuelle Länge.

Abschließend kann man durch eine skalare Multiplikation mit diesem Bruch den Vektor auf die gewünschte Länge bringen.

(Im oben verlinkten Artikel ist dieses Vorgehen ausführlich erklärt)

Länge a

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge des Vektors anpassen

Länge des Vektors bestimmen

Bestimme die Länge des Vektors $\vec a$ :

$|\vec a|=\sqrt{0^2+4^2+3^2} LE = 5 LE$

Skalare Multiplikation

Der Vektor wird auf die gewünschte Länge gebracht, in dem man ihn erst von der Länge $|\vec a|=5$ auf die Länge 1 verkürzt und dann wieder auf die Länge $k=a$ streckt:

$\displaystyle \dfrac{k}{\|\vec a\|}\cdot \vec a$	$=$	$\displaystyle \frac {a}{5}\cdot\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}$
	↓	Führe die skalare Multiplikation durch.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}\frac {a}{5}\cdot0\\\frac {a}{5}\cdot4\\\frac {a}{5}\cdot3\end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\\dfrac {4}{5}a\\\dfrac {3}{5}a\end{pmatrix}$

Für $a$ kann man jetzt eine beliebige Zahl einsetzen und so den Vektor auf jede beliebige Länge verlängern oder verkürzen.

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Auch im allgemeinen Fall gilt:

Zunächst muss man die aktuelle Länge des Vektors bestimmen.

Anschließend teilt man die gewünschte Länge (hier $a$ ) durch die aktuelle Länge.

Abschließend kann man durch eine skalare Multiplikation mit diesem Bruch den Vektor auf die gewünschte Länge bringen.

(Im oben verlinkten Artikel ist dieses Vorgehen ausführlich erklärt)