Aufgaben zur Konstruktion besonderer Vierecke und zur Lösung geometrischer Problemstellungen

Winkelberechnungen am Trapez

Im Trapez $ABCD$ gelte $AB\Vert CD$ , $\alpha=32°$ , $\gamma=75°$ . Berechne $\beta$ und $\delta$ !

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Gegeben: $AB\,\Vert CD$
$\quad \quad \quad\;\alpha =32°$
$\quad \quad \quad\;\gamma=75°$
Gesucht: $\,\beta,\; \delta$
Die Innenwinkel an den beiden Grundseiten ergeben zusammen 180°.
$\begin {array}{rcl}32°+\delta &=180°\quad|-32°\\\delta&=148°\end {array}$
$\begin {array}{rcl}75°+ \beta&= 180°\quad |-75°\\\beta &=105° \end {array}$
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Im Trapez $ABCD$ gelte $AB\,\Vert CD$ , $AD\perp BC$ , $\alpha=20°$ . Berechne $\beta,\,\gamma,\,\delta$ !

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez

Gegeben: $AB\,\Vert\,CD$ (Die Figur ist ein Trapez)

$\quad \quad\quad \, AD\,\perp\,BC$ (im Punkt E steckt ein

rechter Winkel)

$\quad \quad\quad \,\alpha=20°$

Gesucht: $\;\beta,\,\gamma,\,\delta$

Erweitert man die Figur $A,B,C,D$ indem man die Strecken $\overline{AD}$ und $\overline{BC}$ weiterzeichnet, erhält man den Punkt $E$ , wie im Bild. Die Information $AD\,\perp\,BC$ sagt aus, dass sich die Linien dort in einem rechten Winkel schneiden.

Winkel $\beta$

Die Figur $A,B,E$ ist ein rechtwinkliges Dreieck. Dort ist die Winkelsumme, wie in allen Dreiecken $180°$ .

$\displaystyle \alpha+\beta+90°$	$=$	$\displaystyle 180°$
	↓	$\alpha=20°$
$\displaystyle 20°+\beta+90°$	$=$	$\displaystyle 180°$	$\displaystyle -110°$
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle 70°$

Winkel $\delta$

Oberhalb von $\delta$ ist ein Stufenwinkel von $\alpha$ . Dieser Winkel könnte zum Beispiel $\epsilon$ genannt werden. Es gilt:

\displaystyle \alpha=\epsilon

Da $\delta$ und $\epsilon$ zudem Nebenwinkel sind, gilt:

$\displaystyle \delta+\epsilon$	$=$	$\displaystyle 180°$
	↓	$\epsilon=\alpha=20°$
$\displaystyle \delta+20°$	$=$	$\displaystyle 180°$	$\displaystyle -20°$
$\displaystyle \delta$	$=$	$\displaystyle 160°$

Winkel $\gamma$

In einem Viereck ist die Winkelsumme immer $360°$ . Damit ist im Trapez:

$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma+\delta$	$=$	$\displaystyle 360°$
$\displaystyle 20°+70°+\gamma+160°$	$=$	$\displaystyle 360°$	$\displaystyle -250°$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 110°$

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Im Trapez $ABCD$ gelte: $AD\,\Vert\,BC,\;\alpha=\delta=100°$ . Berechne $\beta$ und $\gamma$ !

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Gegeben: $AD\,\Vert\,BC$
$\quad \quad\quad \,\alpha=\delta=100°$
Gesucht: $\beta,\;\gamma$
Die Innenwinkel an den parallelen Seiten ergeben zusammen 180°.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}100°+\beta&=180°\quad |-100°\\\beta&=80°\end{array}$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}100°+\gamma &=180°\quad|-100°\\\gamma &=80° \end{array}$
Anmerkung:
Das Trapez $ABCD$ ist gleichschenklig mit den Schenkeln $[AB]=[CD]$ .
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2
Konstruiere ein Trapez $ABCD$ aus der gegebenen Länge der Differenz der beiden Grundseitenlängen $a-c=3\,\text{LE}$ , den Schenkellängen $b=\overline{BC}=2{,}5\,\text{LE}$ und $d=\overline{AD}=4\,\text{LE}$ sowie der Diagonalenlänge $f=\overline{BD}=5\,\text{LE}$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Plan:
Teildreieck $EBC$ ist konstruierbar aus den Seitenlängen $a-c,\,b,\,d$ .
D liegt
a) auf der Parallelen zu $EB$ durch $C$ ,
b) auf dem Kreis k(B;f).
A liegt
a) auf der Geraden $EB$ ,
b) auf der Parallelen zu $EC$ durch $D$ .
Durchführung der Konstruktion mit den gegeben Werten
anhand des Applets.
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3
Konstruiere ein Trapez $ABCD$ aus den Grundseitenlängen $\overline{AB}=a=5\,\text{cm}$ und $\overline{CD}=c=3\,\text{cm}$ sowie den Diagonalenlängen $\overline{AC}=6\,\text{cm}$ und $\overline{BD}=5\,\text{cm}$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Plan
Die Eckpunkte $A$ und $B$ sind durch $a$ gegeben.
Die Verlängerung der Grundseite $[AB]$ um $c$ über $A$ hinaus ergibt das konstruierbare Dreieck $BA'D$ mit dem Eckpunkt $D$ des Trapezes.
C liegt
a) auf der Parallelen zu $AB$ durch $D$ ,
b) auf der Parallelen zu $A'D$ durch $A$ .
Durchführung der Konstruktion mit den gegebenen Werten
$\quad \quad a=5\,\text{cm};\; c=3\,\text{cm};\;e=6\,\text{cm};\;f=5\,\text{cm}$
anhand des Applets.
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4
Konstruiere ein Trapez $ABCD$ aus den Seitenlängen
$a=10{,}5\,\text{cm};\,b=5{,}4\,\text{cm};\,c=6\,\text{cm};\,d=4{,}8\,\text{cm}$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Plan
$A$ und $B$ sind durch $a$ gegeben.
Das Dreieck $B'BC$ ist durch
konstruierbar und ergibt den Eckpunkt $C$ .
D liegt
a) auf dem Kreis $k(C;c)$ ,
b) auf dem Kreis $k(A;d)$ .
Alternative Lösung für $D$ :
a) auf der Parallelen zu $AB$ durch $C$ ,
b) auf der Parallelen zu $B'C$ durch $A$ .
Durchführung der Konstrukktion mit den gegebenen Werten
$\quad \quad a=10{,}5\,\text{cm};\,b=5{,}4\,\text{cm};\,c=6\,\text{cm};\,d=4{,}8\,\text{cm}$
anhand des Applets.
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5
Zeichne zuerst die Punkte $A (5\vert8)$ , $C (5\vert1)$ und die Gerade $b: x = 7$ in ein Koordinatensystem.
1. Die Punkte $B_1=(7|2)$ und $B_2 = (7|5)$ liegen auf der Geraden $b$ . Ergänze die Dreiecke $AB_1C$ und $AB_2C$ jeweils zu einem Drachenviereck $AB_1CD_1$ bzw. $AB_2CD_2$ .
2. Für jeden Punkt $B_n$ auf der Geraden $b$ kann man das Dreieck $AB_nC$ zu einem Drachenviereck $AB_nCD_n$ ergänzen. Alle Punkte $D_n$ liegen auf einer Geraden. Zeichne diese ein.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
  $[AC]$ ist die Symmetrieachse im Drachenviereck. Das bedeutet, dass die Gerade $d$ gleich weit von $[AC]$ entfernt sein muss, wie die Gerade $b$ , damit ein Drachenviereck zustande kommt. $A$ und $C$ liegen beide bei $x=5$ und $b$ bei $x=7$ . Du spiegelst die Gerade $b$ an der Gerade $\overline{AC}$ und erhältst so die Gerade $d$ .
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3. Nenne zwei Beispiele für die Punkte $B$ und $D$ , die auf den jeweiligen Geraden $b$ und $d$ liegen, dass das Drachenviereck $ABCD$ entsteht.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
  Die Punkte $B$ und $D$ müssen beide gegenüber voneinander liegen und sie dürfen nicht höher oder auf gleicher höhe wie $A$ und niedriger oder auf gleicher höhe wie $C$ sein.
  Dann kannst du die Punkte egal wo auf der jeweiligen Gerade $b$ oder $d$ platzieren. Hier ein paar Beispiele.
  $D (3\vert7)$ ; $B (7\vert7)$
  $D (3\vert6)$ ; $B (7\vert6)$
  $D (3\vert5)$ ; $B (7\vert5)$
  $D (3\vert4)$ ; $B (7\vert4)$
  $D (3\vert3)$ ; $B (7\vert3)$
  $D (3\vert2)$ ; $B (7\vert2)$
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4. Wann ist das Drachenviereck $ABCD$ eine Raute? Versuche $B$ und $D$ jetzt so zu verschieben, dass sie mit $A$ oder mit $D$ ein Dreieck bilden?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
  Raute
  Das Viereck $ABCD$ ist eine Raute, wenn $[BD]$ auch eine Symmetrieachse von $ABCD$ ist. Das ist der Fall, wenn die Punkte $B$ , $D$ an der Halbierenden der Strecke $[AC]$ liegen. Jetzt sind alle Seiten der Raute gleich lang.
  Dreieck
  Ein Dreieck wird es dann, wenn $A$ oder $C$ auf der Strecke $[BD]$ liegt. Das passiert, wenn $B$ und $D$ auf gleicher Höhe sind wie $A$ oder $C$ .
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5. Was fällt dir im Bezug auf die verschiedenen Drachendreiecke/Raute/Dreiecke am Flächeninhalt auf?
  
  Alle Figuren haben den gleichen Flächeninhalt.
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