Aufgaben zu dreh- und punktsymmetrischen Figuren

1
Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck $ABC$ mit $A\left(1\vert1{,}8\right)$ , $B\left(5\vert1{,}8\right)$ , $C\left(3\vert5{,}3\right)$ und das Drehzentrum $D\left(3\vert3\right)$ .
Drehe das Dreieck um $\alpha=60^{\circ}$ . 2. Drehe das Dreieck $A'B'C'$ erneut um $\alpha=60^{\circ}$ . Was fällt dir auf?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung
Teilaufgabe 1
Du hast das Dreieck $ABC$ und das Drehzentrum in ein Koordinatensystem eingezeichnet.
Konstruktion des gedrehten Punktes $C'$
Zeichne den Kreis $k_1$ um $D$ mit Radius $\overline{AD}$ .
Zeichne die Gerade $g$ durch $C$ und $D$ .
Trage im Punkt $D$ den Drehwinkel $\alpha=60^{\circ}$ (entgegen dem Uhrzeigersinn) an.
Du erhältst den Punkt $\textcolor{006400}{C'}$ als Schnittpunkt des Kreises $k_1$ mit dem zweiten Schenkel des Winkels $\alpha$ .
Konstruktion des gedrehten Punktes $A'$
Der Punkt $A$ wird um $60^\circ$ gedreht.
Zeichne die Gerade $h$ durch $A$ und $D$ .
Trage im Punkt $D$ den Drehwinkel $\alpha=60^\circ$ (entgegen dem Uhrzeigersinn) an.
Du erhältst den Punkt $\textcolor{006400}{A'}$ als Schnittpunkt des Kreises $k_1$ mit dem zweiten Schenkel des Winkels $\alpha$ .
Konstruktion des gedrehten Punktes $B'$
Der Punkt $B$ wird um $60^\circ$ gedreht.
Zeichne die Gerade $k$ durch $B$ und $D$ .
Trage Im Punkt $D$ den Drehwinkel $\alpha=60^\circ$ (entgegen dem Uhrzeigersinn) an.
Du erhältst den Punkt $\textcolor{006400}{B'}$ als Schnittpunkt des Kreises $k_1$ mit dem zweiten Schenkel des Winkels $\alpha$ .

Ergebnis Teilaufgabe 1
Verbinde die Punkte $\textcolor{006400}{A'}$ $\textcolor{006400}{B'}$ $\textcolor{006400}{C'}$ zu einem Dreieck.
Du hast das $\textcolor{006400}{\text{grüne Dreieck }}$ erhalten.
Das $\textcolor{006400}{\text{grüne Dreieck }}$ ist gegenüber dem Originaldreieck $ABC$ um $\alpha=60^\circ$ gedreht.
Teilaufgabe 2
Drehst du das $\textcolor{006400}{\text{grüne Dreieck}}$ um weitere $60^\circ$ , so erhältst du das $\textcolor{660099}{\text{lila Dreieck }}$ $\textcolor{660099}{A''B''C''}$ .
Der Punkt $\textcolor{660099}{C''}$ liegt wieder auf dem Punkt $A$ .
Der Punkt $\textcolor{660099}{ A''}$ liegt wieder auf dem Punkt $B$ .
Der Punkt $\textcolor{660099}{ B''}$ liegt wieder auf dem Punkt $C$ .
Nach $2\cdot 60^\circ = 120^\circ$ wird das Dreieck $ABC$ auf sich selber abgebildet.
Schlussfolgerung: Ein gleichseitiges Dreieck ist eine drehsymmetrische Figur.
2
Gegeben sind folgende Punkte: $A(3{,}6|2{,}4),B(6{,}5|4),C(9{,}5|2{,}5),D(8{,}9|5{,}8),E(11{,}2|8{,}1),F(7{,}9|8{,}5),$
$G(6{,}4|11{,}5),H(5 \vert 8{,}5),I(1{,}7 \vert 8)\;\text{und}\;J(4{,}1 \vert 5{,}7)$ .
Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie.
Du hast eine drehsymmetrische Figur erhalten.
Bestimme das Drehzentrum $Z$ und lies die Koordinaten ab. 2. Bestimme den Drehwinkel.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung
Teilaufgabe 1
Wenn du die Koordinaten richtig eingezeichnet hast, sieht deine Figur wie in der Abbildung aus.
Du erkennst, dass der Stern mehrere Symmetrieachsen hat. Zeichne zwei dieser Symmetrieachsen ein, z.B.
eine Gerade durch die Punkte $G$ und $B$ bzw. durch die Punkte $I$ und $D$ . Der Schnittpunkt der beiden Geraden ergibt das Drehzentrum $Z$ .
Antwort: Das Drehzentrum $Z$ hat die Koordinaten: $Z(6{,}5\vert6{,}5)$ .
Teilaufgabe 2
Lege nun das Geodreieck an.
(So wie in der nebenstehenden Abbildung.)
Miss den Winkel zwischen den beiden Geraden. Es ist der Winkel, um den der Punkt $G$ in Richtung $I$ gedreht wird. Hier kannst du einen Winkel von $72^\circ$ ablesen.
Antwort: Der Drehwinkel dieser Figur beträgt $72^\circ$ .
3
Gegeben ist das Symmetriezentrum $Z\left(4|4{,}5\right)$ . Konstruiere das zum Dreieck $ABC$ mit $A\left(1\vert1\right)$ , $B\left(6\vert1{,}5\right)$ , $C\left(1\vert5\right)$ punktsymmetrische Dreieck $A'B'C'$ und lies die Koordinaten von $A'$ , $B'$ und $C'$ ab.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punktsymmetrie
Du hast das Dreieck $ABC$ und das Symmetriezentrum in ein Koordinatensystem eingezeichnet.
Konstruktion des Spiegelpunktes $A'$
Zeichne die Gerade $g$ durch $A$ und $Z$ .
Zeichne dann einen Kreis $k_1$ um $Z$ mit Radius $\overline{AZ}$ .
$\textcolor{660099}{A'}$ ist der Schnittpunkt des Kreises $k_1$ mit der Geraden $g$ .
Wegen der besseren Übersichtlichkeit werden stets nur die neuen Konstruktionsschritte gezeichnet.
Konstruktion des Spiegelpunktes $B'$
Zeichne die Gerade $h$ durch $B$ und $Z$ .
Zeichne dann einen Kreis $k_2$ um $Z$ mit Radius $\overline{BZ}$ .
$\textcolor{660099}{B'}$ ist der Schnittpunkt des Kreises $k_2$ mit der Geraden $h$ .
Konstruktion des Spiegelpunktes $C'$
Zeichne die Gerade j durch $C$ und $Z$ .
Zeichne dann einen Kreis $k_3$ um $Z$ mit Radius $\overline{CZ}$ .
$\textcolor{660099}{C'}$ ist der Schnittpunkt des Kreises $k_3$ mit der Geraden $j$ .
Vollständige Konstruktion
Verbinde die Punkte $\textcolor{660099}{A'}$ $\textcolor{660099}{B'}$ $\textcolor{660099}{C'}$ zu einem Dreieck.
Du hast das $\textcolor{660099}{\text{lila Dreieck }}$ erhalten.
Es ist punktsymmetrisch zum Dreieck $ABC$ mit dem Symmetriezentrum $Z$ .
Antwort: Die Koordinaten des punktsymmetrischen Dreiecks lauten: $\textcolor{660099}{A'\left(7\vert 8\right)}$ , $\textcolor{660099}{B'\left(2\vert7{,}5\right)}$ und $\textcolor{660099}{C'\left(7\vert 4\right)}$ .
4
Zeichne das Dreieck $ABC$ mit $A\left(1|1\right)$ , $B\left(4|2{,}5\right)$ , $C\left(2\vert6\right)$ . Konstruiere das punktsymmetrische Dreieck $A'B'C'$ , wenn $A'\left(9\vert11\right)$ gegeben ist. Gib die Koordinaten des Symmetriezentrum Z und die Koordinaten von $B'$ und $C'$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punktsymmetrie
Du hast das Dreieck $ABC$ und den Punkt $A'$ in ein Koordinatensystem eingezeichnet.
Wegen der besseren Übersichtlichkeit werden stets nur die neuen Konstruktionsschritte gezeichnet.
Konstruktion des Symmetriezentrums
Zeichne eine Strecke durch $A$ und $A'$ .
Errichte auf der Strecke $\left[A A'\right]$ die Mittelsenkrechte $m$ .
Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten $m$ mit der Strecke $\left[A A'\right]$ ergibt das Drehzentrum Z.
Hinweis: Hilfe bei der Konstruktion der Mittelsenkrechten findest du im Spoiler.
Konstruktion des Spiegelpunktes $B'$
Zeichne die Gerade $g$ durch $B$ und $Z$ .
Zeichne einen Kreis $k_1$ um $Z$ mit dem Radius $\overline{BZ}$ .
Der Schnittpunkt vom Kreis $k_1$ mit der Geraden $g$ ergibt den Punkt $\textcolor{006400}{B'}$ .
Konstruktion des Spiegelpunktes $C'$
Zeichne die Gerade $h$ durch $C$ und $Z$ .
Zeichne einen Kreis $k_2$ um $Z$ mit dem Radius $\overline{CZ}$ .
Der Schnittpunkt vom Kreis $k_2$ mit der Geraden $h$ ergibt den Punkt $\textcolor{006400}{C'}$ .
Verbinde die Punkte $\textcolor{006400}{A'}$ $\textcolor{006400}{B'}$ $\textcolor{006400}{C'}$ zu einem Dreieck.
Du hast das $\textcolor{006400}{\text{grüne Dreieck }}$ erhalten.
Es ist punktsymmetrisch zum Dreieck $ABC$ mit dem Symmetriezentrum $Z$ .
Antwort: Das Symmetriezentrum $Z$ hat die Koordinaten: $Z\left(5\vert6\right)$ .
Die gesuchten Dreieckskoordinaten lauten: $\textcolor{006400}{B'\left(6\vert9{,}5\right)}$ und $\textcolor{006400}{C'\left(8\vert6\right)}$ .

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Aufgaben zu dreh- und punktsymmetrischen Figuren

Teilaufgabe 1

Teilaufgabe 2

Teilaufgabe 1

Teilaufgabe 2