Aufgaben zu Funktionen als eindeutigen Zuordnungen

1
Anna und Basti sind zwei Sprinter des TSV Mathematika und wollen ein Sprintduell gegeneinander machen. Anna beschleunigt zwar langsamer als Basti, hat dafür aber eine höhere Endgeschwindigkeit. Nach ihrem Duell werden ihre Geschwindigkeiten als Graph in Abhängigkeit der Zeit in das folgende Diagramm gezeichnet.
Begründe, welcher der beiden Graphen zu welchem Läufer gehört.
Der blaue Graph gehört zu Basti
Der blaue Graph gehört zu Anna
Der orange Graph gehört zu Basti
Der orange Graph gehört zu Anna
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geschwindigkeit
$Geschwindigkeit=\frac{Strecke}{Zeit}$ oder auch $v=\frac{s}{t}$
Der Läufer, dessen Lauf der orange Graph darstellt, erreicht die Geschwindigkeit 4m/s bereits nach 4 Sekunden, läuft dann aber weiter, ohne seine Geschwindigkeit zu steigern.
Der Läufer, dessen Lauf der blaue Graph darstellt, erreicht die Geschwindigkeit 4m/s erst nach 6 Sekunden, steigert dann aber seine Geschwindigkeit auf 6m/s. Diese Geschwindigkeit behält er dann bei.
> Der blaue Graph gehört zu Anna, der orange Graph gehört zu Basti
2
Endlich Schulschluss! Miriam steht am Fahrradstellplatz, setzt ihre Schultasche in den Korb auf dem Gepäckträger ihres Fahrrads und packt, weil es ein warmer Sommertag ist, auch ihre Jacke dazu. Sie schließt das Schloss ihres Fahrrads auf und fährt los.
Nachdem sie ein Stück weit gekommen ist, muss sie an einer Ampel warten. Dort bemerkt sie, dass sie ihre Jacke verloren hat.
Sie kehrt um, findet die Jacke auf dem Boden liegend, hebt sie auf und verstaut sie sicher auf dem Gepäckträger. Dann setzt sie ihren Heimweg fort.
Das Zeit-Ort-Diagramm ihres Heimwegs sieht ungefähr so aus:
Beantworte die folgenden Fragen mit Hilfe des Diagramms:
Um wie viel Uhr ist Miriam von der Schule losgefahren?
Wie weit ist sie gefahren, bis sie zu der Ampel kam?
Wann ist sie an der Ampel angekommen, und wie lange hat sie dort gewartet, ehe sie umkehrte, um die Jacke zu suchen?
Wie weit von der Schule entfernt lag die Jacke auf dem Boden?
Wie viele Meter musste Miriam insgesamt zusätzlich fahren, weil sie die Jacke verloren hatte?
Musste Miriam auch beim zweiten Mal wieder an der Ampel warten, oder stand die Ampel diesmal auf Grün?
Wie weit ist Miriams Schulweg?
Wann kam Miriam vor ihrem Haus an?
Und überlege dir schließlich: Was könnte Miriam in der Zeit von 16:40 Uhr bis 16:45 Uhr getan haben?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Diagramme interpretieren
Lösung Teilaufgabe 1
Betrachte zunächst die Zeitachse. Zwischen $16:00$ und $16:15$ Uhr gibt es $3$ Blöcke mit jeweils $5$ Teilstrichen, also $15$ Teilstriche für $15$ Minuten. Ein Teilstrich entspricht also $1$ Minute.
Antwort: Die Fahrt beginnt demnach um $16:05$ Uhr ( $5$ Teilstriche nach $16$ Uhr)
Lösung Teilaufgabe 2
Betrachte zunächst die Orts-Achse (y-Achse). Hier entspricht $1$ Teilstrich $100$ Meter.
Geht man vom Ort um $16:13$ Uhr ( $2$ Teilstriche links neben $16:15$ Uhr) nach links bis zur Orts-Achse oder y-Achse (roter Pfeil), so kann man dort $800 \mathrm{m}$ ablesen.
Antwort: Miriam hat $800 \mathrm{m}$ bis zur Ampel zurückgelegt.
Lösung Teilaufgabe 3
In Teilaufgabe 2 ist schon die Zeit genannt worden.
Antwort: Sie ist um $16:13$ Uhr an der Ampel angekommen.
Der waagerechte Wegstrich bedeutet Stillstand (keine Ortsveränderung). Dieser waagerechte Wegstrich ist genau $1$ Teilstrich lang, d.h. sie hat $1$ Minute gewartet, ehe sie umkehrte.
Lösung Teilaufgabe 4
Von den zurückgelegten $800$ Metern (siehe Teilaufgabe 2) ist sie bis auf eine Entfernung von $500 \mathrm{m}$ zur Schule zurückgefahren.
Antwort: Die Jacke lag $500 \mathrm{m}$ von der Schule entfernt.
Lösung Teilaufgabe 5
Sie musste $800 \mathrm{m} - 500\mathrm{m} =300 \mathrm{m}$ zurückfahren.
Antwort: Sie musste insgesamt $2\cdot300 \mathrm{m} = 600\mathrm{m}$ zusätzlich fahren, weil sie ihre Jacke verloren hatte.
Lösung Teilaufgabe 6
Der waagerechte Wegstrich an der Ampel ist wieder $1$ Teilstrich lang.
Antwort: Miriam musste $1$ Minute an der Ampel warten.
Lösung Teilaufgabe 7
An Ende des Graphen befindet sich ein $5$ Teilstriche langer waagrechter Wegstrich, d.h. es findet keine Ortsveränderung mehr statt. Danach endet der Graph, d.h. Miriam ist zu Hause angekommen. Geht man von diesem waagrechten Wegstrich nach links bis zur Orts-Achse oder y-Achse (roter Pfeil), so kann man dort $2500 \mathrm{m}$ ablesen.
Antwort: Miriam hat einen Schulweg von $2500 \mathrm{m}.$
Lösung Teilaufgabe 8
Der Graph endet um $16:45$ Uhr, d.h. Miriam ist zu Hause angekommen. Geht man von $16:45$ Uhr um $5$ Teilstriche zurück, d.h. um $5$ Minuten, so erhält man Miriams Ankunftszeit vor dem Haus.
Antwort: Miriam ist um $16:40$ Uhr vor ihrem Haus angekommen.
Zusatzfrage: Miriam bleibt noch $5$ Minuten vor ihrem Haus stehen, da sie noch ihre Sachen vom Fahrrad nehmen und das Fahrrad abschließen muss.
Alternativ könnte sie auch bemerkt haben, dass auf ihrem Handy eine SMS eingegangen ist und sie möchte noch schnell wissen, um was es geht.
3
Das Diagramm zeigt, wie viel Benzin sich zu jedem Zeitpunkt einer Reise im Tank eines Fahrzeugs befindet.
1. Beschreibe knapp, was um 16:00 Uhr geschieht.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Diagramme interpretieren
  gegebene Informationen:
  Situation um $16:00$ Uhr: Auto mit $5\mathrm l$ Benzin gefüllt
  Situation um $16:00$ Uhr: Auto mit $40\mathrm l$ Benzin gefüllt
  Differenz des Benzinstandes um $16:00$ Uhr berechnen.
  $5\mathrm l-40\mathrm l=-35\mathrm l=\left|35\mathrm l\right|$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Es wurden $35\mathrm l$ getankt.
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2. EWie viele Liter Benzin hat das Auto auf der Reise von 10:00 Uhr bis 21:00 Uhr verbraucht?
  l
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Diagramme interpretieren
  gegebene Informationen:
  Anfangssituation um $10:00$ Uhr: Auto mit $45\mathrm l$ Benzin gefüllt.
  Situation um $16:00$ Uhr: Auto mit $5\mathrm l$ Benzin gefüllt.
  Situation um $16:00$ Uhr: Auto mit $40\mathrm l$ Benzin gefüllt.
  Endsituation $21:00$ Uhr: Auto mit $10\mathrm l$ Benzin gefüllt.
  Differenz des Benzinstandes zwischen $10:00$ und $16:00$ sowie zwischen $16:00$ und $21:00$ Uhr berechnen.
  $45\mathrm l-5\mathrm l=40\mathrm l$
  $40\mathrm l-10\mathrm l=30\mathrm l$
  Die Ergebnisse beider Differenzen addieren .
  $40\mathrm l+30\mathrm l=70\mathrm l$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Es wurden $70\mathrm l$ verbraucht.
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4
In den folgenden Bildern A, B und C siehst du drei Graphen, die den gleichen Sachverhalt zeigen.
Die Preise sind in € angegeben.
a) Erkläre, worin sich die drei Graphen unterscheiden.
b) Finde Gemeinsamkeiten der drei Graphen.
c) Begründe, welche Darstellung du am geeignetsten findest.

Teilaufgabe a)
Der Maßstab der drei Graphen unterscheidet sich. Für die y-Achse wurden folgende Maßstäbe gewählt:
A: 1cm $\hat{=}$ 0,25 €
B: 1cm $\hat{=}$ 0,5 €
C: 1cm $\hat{=}$ 1 €
Teilaufgabe b)
Alle Graphen zeigen den gleichen Sachverhalt. Somit sind alle Zuordnungen von Preis und Menge gleich.
Auf der x-Achse wurde jeweils der gleiche Maßstab gewählt: 1cm $\hat{=}$ 1 Stück
Teilaufgabe c)
In der Darstellung A kann man am besten den Preis für eine bestimmte Menge ablesen.
In Darstellung C ist das eher schwierig.
Und auch in Darstellung B ist es weniger leicht die Wertepaare abzulesen als in A.
Daher ist die Darstellung A zu empfehlen.
5
Der Graph zeigt, wie ein Gefäß innerhalb von 10 Minuten mit Wasser gefüllt wird.
1. Bestimme, wie viel Wasser in den ersten 3 Minuten eingefüllt wird.
  l
2. Beschreibe, was zwischen der 6. und der 9. Minute passiert.
3. Lies ab, wie viel Liter Wasser in 10 Minuten insgesamt eingefüllt wird.
  l
6
Auf folgenden Rennstrecken wurde die Geschwindigkeit einer Fahrerin in der 2. Runde gemessen.
Ordne die folgenden Geschwindigkeitsgraphen, den entsprechenden Rennstrecken zu. Begründe deine Entscheidung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Diagramme interpretieren
Jede der Abbildungen von 1 bis 4 enthält verschiedene Streckenabschnitte. Sie geben Auskunft über die dort gefahrene Geschwindigkeiten.
Verläuft der Geschwindigkeitsgraph waagerecht, so wird dort mit konstanter Geschwindigkeit gefahren.
Ist die Steigung des Geschwindigkeitsgraphen negativ, so nimmt die Geschwindigkeit ab, d. h. hier wird gebremst.
Ist die Steigung des Geschwindigkeitsgraphen positiv, so nimmt die Geschwindigkeit zu, hier wird beschleunigt.
Die Kurvenform gibt Auskunft darüber wie stark gebremst werden muss.
Je enger die Kurve ist (starke Krümmung der Bahnkurve), desto stärker muss die Geschwindigkeitsabnahme erfolgen (starkes Bremsen). Bei einer nicht so stark gekrümmten Kurve ist auch die Geschwindigkeitsabnahme geringer.
So kann man anhand der Abbildungen 1 bis 4 die Art der Kurve identifizieren.
Der Graph der Rennstrecke a ist ein Kreis. Die Fahrt auf einem Kreis ist eine gleichförmige Kreisbewegung, bei der die Geschwindigkeit konstant bleibt. Der einzige Geschwindigkeitsgraph mit einer konstanten Geschwindigkeit von $180~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ (waagerechte Gerade) ist Graph Nr. 2.
Der Graph der Rennstrecke b enthält drei Kurven, eine sehr enge Kurve (starke Geschwindigkeitsabnahme bis auf $80~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ ) und zwei etwas weitere Kurven (geringere Geschwindigkeitsabnahme bis auf $180~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ ). Der Graph der Rennstrecke b enthält außerdem auch zwei längere, fast gerade Bahnstrecken. Zu den zwei längeren geraden Bahnstrecken gehören in der Abbildung 3 auch zwei längere Streckenbereiche mit gleicher Geschwindigkeit.
Zu b passt also nur der Graph 3 mit insgesamt drei Kurvenfahrten.
Der Graph der Rennstrecke c enthält vier gleich gestaltete Kurven und auch zwei längere gerade Bahnstrecken. Zu den zwei längeren geraden Bahnstrecken gehören in der Abbildung 4 auch zwei längere Streckenbereiche mit gleicher Geschwindigkeit. Zu c passt also der Graph 4 mit insgesamt vier gleichen Kurvenfahrten.
Der Graph der Rennstrecke d enthält drei sehr enge Kurven (starke Geschwindigkeitsabnahme von $240~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ bis auf $120~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ ) und drei etwas weitere Kurven (geringere Geschwindigkeitsabnahme von $240~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ auf $200~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ ). Zu dieser Abbildung passt also nur der Graph 1.
Im folgenden Abschnitt sind die Rennstrecken und die zugehörigen Geschwindigkeitsgraphen noch einmal nebeneinander dargestellt.
Graph zu Strecke a)
Graph zu Strecke b)
Graph zu Strecke c)
Graph zu Strecke d)
7
Welche der folgenden fünf Graphen gehören sicher nicht zu einer Funktion?
$G_3$ und $G_4$
$G_1, G_3$ und $G_5$
$G_2$ und $G_4$
$G_2$ und $G_5$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktion
Die Auswahlmöglichkeit $G_1$ , $G_3$ und $G_5$ führt zu Funktionen. Danach war aber in der Aufgabenstellung nicht gefragt.
Der Graph $G_1$ berührt die $y$ -Achse einmal im Punkt $A$ .
Jede weitere beliebige Parallele zur $y$ -Achse darf den Graphen dabei höchstens einmal schneiden; hier beispielsweise im Punkt $B$ .
$G_1$ gehört also zu einer Funktion.
Der Graph $G_3$ schneidet die $y$ -Achse einmal im Punkt $A$ .
Jede beliebige Parallele zur $y$ -Achse kann den Graphen dabei genau einmal schneiden; hier im Punkt $B$ .
$G_3$ gehört also zu einer Funktion.
Der Graph $G_5$ schneidet die $y$ -Achse einmal im Punkt $A$ .
Jede beliebige Parallele zur $y$ -Achse kann den Graphen dabei genau einmal schneiden; hier im Punkt $B$ .
$G_5$ gehört also zu einer Funktion.
Die Auswahlmöglichkeit $G_2$ und $G_4$ ist die gesuchte Antwort aus der Fragestellung.
Der Graph $G_2$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $A$ und im Punkt $B$ .
Damit wird aber gegen die Funktionseigenschaft verstoßen, dass jedem $x$ -Wert genau ein $y$ -Wert zugeordnet wird. $G_2$ gehört also nicht zu einer Funktion.
Der Graph $G_4$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $A$ und im Punkt $B$ .
Damit wird aber gegen die Funktionseigenschaft verstoßen, dass jedem $x$ -Wert genau ein $y$ -Wert zugeordnet wird. $G_4$ gehört also nicht zu einer Funktion.
Bei den Auswahlmöglichkeit $G_3$ und $G_4$ bzw. $G_2$ und $G_5$ war jeweils eine Funktion und jeweils einmal keine Funktion dabei.
Am Graphen kannst Du sehr gut ablesen, ob die Funktionseigenschaft erfüllt ist, ob also jedem $x$ -Wert genau ein $y$ -Wert zugeordnet wird. Jede Parallele zur $y$ -Achse kann den Graphen dabei genau einmal schneiden.
8
Wähle alle richtigen Aussagen aus:
Der Graph einer Funktion schneidet die $y$ -Achse höchstens einmal.
Eine zur $x$ -Achse parallele Gerade ist ein Funktionsgraph.
Der Graph einer Funktion schneidet die $x$ -Achse mindestens einmal.
Der Graph einer Funktion schneidet die $x$ -Achse höchstens einmal.
Der Graph einer Funktion schneidet die $y$ -Achse mindestens einmal.
Eine zur $y$ -Achse parallele Gerade ist ein Funktionsgraph.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen
Bei dieser Aufgabe sind sechs Aussagen angegeben, von denen man jeweils herausfinden soll, ob sie richtig sind.
Beachte dabei: Du darfst eine Aussage nur dann als richtig werten, wenn sie auch wirklich immer stimmt, und nicht schon dann, wenn es irgendwelche Fälle gibt, in denen sie mal richtig ist.
Sobald es auch nur ein einziges Gegenbeispiel gibt, ist die Aussage falsch.
Wahr sind nur die Aussagen, die "im allgemeinen Fall" richtig sind.
Falsche Aussagen
Folgende Aussagen sind für den allgemeinen Fall nicht richtig:
"Der Graph einer Funktion schneidet die $x$ -Achse mindestens einmal."
"Der Graph einer Funktion schneidet die $x$ -Achse höchstens einmal."
"Der Graph einer Funktion schneidet die $y$ -Achse mindestens einmal."
Und die folgende Aussage ist sogar immer falsch:
"Eine zur $y$ -Achse parallele Gerade ist ein Funktionsgraph."
Richtige Aussagen
Richtig sind die folgenden Aussagen:
"Eine zur $x$ -Achse parallele Gerade ist ein Funktionsgraph."
"Der Graph einer Funktion schneidet die $y$ -Achse höchstens einmal."
Begründungen
Zur Aussage "Der Graph einer Funktion schneidet die x-Achse mindestens einmal."
Betrachte zum Beispiel den folgenden Funktionsgraphen:
Dieser Graph schneidet die $x$ -Achse nicht.
Anmerkung:
Die Funktion, zu der der Graph im Bild gehört, ist: $f:x \mapsto 0{,}5x²+1$
Die Aussage ist also im Allgemeinen falsch, da es eine Funktion gibt, für die sie nicht erfüllt ist.
("Im Allgemeinen falsch" heißt: Für eine bestimmte Funktion kann sie schon richtig sein, aber sie stimmt nicht für jede Funktion, also nicht "allgemein").
Zur Aussage "Der Graph einer Funktion schneidet die $x$ -Achse höchstens einmal."
Betrachte zum Beispiel den folgenden Funktionsgraphen:
Dieser Graph schneidet die $x$ -Achse mehr als einmal.
Anmerkung:
Die Funktion, zu der der Graph im Bild gehört, ist: $g:x \mapsto x²-2$
Die Aussage ist also im Allgemeinen falsch, da es eine Funktion gibt, für die sie nicht erfüllt ist.
Zur Aussage "Der Graph einer Funktion schneidet die $y$ -Achse mindestens einmal."
Betrachte zum Beispiel den folgenden Funktionsgraphen:
Dieser Graph hat keinen Schnittpunkt mit der $y$ -Achse. da der $x$ -Wert $0$ nicht im Definitionsbereich der Funktion ist.
Anmerkung:
Die Funktion, zu der der Graph im Bild gehört, ist: $h:x \mapsto \frac{1}{x}$
Die Aussage ist also im Allgemeinen falsch, da es eine Funktion gibt, für die sie nicht erfüllt ist.
Zur Aussage "Eine zur $y$ -Achse parallele Gerade ist ein Funktionsgraph."
Betrachte zum Beispiel den folgenden Graphen:
Dieser Graph gehört nicht zu einer Funktion.
Eine zur $y$ -Achse parallele Gerade kann nicht Graph einer Funktion sein, weil diese Funktion dann einem einzigen $x$ -Wert unendlich viele $y$ -Werte (und nicht nur einen!) zuordnen würde.
Die Aussage ist sogar immer falsch, es gilt nämlich:
Eine zur y-Achse parallele Gerade ist kein Graph einer Funktion $f: x\mapsto f(x)$ .
Zur Aussage "Eine zur $x$ -Achse parallele Gerade ist ein Funktionsgraph."
Diese Aussage ist richtig.
Wenn eine Gerade parallel zur $x$ -Achse bei $y=a$ verläuft, dann haben alle ihre Punkte den $y$ -Wert $a$ .
Daher ist die Gerade Graph der Funktion
$f:x\mapsto a$ ,
die jedem $x$ den Wert $a$ zuordnet.
(Die Gerade im Bild hier zum Beispiel ist Graph der Funktion $f: x\mapsto 1$ . )
Zur Aussage "Der Graph einer Funktion schneidet die $y$ -Achse höchstens einmal."
Die Aussage ist richtig.
Wenn ein Graph die $y$ -Achse mehr als einmal schneidet, kann er nicht Graph einer Funktion $f: x \mapsto f(x)$ sein.
Denn dem $x$ -Wert $x=0$ müsste dann mehr als nur ein $y$ -Wert zugeordnet sein.
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Handelt es sich um eine Funktion oder nur um eine Zuordnung?
1. Einer Sängerin hat besonders erfolgreiche Lieder, auch Nummer 1 Hits genannt. Jedem Jahr wird die Anzahl dieser Nummer 1 Hits zugeordnet.
  eine Funktion
  nur eine Zuordnung
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen
  Zu jedem Jahr gibt es eine eindeutige Zahl an Nummer 1 Hits. Deshalb handelt es sich um eine Funktion
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2. Diesmal wird die umgedrehte Richtung angeschaut:
  Anzahl der Nummer 1 Hits $\mapsto$ Jahr
  Es ist eine Funktion
  Es ist nur eine Zuordnung
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen
  Dies ist nur eine Zuordnung. 0 Hits hat sie zum Beispiel in jedem Jahr, in dem sie keine Musik produziert.
  Es gibt also keinen eindeutigen Wert, der der Anzahl 0 Hits zugeordnet wird und deshalb ist es nur eine Zuordnung, keine Funktion
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3. Du kaufst Äpfel und zahlst jeden einzelnen davon. Die betrachete Zuordnung ist: Anzahl Äpfel $\mapsto$ Preis
  Es ist eine Funktion
  Es handelt sich nur um eine Zuordnung
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen
  Es handelt sich um eine Funktion, denn jeder Stückzahl kann an diesem Tag eindeutig der zugehörige Preis zugeordnet werden.
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4. Wieder kaufst du Äpfel. Diesmal interessiert dich aber der Zusammenhang Preis $\mapsto$ Anzahl Äpfel
  Es handelt sich um eine Funktion
  Es ist lediglich eine Zuordnung
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen
  Auch dies ist eine Funktion. Zahlt man einen bestimmten Preis bekommt man an diesem Tag dafür auch immer eine bestimmte Anzahl an Äpfeln
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10
Überprüfe, ob jeweils eine direkte proportionale Zuordnung vorliegt und begründe kurz.
1. Verbrauch in l
  Strecke in km
  4,25
  70
  12,75
  210
  Ja
  Nein
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Direkte Proportionalität
  Hier liegt eine direkte proportional Zuordnung vor. Der Proportionalitätsfaktor ist konstant.
  Es gilt: $70\;km:4{,}25\;l=210\;km:12{,}75\;l$
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2. Stückzahl
  Preis in €
  2
  1,60
  4
  3,20
  10
  7,20
  Ja
  Nein
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Direkte Proportionalität
  Diese Zuordnung ist nicht direkt proportional.
  Es ist: $1{,}60€:2=0{,}80€=3{,}20€:4$ , aber $7{,}20€:10=0{,}72€\neq0{,}80€$
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3. Menge in kg
  Preis in €
  2,5
  10
  0,5
  2,5
  Ja
  Nein
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Direkte Proportionalität
  Die Zuordnung ist nicht direkt proportional. Die Quotienten "Preis pro Menge" sind nicht gleich groß.
  $10€:2{,}5kg=4€:kg\neq5€:kg=2{,}5€:0{,}5kg$
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