Aufgaben zu den Formeln für Umfang und Flächeninhalt von Kreisen

Berechnung der Kreisgrößen

Im Kreis gilt:

$\ U=2r\cdot\pi;\quad\ A=r^2\cdot\pi;\quad d=2r$

Berechnungen Spalte a.)

$\ d=2r\ \Rightarrow\ d=2\cdot1{,}5\ \text{cm}\$

$\ \boxed{d=3\ \text{cm}}$

$\ U=2r\cdot\pi\ \Rightarrow\ U=2\cdot1{,}5\ \text{cm}\cdot\pi$

$\ \boxed{U=9{,}4\ \text{cm}}$

$\ A=r^2\cdot\pi\ \Rightarrow\ A=2{,}25\ \text{cm}^2\cdot\pi$

$\ \boxed{A=7{,}1\ \text{cm}^2}$

Berechnungen Spalte b.) wie a.) jedoch $r=33{,}0\ \text{cm}$

Berechnungen Spalte c.)

$\ r=\dfrac{d}{2}\ \Rightarrow\ r=\dfrac{2{,}4\ \text{m}}{2}$

$\ \boxed{r=1{,}2\ \text{m}}$

$\ U=2r\cdot\pi\ \Rightarrow\ U=2\cdot1{,}2\ \text{m}\cdot\pi$

$\ \boxed{U=7{,}5\ \text{m}}$

$\ A=r^2\cdot\pi\ \Rightarrow\ A=1{,}44\ \text{cm}^2\cdot\pi$

$\ \boxed{A=4{,}5\ \text{m}^2}$

Berechnungen Spalte d.)

$\ U=2r\cdot\pi\ \Rightarrow\ 2r=\dfrac{U}{\pi}\ \Rightarrow\ 2r=\dfrac{71{,}6\text{\ m}}{\pi}$

$\ 2r=\boxed{d=22{,}8\text{\ m}}$

$\hspace{9mm}\boxed{r=11{,}4\text {\ m}}$

$\ A=r^2\cdot\pi\ \Rightarrow\ A=129{,}96\ \text{m}^2\cdot\pi$

$\ \boxed{A=408{,}3\text{\ m}^2}$

Berechnungen Spalte e.)

$\ A=r^2\cdot\pi\ \Rightarrow\ r=\sqrt{\dfrac{A}{\pi}}\ \Rightarrow\ r=\sqrt{\dfrac{12{,}6\text{\ cm}^2}{\pi}}$

$\ \boxed{r=2{,}0\ \text{cm}}\ \Rightarrow\ d=\ 2\cdot2{,}0\text{\ cm}$

$\ \boxed{d=4{,}0\text{\ cm}}$

$\ U=2r\cdot\pi\ \Rightarrow\ U=2\cdot2{,}0 \text{\ cm}\cdot\pi$

$\ \boxed{U=12{,}6\text{\ cm}}$

Ergänze die Tabelle entsprechend.

Änderung des Flächeninhalts beim Vielfachen des Radius:

Mit der Formel des Flächeninhalts $A$ kann der Radius der Koppel berechnet werden. Dafür ist auch das Rechnen mit Quadratwurzeln nötig.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} r^2 \cdot \pi =& A &|\div \pi\\\\ r^2 =& A \div \pi &| \text{Werte}\: \text{einsetzen}\\\\ r^2 =& 314\m^2 \div 3{,}14 \\\\ r^2 =& 100\m^2 &|\text{Wurzel \: ziehen} \\\\ \sqrt{r^2} =& \sqrt{100\m^2} \\\\ r =& 10\m \end{array}$

Der Radius der Koppel beträgt $10\m$. Der Zaun ist so lang wie der Durchmesser des Koppel.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {rcl}\text{Durchmesser} &=& 2 \cdot r \\\\ &=& 2\cdot 10\m \\\\ &=& 20\m\end{array}$

Um die Koppel zu teilen, werden $20\m$ Zaun benötigt.