Teil A

Die Wertetabelle sollte so aussehen:

Diese Punkte kannst du jetzt einfach in das Koordinatensystem eintragen und miteinander verbinden:

Claudia multipliziert den Anfangswert ihrer Aktien mit dem Faktor ${\mathrm{1,07}}^x$, sie geht also davon aus, dass der Wert ihrer Aktien jährlich um $7\%$ zunimmt.

Das fünffache des Anfangskapitals sind $5\cdot 2000€=10000€$. Suche jetzt die Stelle auf dem Graphen, an dem der y-Wert $10000$ beträgt und lies den entsprechenden x-Wert ab:

Aus der Zeichnung kann man erkennen, dass der x-Wert ungefähr bei $\mathrm{23,..}$ liegt. Wirklich verfünffacht hat sich das Anfangskapital dann also nach 24 Jahren.

Am $\mathrm{22.02.2065}$ sind $45$ Jahre vergangen, seit Claudia die Aktien gekauft hat. Um herauszufinden, wie viel ihre Aktien dann wert sind, setzt du einfach den Wert $45$ in die Funktion ein und erhältst:

$f(45)=2000\cdot {\mathrm{1,07}}^{45}=\mathrm{42004,90}$

Nach der Annahme sind die Aktien zu Claudias Ruhestand also etwa $42005€$ wert.

Denn mit dem zweiten Strahlensatz für die V-Figur gilt:

Und du hast auch die Länge der Strecke $[EF]$ berechnet.

Um den Flächeninhalt eines Trapezes zu berechnen benötigst du die Längen, der zueinander parallelen Seiten (diese kennst du schon: $\overline{EF}=\mathrm{3,99}\text{cm}$ und $\overline{CD}=10\text{cm}$), sowie die Länge der Höhe. Die Höhe ist im Trapez $CDEF$ durch die Strecke $[QR]$ gegeben, die Länge dieser Strecke musst du noch berechnen.

Um $\overline{QR}$ zu berechnen kannst du zum Beispiel das Dreieck $PQR$ betrachten, das wiederum im Dreieck $PQS$ liegt:

Du kennst bereits die Seitenlängen $\overline{PQ}=4\text{cm}$ und $\overline{PR}=3\text{cm}$. Wenn du jetzt noch den Wert des Winkels $\sphericalangle QPR$ (bzw. $\sphericalangle QPS$) herausfindest, dann kannst du den Kosinussatz verwenden, um $\overline{QR}$ zu erhalten.

Um den Wert von $\sphericalangle QPS$ zu bestimmen, kannst du den Tangens im rechtwinkligen Dreieck $PQS$ verwenden (es funktioniert aber genauso gut mit Sinus oder Kosinus):

Nun wendest du noch den Kosinussatz an und erhältst damit $\overline{QR}$:

Damit hast du jetzt alles, was du brauchst, um den Flächeninhalt des Trapezes mit der Formel zu berechnen:

$A_{CDEF}=\frac{1}{2}(\overline{AB}+\overline{CD})\cdot \overline{QR}=\frac{1}{2}(\mathrm{3,99}\text{cm}+10\text{cm})\cdot (\mathrm{3,78}\text{cm})=\mathrm{26,44}{\text{cm}}^2$

Einzeichnen der Pyramide $E$$FTS$ in das Schrägbild

Für das Pyramidenvolumen gilt:

$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot G\cdot h={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{EF}\cdot \overline{RT}\cdot \overline{ST}$

In Aufgabe a) wurde $\overline{EF}=\mathrm{3,99}\text{cm}$ berechnet. Es müssen noch die Strecken $\overline{RT}$ und $\overline{ST}$ berechnet werden. In Aufgabe b) wurde der Winkel $\measuredangle QPS=\mathrm{63,43}°$ berechnet. Es gilt: $\measuredangle TRS=\measuredangle QPS=\mathrm{63,43}°$

Im Dreieck $RTS$ kann der Kosinus angewendet werden:

Damit ist $\overline{RT}=\mathrm{2,66}\text{cm}$.

Im Dreieck $RTS$ kann der Sinus angewendet werden:

Damit ist $\overline{ST}=\mathrm{5,31}\text{cm}$.

Setze alle Werte in die Volumenformel ein:

Das Volumen der Pyramide $EFTS$ beträgt $\mathrm{9,39}{\text{cm}}^3$.

Lösung Teilaufgabe a

$\overline{BE}=\overline{BC}-\overline{EC}$

Berechne zunächst $\overline{EC}$ und verwende hierfür den Strahlensatz.

${\displaystyle \frac{\overline{EC}}{\overline{BC}}}={\displaystyle \frac{\overline{DE}}{\overline{AB}}}$

${\displaystyle \frac{\overline{EC}}{5\text{cm}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{3,6}\text{cm}}{7\text{cm}}}$

$\overline{EC}=\mathrm{2,57}\text{cm}$

$\overline{BE}=5\text{cm}-\mathrm{2,57}\text{cm}=\mathrm{2,43}\text{cm}$

Lösung Teilaufgabe b

$d$ ist der Abstand der Strecken [AB] und [DE].

Dann gilt:

$\cos (\sphericalangle CBA-90°)={\displaystyle \frac{d}{\overline{BE}}}$

Um den Winkel $\sphericalangle CBA$ zu bestimmen, berechne zunächst den Winkel $\sphericalangle BAC$. Wende hierzu den Sinussatz auf das Dreieck $ACB$ an.

$\text{}$

${\displaystyle \frac{\sin (\sphericalangle BAC)}{\overline{BC}}}={\displaystyle \frac{\sin 40°}{7\text{cm}}}$

${\displaystyle \frac{\sin (\sphericalangle BAC)}{\overline{5\text{cm}}}}={\displaystyle \frac{\sin 40°}{7\text{cm}}}$

$\sin (\sphericalangle BAC)={\displaystyle \frac{\sin 40°\cdot 5\text{cm}}{7\text{cm}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{3,2139}\text{cm}}{7\text{cm}}}=\mathrm{0,4591}$$\text{}$

$\sphericalangle BAC={\sin }^{-1}(\mathrm{0,4591})=\mathrm{27,33}°$

Da die Winkelsumme im Dreieck $180°$beträgt, ergibt sich

$\sphericalangle CBA=180°-40°-\mathrm{27,33}°=\mathrm{112,67}°$

$\cos (\mathrm{112,67}°-90°)={\displaystyle \frac{d}{\mathrm{2,43}\text{cm}}}$

$d=\cos (\mathrm{22,67}°)\cdot \mathrm{2,43}\text{cm}=\mathrm{2,24}\text{cm}$

Der Abstand $d$ der Strecken $[AB]$ und $[DE]$ beträgt $\mathrm{2,24}\text{cm}$.