Lösung zu a)

An der Stelle $x=0$ ist $f'(x)=0$ und $f'(x)$ hat hier einen Vorzeichenwechsel von $+$ nach $-$. Das Schaubild von $f(x)$ hat somit bei $x=0$ einen Hochpunkt.

Die Aussage ist wahr.

Lösung zu b)

Der Verlauf von $f'(x)$ lässt keine eindeutigen Rückschlüsse auf den Verlauf von $f(x)$ zu.

Die Aussage ist unentscheidbar.

Lösung zu c)

Für $-1<x<1$ entnimmst du dem Schaubild, dass hier $f'(x)$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Demnach muss Schaubild von $f(x)$ achsensymmetrisch zur y-Achse sein.

Die Aussage ist falsch.

Lösung zu d)

An der Stelle $x=2$ ist $f'(x)$ maximal, d.h. $f''(x)=0$. Außerdem ist $f'(2)=0$ und $f'(x)$ hat hier keinen Vorzeichenwechsel, sodass hier ein Terrassenpunkt oder Sattelpunkt vorliegt.

Die Aussage ist wahr.

(Anmerkung: Ein Terrassenpunkt oder Sattelpunkt ist ein Wendepunkt, in dem die Steigung einer Funktion 0 wird.)

Lösung zu a)

Anzahl der Extremstellen: Der Abbildung entnimmst du, dass $f'(x)$ zwei Nullstellen jeweils mit Vorzeichenwechsel hat. Demnach hat $f(x)$ zwei Extrema.

Anzahl der Wendestellen: Der Abbildung entnimmst du, dass $f'(x)$ zwei Extrema hat. Hier ist jeweils $f''(x)=0$. Demnach hat $f(x)$ zwei Wendestellen.

Anzahl der Nullstellen: Sowohl die Ableitung von $f(x)$ als auch die Ableitung von $f(x)+c$ (Graph von $f(x)$ parallel zur y-Achse verschoben) ergeben die gleiche Ableitungsfunktion $f'(x)$. Somit ist keine genaue Aussage über die Anzahl der Nullstellen von $f(x)$ möglich.

Allerdings weißt du, dass zwischen zwei Nullstellen von $f$ immer ein Extremum liegen muss. Daher kann $f$ höchstens drei Nullstellen haben.

Lösung zu b)

Das Integral $\int_{-2}^3f'(x)\mathrm{d}x$ kann in zwei Teile zerlegt werden: $\int_{-2}^3f'(x)\mathrm{d}x=\int_{-2}^1f'(x)\mathrm{d}x+\int_{1}^3f'(x)\mathrm{d}x$

Dabei gilt: $\Big\vert\int_{-2}^1f'(x)\mathrm{d}x \Big\vert>\int_{1}^3f'(x)\mathrm{d}x$. Der Wert des Integrals $\int_{-2}^1f'(x)\mathrm{d}x$ ist negativ, da die Fläche unter der $x$-Achse liegt. Insgesamt ist dann die Flächenbilanz negativ, sodass die angegebene Ungleichung stimmt.

Du kannst auch z.B. durch das Zählen von ganzen Kästchen feststellen, dass schon $\int_{-2}^{-1/2}f(x)\, dx<-3$ und $\int_1^3 f(x)\, dx<3$ ist.

Lösung zu a)

An der Stelle $x=0$ ist $f'(0)=2$, d.h. die Steigung ist hier positiv. Bei einem Extrempunkt müsste die Steigung aber $0$ sein.

Die Aussage ist falsch.

Lösung zu b)

$f'(-2)=0$ und $f'(x)$ hat hier einen Vorzeichenwechsel, sodass hier eine Extremstelle mit waagrechter Tangente vorliegt.

Die Aussage ist wahr.

Lösung zu c)

An der Stelle $x=0$ ist $f''(0)=0$, d.h. der Graph hat hier einen Wendepunkt.

Die Aussage ist falsch.

Lösung zu d)

Sowohl die Ableitung von $f(x)$ als auch die Ableitung von $f(x)+c$ (Graph von $f(x)$ parallel zur y-Achse verschoben) ergeben die gleiche Ableitungsfunktion $f'(x)$. Aus dem Verlauf von $f'(x)$ kann nicht auf den Verlauf von $f(x)$ rückgeschlossen werden.

Die Aussage unentscheidbar.

Lösung zu a)

Für $x>0$ ist die Steigung der Funktion $f(x)$ kleiner als $1$. Da aber $g(x)$ für $x>$0 immer $>2$ ist, kann $g(x)$ nicht die Ableitungsfunktion von $f(x)$ sein. Demnach ist $g'(x)=f(x)$.

Antwort: Die Funktion $f(x)$ ist die Ableitung der Funktion $g(x)$.

Lösung zu b)

Es gilt: $g(0)=3$ $\;\Rightarrow\;3=e^0+b\;\Rightarrow\;3=1+b\;\Rightarrow\;b=2$

$y_A=2$ ist auch die waagrechte Asymptote der Funktion $g(x)$.

Somit ist $g(x)=e^{ax}+2\;\Rightarrow\;g'(x)=a\cdot e^{ax}=f(x)$ wie in Aufgabe a) nachgewiesen.

$f(0)=-\frac{1}{2}\;\Rightarrow\;g'(0)=-\frac{1}{2}=a\cdot e^0=a$

Antwort: $a=-\frac{1}{2}$ und $b=2$. Damit folgt für die Funktion $g(x)=e^{-\frac{1}{2}\cdot x}+2$.

Lösung zu a)

Die gegebene Funktion $f(x)=\dfrac{a}{1+x^2}-1$ ist wegen $f(-x)=f(x)$ achsensymmetrisch zur y-Achse. Die Abbildung $2$ ist die einzige Funktion, die achsensymmetrisch zur y-Achse ist. Außerdem hat $f(x)$ eine waagrechte Asymptote $y_A=-1$ und nur der Graph in Abbildung $2$ hat auch eine waagrechte Asymptote $y_A=-1$.

Es gilt: $f(0)=2\;\Rightarrow\;2=\dfrac{a}{1+0}-1\;\Rightarrow\;a=3$

Antwort: Abbildung $2$ gehört zur Funktion $f(x)$ und $a$ hat den Wert $3$.

Lösung zu b)

Der Graph der Funktion $f(x)=\dfrac{3}{1+x^2}-1$ hat bei $x=0$ einen Hochpunkt $\;\Rightarrow\; f'(0)=0$ mit Vorzeichenwechsel von $+$ nach $-$. Nur Abbildung $3$ erfüllt diese beiden Bedingungen.

Die Integralfunktion $I(x)=\int_{2}^xf(t)\mathrm{d}t$ hat für $x=2$ eine Nullstelle. Nur die Abbildung $4$ hat bei $x=2$ eine Nullstelle.

Antwort: Abbildung $3$ gehört zur Ableitungsfunktion $f'(x)$ und Abbildung $4$ gehört zur Integralfunktion $I(x)$.