🎓 Ui, schon Prüfungszeit? Hier geht's zur Mathe-Prüfungsvorbereitung.
Springe zum Inhalt oder Footer
SerloDie freie Lernplattform

Verschiebungen, Streckungen und Stauchungen von Hyperbeln

Der Graph der Funktion f(x)=ax+b+cf(x)=\frac{a}{x+b}+c ist für verschiedene Werte von aa, bb und cc stets eine Hyperbel. Hier ist aR{0}a\in \mathbb{R}\setminus\{0\}, bRb\in\mathbb{R}, cRc\in\mathbb{R}.

Abbilden der Standardhyperbel

Der Graph der Funktion ff entsteht aus dem Graphen der Funktion von g(x)=1xg(x)=\frac{1}{x} (Standardhyperbel) durch:

  • Verschiebung nach unten oder oben\bold{\textcolor{009999}{\text{oben}}} (Veränderung von c\text{c})

Verschiebung der Hyperbel nach oben
  • Verschiebung nach links oder rechts\textcolor{ff6600}{\text{rechts}} (Veränderung von b\bold{b}),

Verschiebung der Hyperbel nach rechts
  • Spiegelung\textcolor{660099}{\text{Spiegelung}}, Stauchung \textcolor{006400}{\text{Stauchung}} und Streckung (Veränderung von a\bold{a})

Spiegelung, Stauchung und Streckung von Hyperbeln

Der Reihe nach kannst du hier die Veränderungen der Funktion g(x)=1xg\left(x\right)=\frac{1}{x} durch die Parameter aa, bb oder cc nachvollziehen.

Verschiebung nach unten und oben

Der Parameter cc der Funktion f(x)=ax+b+cf(x)=\frac{a}{x+b}+c verschiebt den Graphen der Funktion g(x)=1xg(x)=\frac 1x nach unten bzw. oben.

  • c>0  c>0\ \ \Rightarrow Verschiebung um c\left|c\right| nach oben

  • c<0  c<0\ \ \Rightarrow Verschiebung um c|c| nach unten

Verschiebung von Hyperbeln nach oben oder unten

Beispiel für eine Verschiebung nach unten

Vergleiche anhand einer Tabelle die Funktionswerte von f1(x)=1xf_1(x)=\frac 1x und f2(x)=1x4.f_2(x)=\frac 1x -4. (An der Stelle x=0 sind die beiden Funktionen nicht definiert: nd. = nicht definiert)

Beispiel Tabelle Hyperbel Verschiebung nach unten

Im Koordinatenystem kannst du nun f1f_1 und f2f_2 skizzieren.

Beispiel Hyperbel Verschiebung nach unten

Durch Vergleich der Graphen von f1f_1 und f2\textcolor{009999}{f_2} kannst du erkennen, dass der Graph von f2\textcolor{009999}{f_2} aus dem Graphen von f1f_1 entsteht. Wenn du den Graphen von f1f_1 um 44 nach unten verschiebst, erhältst du den Graphen von f2\textcolor{009999}{f_2}.

Veränderung der Asymptoten

  • Die senkrechte Asymptote der Hyperbel verändert sich durch eine Verschiebung um c\left|c\right| nach unten bzw. oben nicht.

  • Die waagrechte Asymptote der Hyperbel verschiebt sich (wie der Graph selbst) um c\left|c\right| nach oben bzw. unten.

Verschiebungen nach links und rechts

Der Parameter bb der Funktion f(x)=ax+b+cf(x)=\frac{a}{x+b}+c verschiebt den Graphen der Funktion g(x)=1xg(x)=\frac{1}{x} nach links bzw. rechts.

  • b>0  b>0\ \ \Rightarrow Verschiebung um b\left|b\right| nach links

  • b<0  b<0\ \ \Rightarrow Verschiebung um b\left|b\right| nach rechts

Hyperbel Verschiebung nach links oder rechts

Beispiel für eine Verschiebung nach rechts

Vergleiche anhand einer Tabelle die Funktionswerte von f1(x)=1xf_1(x)=\frac 1x und f2(x)=1x2.f_2(x)=\frac{1}{x-2}.

(An den Stellen x=0x=0 bzw. x=2x=2 sind die beiden Funktionen nicht definiert: nd. = nicht definiert)

Beispiel Tabelle Hyperbel Verschiebung nach rechts

Die Zeilen der Tabelle von f1(x)f_1\left(x\right) und f2(x)f_2\left(x\right) sehen sich sehr ähnlich. Sie enthalten die gleichen Werte, nur an anderer Stelle xx. Die Funktionswerte sind in der Tabelle um 2 nach rechts verschoben.

Im Koodinatensystem sehen die Hyperbeln dann so aus:

Beispiel Hyperbel Verschiebung nach rechts

Durch Vergleich der Graphen von f1f_1 und f2\textcolor{ff6600}{f_2} kannst du erkennen, dass der Graph von f2\textcolor{ff6600}{f_2} aus dem Graphen von f1f_1 entsteht. Wenn du den Graphen von f1f_1 um 22 nach rechts verschiebst, erhältst du den Graphen von f2\textcolor{ff6600}{f_2}.

Veränderung der Asymptoten

  • Die waagrechte Asymptote der Hyperbel verschiebt sich durch Änderung des Parameters bb nicht.

  • Die senkrechte Asymptote der Hyperbel verschiebt sich (wie der Graph selbst) um b\left|b\right| nach rechts bzw. links.

Stauchen und Strecken der Hyperbel

Der Parameter aa der Funktion f(x)=ax+b+cf(x)=\frac{a}{x+b}+c staucht bzw. streckt den Graphen der Funktion g(x)=1xg(x)=\frac{1}{x}. Hier betrachten wir erstmal nur positive Werte für aa, also a>0a>0.

  • a]0;1]  a\in]0;1]\ \ \Rightarrow Stauchung

  • a>1        a>1\ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow Streckung

Beispiel für eine Streckung

Vergleiche anhand einer Tabelle die Funktionswerte von f1(x)=1xf_1(x)=\frac 1x und f2(x)=4xf_2(x)=\frac{4}{x}.

(An der Stelle x=0x=0 sind die beiden Funktionen nicht definiert: nd. = nicht definiert)

Beispiel Tabelle Hyperbel Streckung

Die Funktionswerte f1(x)f_1(x) werden mit dem Faktor 44 multipliziert. So erhältst du die Werte f2(x)f_2(x).

Im Koordinatensystem sehen die Hyperbeln dann so aus:

Beispiel Hyperbel Streckung

Die y-Werte der Punkte auf der Hyperbel von f1f_1 werden mit dem Faktor 44 multipliziert und die Hyperbel so nach außen gestreckt. Die gestreckte Hyperbel ist dann der Graph von f2\textcolor{006400}{f_2}.

Veränderung der Asymptoten

Die Asymptoten ändern sich durch Stauchung und Streckung des Graphen nicht.

Spiegeln der Hyperbel

Der Parameter aa der Funktion f(x)=ax+b+cf(x)=\frac{a}{x+b}+c spiegelt den Graphen der Funktion g(x)=1xg(x)=\frac 1x für negative Werte von aa an der waagrechten Asymptoten von ff.

Beispiel

Vergleiche anhand einer Tabelle die Funktionswerte von f1(x)=1xf_1(x)=\frac 1x und f2(x)=1x=1xf_2(x)=\frac{-1}{x}=-\frac{1}{x}.

(An der Stelle x=0x=0 sind die beiden Funktionen nicht definiert: nd. = nicht definiert)

Beispiel Tabelle Hyperbel Spiegelung

Wechselt man das Vorzeichen von f1(x)f_1(x), erhält man die Werte von f2(x)f_2(x).

Die Hyperben sehen im Koordinatensystem dann so aus:

Beispiel Hyperbel Spiegelung

Der Graph von f1f_1 wurde an der waagrechten Asymptote von f1f_1 (und zwar x=0x=0) gespiegelt. So erhält man den Graphen von f2\textcolor{660099}{f_2}.

Veränderung der Asymptoten

Die Asymptoten ändern sich durch eine Spiegelung nicht.

Verknüpfung der verschiedenen Parameter

Die Verschiebungen nach oben/unten und links/rechts sowie die Stauchung/Streckung und Spiegelung kannst du auch miteinander verbinden.

Im folgenden Applet kannst du dir für verschiedene Werte von a\textcolor{cc0000}{a}, b\textcolor{660099}{b} und c\textcolor{009999}{c} den Graphen der Funktion f(x)=ax+b+cf(x)=\frac{\textcolor{cc0000}{a}}{x+\textcolor{660099}{b}}+\textcolor{009999}{c} zeichnen lassen. Bewege hierfür den roten, lila und türkisen Schieberegler.

Durch Klicken auf die Kästchen "waagrechte Asymptote" und "senkrechte Asymptote" kannst du dir die entsprechenden Asymptoten des Graphen ein- und ausblenden.

Aufgaben

Übungsaufgaben zu diesem Thema findest du im Aufgabenordner Aufgaben zu einfachen gebrochen-rationale Funktionen.

Übungsaufgaben

Du hast noch nicht genug vom Thema?

Hier findest du noch weitere passende Inhalte zum Thema:

Artikel


Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0Was bedeutet das?