10 Anwendung: Faktorisieren

Ein weiteres wichtiges Anwendungsgebiet der binomischen Formeln ist das Faktorisieren von Termen, also das Umwandeln von Summen in Produkte. In bestimmten Fällen können die binomischen Formeln damit sehr viel Arbeit ersparen.

Beispiele

$x^2+2x+1=\left(x+1\right)^2$

$4-4a+a^2=\left(2-a\right)^2$

$4-z^2=\left(2-z\right)\left(2+z\right)$

Wann kannst du die binomischen Formeln zum Faktorisieren benutzen?

Zuallererst musst du überprüfen, wie viele Summanden der Term besitzt.

• Sind es drei, so kommen die ersten beiden Formeln infrage;

• sind es zwei, so kann die dritte Formel hilfreich sein.

Sind es mehr als drei Summanden, so muss man zuerst versuchen, die Terme zusammenzufassen.

Drei Summanden

Hat man drei Summanden, so überprüft man, ob zwei der Summanden Quadrate sind. Notfalls muss man zuerst einen geeigneten Faktor ausklammern. Die Wurzeln dieser Quadrate nennt man $a$ und $b$.

Ist dies der Fall, so muss man noch den mittleren Term überprüfen, indem man $2ab$ berechnet.

Falls dieses Ergebnis mit dem mittleren Summanden aus der Aufgabenstellung übereinstimmt, kann man die binomische Formel zum Faktorisieren benutzen, indem man nun noch das Vorzeichen betrachtet und je nachdem die erste oder zweite binomische Formel benutzt.

Zwei Summanden

Hat man zwei Summanden, so überprüft man, ob nur vor einem der beiden Summanden ein Minuszeichen steht.

Ist das der Fall, so überprüft man, ob die beiden Summanden Quadrate sind. Ist das auch der Fall, so kann man mithilfe der dritten binomischen Formel faktorisieren.

Falls keine der Summanden ein Quadratterm ist, kann man noch versuchen, einen geeigneten Faktor ausklammern.

Keiner der Wege funktioniert

Der Term lässt sich nicht mithilfe einer binomischen Formel faktorisieren. Hier kannst du nur vereinfachen, indem du die quadratische Ergänzung benutzt, das ist allerdings dann keine Faktorisierung mehr.

Beispielaufgaben

Aufgabe 1

Überprüfe, ob $9x^4-24x^2+16$ mithilfe einer binomischen Formel faktorisiert werden kann.

• Zuerst siehst du, dass der Term drei Summanden besitzt, also kommen die erste und zweite binomische Formel infrage.

• Nun überprüfst du, ob zwei der Summanden Quadrate sind. Dies ist hier der Fall, da $9x^4=\left(3x^2\right)^2=a^2$ und $16=4^2=b^2$ gilt.

• Dann berechnest du den Mischterm $2\cdot a\cdot b=2\cdot3x^2\cdot4$ und erhältst $24x^2$, was mit dem mittleren Term übereinstimmt.

• Da das Vorzeichen des mittleren Terms negativ ist, kann man nun also mit der zweiten binomischen Formel faktorisieren.

• Es gilt also:$9x^4-24x^2+16=\left(3x^2-4\right)^2$

Aufgabe 2

Überprüfe, ob $4x^2-289$ mithilfe einer binomischen Formel faktorisiert werden kann.

• Zuerst siehst du, dass der Term zwei Summanden besitzt und nur vor einem Summanden ein Minuszeichen steht, also kommt die dritte binomische Formel infrage.

• Nun überprüfst du, ob die beiden Summanden Quadrate sind.

• Das ist hier der Fall, da $4x^2=\left(2x\right)^2=a^2$ und $289=17^2=b^2$ gilt.

• Der Term kann also mit der dritten binomischen Formel faktorisiert werden: $4x^2-289=\left(2x+17\right)\cdot\left(2x-17\right)$

Aufgabe 3

Überprüfe, ob $36-4x+4x^2$ mithilfe einer binomischen Formel faktorisiert werden kann.

• Zuerst siehst du, dass der Term drei Summanden besitzt.

• Dann überprüfst du, ob zwei Quadrate vorhanden sind. Dies ist der Fall, da $36=6^2=a^2$ und $4x^2=\left(2x\right)^2=b^2$ gilt.

• Nun gilt für den Mischterm $2ab=2\cdot6\cdot2x=24x\neq4x$, das heißt, dass keine binomische Formel angewendet werden kann.