Lernziel

In diesem Kurs lernst du, was die binomischen Formeln sind, wie man sie richtig anwendet und wofür man sie anwenden kann.

Voraussetzungen

• Terme umformen

• Klammern ausmultiplizieren (Distributivgesetz)

• Potenzgesetze

Was passiert in diesem Kurs

Hier hast du einen Überblick, wie dieser Kurs genau abläuft. Du kannst damit deinen eigenen Lernplan machen, je nachdem wie viel Zeit du hast. Du kannst auch Teile, die du schon beherrscht, überspringen.

1. Herleitung der binomischen Formeln

2. Anwendung der binomischen Formeln (Ausmultiplizieren)

3. Anwendung der binomischen Formeln (Faktorisieren)

4. Weitere Anwendungen und Übungsaufgaben

5. Zusammenfassung

Artikel zum Kurs

Den theoretischen Inhalt dieses Kurses kannst du im Artikel binomische Formel nachlesen.

Diese Formeln stehen zwar in jeder gängigen Formelsammlung, du solltest die aber auf jeden Fall auswendig können!

Mehr zur Herleitung der Formeln findest du im Kurs zur Einführung der binomischen Formel.

Auf den letzten Seiten hast du kennengelernt, wie man die binomischen Formeln durch Ausmultiplizieren herleitet. Es gibt aber noch die Möglichkeit, die Formeln durch Flächenvergleiche herzuleiten. Für die erste binomische Formel funktioniert das so:

Die grafischen Herleitungen der anderen beiden Formeln kannst du im Artikel Binomische Formeln nachlesen.

Durch die binomischen Formeln lassen sich Klammerterme deutlich schneller ausrechnen als durch stures "Jedes mit jedem"-Ausmultiplizieren.

Beispiel: Berechnung mit der 1. binomischer Formel

Zu berechnen ist der Term $(x^2+3{)}^2(x^2+3)^2$.

1) Befolgt man einfach nur die Klammerregeln, so ergibt sich

2) Mit der binomischen Formel geht das schneller:

Beispiel: Berechnung mit der 2. binomischen Formel

Zu berechnen ist der Term $(x-6{)}^2(x-6)^2$.

1) Befolgt man einfach nur die Klammerregeln, so ergibt sich

2) Auch hier ist die binomische Formel schneller:

Beispiel: Berechnung mit der 3. binomischen Formel

Zu berechnen ist der Term $(x+4)(x-4)(x+4)(x-4)$.

1) Befolgt man einfach nur die Klammerregeln, so ergibt sich

2) Mit der binomischen Formel wird es leichter:

Jetzt kannst du ausprobieren, ob du es verstanden hast.

Wende auf folgende Terme eine der binomischen Formeln an.

Es gibt einige Tipps und Tricks zur Benutzung binomischer Formeln beim Ausmultiplizieren.

Fehlerquelle: Vergessen des mittleren Terms

Vorsicht! Ein häufig gemachter Fehler ist das Weglassen des mittleren Terms bei den ersten beiden binomischen Formeln. Im Allgemeinen ist

und

Beispiel: für a = 2, b = 1:

Anwenden der Potenzgesetze

Da beim Anwenden der binomischen Formeln Quadrate ausgerechnet werden müssen, sollte man auch die Potenzgesetze beherrschen.

Beispiel:

Anwenden auf Terme mit $aa$ und $bb$

Die beiden Variablen $aa$ und $bb$ können auch mit Termen in $aa$ und $bb$ verwendet werden - dabei darf man sich nicht verwirren lassen!

Beispiel:

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Schreibe ohne Klammern.

Aufgabe 3

Löse auf (Binome)

Löse auf (Binome)

Löse auf (Binome)

Aufgabe 4

Wähle die richtige Lösung

1. ${(4x+3)}^2=\backslash left(4x+3\backslash right)^2=$

2. ${(9-3a)}^2=\backslash left(9-3a\backslash right)^2=$

3. $(2x-3)\cdot (2x+3)=\backslash left(2x-3\backslash right)\backslash cdot\backslash left(2x+3\backslash right)=$

Hier sind noch mehr Aufgaben zum Üben. Wenn du Probleme dabei hast, kannst du auf die vorherigen Seiten zurückblättern, um dir die Beispielaufgaben nochmal durchzulesen.

1. binomische Formel

Löse auf (Binome)

Löse auf (Binome)

Löse auf (Binome)

2. binomische Formel

Löse auf (Binome)

Löse auf (Binome)

Löse auf (Binome)

Schreibe ohne Klammern

Schreibe ohne Klammern

Multipliziere aus und fasse neu zusammen

Schreibe ohne Klammern

Vereinfache

3. binomische Formel

Schreibe ohne Klammern

Schreibe ohne Klammern

Gemischte Aufgaben

Löse auf (Binome)

Löse auf (Binome)

Vereinfache

Vereinfache

Multipliziere und fasse zusammen

Multipliziere und fasse zusammen

Multipliziere und fasse zusammen

Multipliziere und fasse zusammen

Multipliziere und fasse zusammen

Multipliziere und fasse zusammen

Binomische Formeln anwenden zu können, ist nicht nur praktisch für gute Schulnoten in der Mathematik. Man kann sie auch beim Kopfrechnen benutzen, falls man doch einmal ohne Taschenrechner unterwegs ist oder Spaß dabei hat, Tricks für das Kopfrechnen zu lernen.

Trick 1

Was ist zum Beispiel ${\left(23\right)}^2\backslash left(23\backslash right)^2$ ?

Ein Blick auf den Taschenrechner verrät das Ergebnis: $529529$. Im Kopf kann das spontan vermutlich nicht jeder. Aber wer ${20}^2=40020^2=400$, $3^2=93^2=9$, $2\cdot 3=62\backslash cdot3=6$ und $20\cdot 6=12020\backslash cdot6=120$ im Kopf rechnen kann, der kann auch ${23}^{2}23^2$ mithilfe der binomischen Formeln im Kopf rechnen. Wie geht das genau?

Probier es aus!

Die Lösung sieht kompliziert aus? Probiere es doch trotzdem mal selbst aus!

Was ist ${32}^{2}32^2$ ?

Trick 2

Ein anderer Trick benutzt die 3. binomische Formel: Was ist $32\cdot 2832\backslash cdot28$ ?

Kommst du vielleicht selbst darauf?

Probier es aus!

Angenommen, du feierst nächste Woche deinen Geburtstag in einem Restaurant. Eingeladen sind $1717$ Freunde, All-you-can-eat kostet $2323$ Euro pro Person. Wie viel kostet es, wenn alle All-you-can-eat bestellen?

Ein weiteres wichtiges Anwendungsgebiet der binomischen Formeln ist das Faktorisieren von Termen, also das Umwandeln von Summen in Produkte. In bestimmten Fällen können die binomischen Formeln damit sehr viel Arbeit ersparen.

Beispiele

$x^2+2x+1={(x+1)}^{2}x^2+2x+1=\backslash left(x+1\backslash right)^2$

$4-4a+a^2={(2-a)}^{2}4-4a+a^2=\backslash left(2-a\backslash right)^2$

$4-z^2=(2-z)(2+z)4-z^2=\backslash left(2-z\backslash right)\backslash left(2+z\backslash right)$

Wann kannst du die binomischen Formeln zum Faktorisieren benutzen?

Zuallererst musst du überprüfen, wie viele Summanden der Term besitzt.

• Sind es drei, so kommen die ersten beiden Formeln infrage;

• sind es zwei, so kann die dritte Formel hilfreich sein.

Sind es mehr als drei Summanden, so muss man zuerst versuchen, die Terme zusammenzufassen.

Drei Summanden

Hat man drei Summanden, so überprüft man, ob zwei der Summanden Quadrate sind. Notfalls muss man zuerst einen geeigneten Faktor ausklammern. Die Wurzeln dieser Quadrate nennt man $aa$ und $bb$.

Ist dies der Fall, so muss man noch den mittleren Term überprüfen, indem man $2ab2ab$ berechnet.

Falls dieses Ergebnis mit dem mittleren Summanden aus der Aufgabenstellung übereinstimmt, kann man die binomische Formel zum Faktorisieren benutzen, indem man nun noch das Vorzeichen betrachtet und je nachdem die erste oder zweite binomische Formel benutzt.

Zwei Summanden

Hat man zwei Summanden, so überprüft man, ob nur vor einem der beiden Summanden ein Minuszeichen steht.

Ist das der Fall, so überprüft man, ob die beiden Summanden Quadrate sind. Ist das auch der Fall, so kann man mithilfe der dritten binomischen Formel faktorisieren.

Falls keine der Summanden ein Quadratterm ist, kann man noch versuchen, einen geeigneten Faktor ausklammern.

Keiner der Wege funktioniert

Der Term lässt sich nicht mithilfe einer binomischen Formel faktorisieren. Hier kannst du nur vereinfachen, indem du die quadratische Ergänzung benutzt, das ist allerdings dann keine Faktorisierung mehr.

Beispielaufgaben

Aufgabe 1

Überprüfe, ob $9x^4-24x^2+169x^4-24x^2+16$ mithilfe einer binomischen Formel faktorisiert werden kann.

• Zuerst siehst du, dass der Term drei Summanden besitzt, also kommen die erste und zweite binomische Formel infrage.

• Nun überprüfst du, ob zwei der Summanden Quadrate sind. Dies ist hier der Fall, da $9x^4={\left(3x^2\right)}^2=a^{2}9x^4=\backslash left(3x^2\backslash right)^2=a^2$ und $16=4^2=b^{2}16=4^2=b^2$ gilt.

• Dann berechnest du den Mischterm $2\cdot a\cdot b=2\cdot 3x^2\cdot 42\backslash cdot\; a\backslash cdot\; b=2\backslash cdot3x^2\backslash cdot4$ und erhältst $24x^{2}24x^2$, was mit dem mittleren Term übereinstimmt.

• Da das Vorzeichen des mittleren Terms negativ ist, kann man nun also mit der zweiten binomischen Formel faktorisieren.

• Es gilt also:$9x^4-24x^2+16={(3x^2-4)}^{2}9x^4-24x^2+16=\backslash left(3x^2-4\backslash right)^2$

Aufgabe 2

Überprüfe, ob $4x^2-2894x^2-289$ mithilfe einer binomischen Formel faktorisiert werden kann.

• Zuerst siehst du, dass der Term zwei Summanden besitzt und nur vor einem Summanden ein Minuszeichen steht, also kommt die dritte binomische Formel infrage.

• Nun überprüfst du, ob die beiden Summanden Quadrate sind.

• Das ist hier der Fall, da $4x^2={\left(2x\right)}^2=a^{2}4x^2=\backslash left(2x\backslash right)^2=a^2$ und $289={17}^2=b^{2}289=17^2=b^2$ gilt.

• Der Term kann also mit der dritten binomischen Formel faktorisiert werden: $4x^2-289=(2x+17)\cdot (2x-17)4x^2-289=\backslash left(2x+17\backslash right)\backslash cdot\backslash left(2x-17\backslash right)$

Aufgabe 3

Überprüfe, ob $36-4x+4x^{2}36-4x+4x^2$ mithilfe einer binomischen Formel faktorisiert werden kann.

• Zuerst siehst du, dass der Term drei Summanden besitzt.

• Dann überprüfst du, ob zwei Quadrate vorhanden sind. Dies ist der Fall, da $36=6^2=a^{2}36=6^2=a^2$ und $4x^2={\left(2x\right)}^2=b^{2}4x^2=\backslash left(2x\backslash right)^2=b^2$ gilt.

• Nun gilt für den Mischterm $2ab=2\cdot 6\cdot 2x=24x\mathrm{\ne }4x2ab=2\backslash cdot6\backslash cdot2x=24x\backslash neq4x$, das heißt, dass keine binomische Formel angewendet werden kann.

Hier kannst du wieder ausprobieren, ob du die Inhalte der letzten Seite verstanden hast.

Aufgabe 1

Faktorisiere den Term

$x^2+16x+64x^2+16x+64$.

Hier wird noch einmal erklärt, wie du vorgehen musst.

Aufgabe 2

Faktorisiere den Term

$12y^4-12x{y}^2+3x^{2}12y^4-12xy^2+3x^2$.

Auch hier noch einmal eine Erklärung, wie du vorgehen musst.

Aufgabe 3

Faktorisiere den Term

$-64+b^2-64+b^2$.

Im Spoiler befindet sich die Erklärung dazu.

Weitere Übungsaufgaben

Kann man die binomische Formel anwenden? Wenn ja, wende sie an.

Kann man die binomische Formel anwenden? Wenn ja, wende sie an.

Kann man die binomische Formel anwenden? Wenn ja, wende sie an.

Binomische Formeln wirst du später in unterschiedlichen Aufgabenstellungen verwenden müssen.

Brüche kürzen

Du hast vielleicht schon mit Bruchtermen wie $\frac{2x+2}{x+1}\backslash frac\{2x+2\}\{x+1\}$ zu tun gehabt, die man kürzen kann:${\displaystyle \frac{2(x+1)}{x+1}}=2\backslash dfrac\{2\backslash left(x+1\backslash right)\}\{x+1\}=2$.

Kannst du bei ${\displaystyle \frac{x^2+2x+1}{x+1}}\backslash dfrac\{x^2+2x+1\}\{x+1\}$ auch durch Kürzen weiter vereinfachen?

Diese Technik braucht man zum Beispiel, um gebrochenrationale Funktionen stetig fortzusetzen und um Asymptoten zu erkennen.

Probier es selbst

Nenner rational machen

Dieses Thema ist nur relevant für dich, falls du schon mit Wurzeln umgehen kannst.

Beim "Nenner rational machen" geht es darum, den Nenner eines Bruchs mit geschicktem Erweitern wurzelfrei zu schreiben.

Was hat das für Vorteile? Zum Beispiel kann man ${\displaystyle \frac{4}{3-\sqrt{5}}}\backslash dfrac4\{3-\backslash sqrt5\}$ größenmäßig schwerer einschätzen als $3+\sqrt{5}3+\backslash sqrt5$.

Quadratische Ergänzung

Binomische Formel ist eine wichtige Voraussetzung für die quadratische Ergänzung.

In diesem Kurs haben wir die drei binomischen Formeln kennengelernt und uns ihre Anwendungen angeschaut.

1. $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

2. $(a+b)(a-b)=a^2-b^2(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Es gibt genau zwei Möglichkeiten, sie zu verwenden, nämlich vor- und rückwärts. Die erste Variante ist das Ausmultiplizieren. Beachte dabei mögliche Fehlerquellen! Die zweite Variante ist das Faktorisieren. Außerdem verwendet man die binomischen Formeln, um Terme zu vereinfachen. Zum Beispiel

• bei Brüchen

• bei Wurzeln (Rationalmachen des Nenners)

• bei quadratischen Formeln (Quadratische Ergänzung). Man kann sie auch verwenden, um schneller Kopfrechnen zu können.