Überblick zu den binomischen Formeln

Kurs

1 Überblick

Lernziel

In diesem Kurs lernst du, was die binomischen Formeln sind, wie man sie richtig anwendet und wofür man sie anwenden kann.

Voraussetzungen

Was passiert in diesem Kurs

Hier hast du einen Überblick, wie dieser Kurs genau abläuft. Du kannst damit deinen eigenen Lernplan machen, je nachdem wie viel Zeit du hast. Du kannst auch Teile, die du schon beherrscht, überspringen.

Herleitung der binomischen Formeln
Anwendung der binomischen Formeln (Ausmultiplizieren)
Anwendung der binomischen Formeln (Faktorisieren)
Weitere Anwendungen und Übungsaufgaben
Zusammenfassung

Artikel zum Kurs

Den theoretischen Inhalt dieses Kurses kannst du im Artikel binomische Formel nachlesen.

2 Was sind die binomischen Formeln?

Merke

Unter den binomischen Formeln versteht man die folgenden drei Umformungen:

1. binomische Formel:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

2. binomische Formel:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

3. binomische Formel:

(a + b) \cdot (a - b) = a^{2} - b^{2}

Diese Formeln stehen zwar in jeder gängigen Formelsammlung, du solltest die aber auf jeden Fall auswendig können!

Mehr zur Herleitung der Formeln findest du im Kurs zur Einführung der binomischen Formel.

3 Exkurs: Herleitung über Flächen von Quadraten

Auf den letzten Seiten hast du kennengelernt, wie man die binomischen Formeln durch Ausmultiplizieren herleitet. Es gibt aber noch die Möglichkeit, die Formeln durch Flächenvergleiche herzuleiten. Für die erste binomische Formel funktioniert das so:

Berechnet man den Flächeninhalt des gesamten Quadrats, dann bekommt man mit Seitenlänge $(a + b)$ als Ergebnis ${(a + b)}^{2}$ .

Zählt man stattdessen die Flächeninhalte der vier Vierecke zusammen, so bekommt man $a^{2} + a b + a b + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .

Bei diesen zwei unterschiedlichen Herangehensweisen kommen wir auf dasselbe Ergebnis, also gilt ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .

Die grafischen Herleitungen der anderen beiden Formeln kannst du im Artikel Binomische Formeln nachlesen.

4 Anwendung: Ausmultiplizieren

Durch die binomischen Formeln lassen sich Klammerterme deutlich schneller ausrechnen als durch stures "Jedes mit jedem"-Ausmultiplizieren.

Beispiel: Berechnung mit der 1. binomischer Formel

Zu berechnen ist der Term $(x^{2} + 3)^{2}$ .

1) Befolgt man einfach nur die Klammerregeln, so ergibt sich

	${(x^{2} + 3)}^{2}$
$=$	$(x^{2} + 3) \cdot (x^{2} + 3)$
$=$	$x^{4} + 3 x^{2} + 3 x^{2} + 9$
$=$	$x^{4} + 6 x^{2} + 9$

2) Mit der binomischen Formel geht das schneller:

	${(x^{2} + 3)}^{2}$
$=$	$(x^{2})^{2} + 2 \cdot x^{2} \cdot 3 + 3^{2}$
$=$	$x^{4} + 6 x^{2} + 9$

Beispiel: Berechnung mit der 2. binomischen Formel

Zu berechnen ist der Term $(x - 6)^{2}$ .

1) Befolgt man einfach nur die Klammerregeln, so ergibt sich

	${(x - 6)}^{2}$
$=$	$(x - 6) \cdot (x - 6)$
$=$	$x^{2} - 6 x - 6 x + 36$
$=$	$x^{2} - 12 x + 36$

2) Auch hier ist die binomische Formel schneller:

	${(x - 6)}^{2}$
$=$	$(x)^{2} - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2}$
$=$	$x^{2} - 12 x + 36$

Beispiel: Berechnung mit der 3. binomischen Formel

Zu berechnen ist der Term $(x + 4) (x - 4)$ .

1) Befolgt man einfach nur die Klammerregeln, so ergibt sich

	$(x + 4) \cdot (x - 4)$
$=$	$x^{2} - 4 x + 4 x - 16$
$=$	$x^{2} - 16$

2) Mit der binomischen Formel wird es leichter:

	$(x + 4) \cdot (x - 4)$
$=$	$(x)^{2} - 4^{2}$
$=$	$x^{2} - 16$

5 Übung: Ausmultiplizieren

Jetzt kannst du ausprobieren, ob du es verstanden hast.

Wende auf folgende Terme eine der binomischen Formeln an.

Laden

6 Hinweise zum Ausmultiplizieren

Es gibt einige Tipps und Tricks zur Benutzung binomischer Formeln beim Ausmultiplizieren.

Fehlerquelle: Vergessen des mittleren Terms

Vorsicht! Ein häufig gemachter Fehler ist das Weglassen des mittleren Terms bei den ersten beiden binomischen Formeln. Im Allgemeinen ist

(a + b)^{2} \neq a^{2} + b^{2}

und

(a - b)^{2} \neq a^{2} - b^{2}

Beispiel: für a = 2, b = 1:

{(2 - 1)}^{2} = 1^{2} = 1 \neq 3 = 4 - 1 = 2^{2} - 1^{2}

Anwenden der Potenzgesetze

Da beim Anwenden der binomischen Formeln Quadrate ausgerechnet werden müssen, sollte man auch die Potenzgesetze beherrschen.

Beispiel:

	${(5 x + 3)}^{2}$
$=$	${(5 x)}^{2} + 2 \cdot 5 x \cdot 3 + 3^{2}$
$=$	$25 x^{2} + 30 x + 9$

Anwenden auf Terme mit $a$ und $b$

Die beiden Variablen $a$ und $b$ können auch mit Termen in $a$ und $b$ verwendet werden - dabei darf man sich nicht verwirren lassen!

Beispiel:

	${(4 a^{2} + 2 b)}^{2}$
$=$	$16 a^{4} + 16 a^{2} b + 4 b^{2}$

7 Übung: Beachtung der Hinweise

Aufgabe 1

Laden

Aufgabe 2

Schreibe ohne Klammern.

Laden

Aufgabe 3

Löse auf (Binome)

Laden

Löse auf (Binome)

Laden

Löse auf (Binome)

Laden

Aufgabe 4

Wähle die richtige Lösung

1. ${(4 x + 3)}^{2} =$

a) $16 x^{2} + 9$

b) $16 x^{2} + 12 x + 9$

c) $16 x^{2} + 24 x + 9$

d) $4 x^{2} + 24 x + 9$

2. ${(9 - 3 a)}^{2} =$

a) $81 - 54 a + 9 a^{2}$

b) $81 - 9 a^{2}$

c) $81 - 27 a + 3 a^{2}$

d) $81 - 54 a - 9 a^{2}$

3. $(2 x - 3) \cdot (2 x + 3) =$

a) $4 x^{2} + 9$

b) $4 x^{2} - 12 x + 9$

c) $4 x - 9$

d) $4 x^{2} - 9$

8 Weitere Übungsaufgaben zum Ausmultiplizieren

Hier sind noch mehr Aufgaben zum Üben. Wenn du Probleme dabei hast, kannst du auf die vorherigen Seiten zurückblättern, um dir die Beispielaufgaben nochmal durchzulesen.

1. binomische Formel

Löse auf (Binome)

Laden

Löse auf (Binome)

Laden

Löse auf (Binome)

Laden

2. binomische Formel

Löse auf (Binome)

Laden

Löse auf (Binome)

Laden

Löse auf (Binome)

Laden

Schreibe ohne Klammern

Laden

Schreibe ohne Klammern

Laden

Multipliziere aus und fasse neu zusammen

Laden

Schreibe ohne Klammern

Laden

Vereinfache

Laden

3. binomische Formel

Schreibe ohne Klammern

Laden

Schreibe ohne Klammern

Laden

Gemischte Aufgaben

Löse auf (Binome)

Laden

Löse auf (Binome)

Laden

Vereinfache

Laden

Vereinfache

Laden