Finde Definitionslücken, indem du schaust, wann der Nenner Null wird.

$\mathrm{x}^2+\mathrm{a}=0$ $\left|-\mathrm a\right.$

$\mathrm{x}^2=-\mathrm{a}$

Mache eine Fallunterscheidung für a.

$\mathrm{a}>0$ :  Gleichung nie erfüllt

Bestimme den Definitionsbereich.

$\Rightarrow\;\;{\mathrm D}_{{\mathrm f}_\mathrm a}=\mathbb{R}$

$\mathrm{a}\le0:$  $\mathrm{x}=\pm\sqrt{-\mathrm{a}}$

Bestimme den Definitionsbereich.

$\Rightarrow\;\;{\mathrm D}_{{\mathrm f}_\mathrm a}=\mathbb{R}\;\backslash\;\left\{\pm\sqrt{-\mathrm a}\right\}$

Nullstellen bestimmen

$-2\mathrm{x}^2+50=0 \left|-50\right.$

$-2\mathrm{x}^2=-50$ $\left|:\left(-2\right)\right.$

$\mathrm{x}^2=25$ $\left|\sqrt{}\right.$

$\mathrm{x}=\pm5$

Gib die beiden Nullstellen an.

$\Rightarrow\;\;{\mathrm x}_1=-5\;\;,\;\;{\mathrm x}_2=5$

Y-Achsenabschnitt bestimmen

Setze $0$ in die Funktion ein

$\mathrm{f}_{\mathrm{a}}(0)=\frac{-2\cdot \left(0\right)^2+50}{\left(0\right)^2+\mathrm{a}}=\frac{50}{\mathrm{a}}$

Gib den Schnittpunkt an.

$\Rightarrow\;\;{\mathrm Y}_\mathrm a\left(\left.0\;\right|\;\frac{50}{\mathrm a}\right)$

Berechne nun den Grenzwert

Bestimme nun den Grenzwert. Je nachdem von welcher Seite man sich $\sqrt{-a}$ nähert, erhält man entweder ein $+$ oder ein $-$ als Vorzeichen:

$\overset{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}{\rightarrow\pm\infty}$

$\mathrm{f}_{\mathrm{a}}(\mathrm{x})=\frac{-2\mathrm{x}^2+50}{\mathrm{x}^2+\mathrm{a}}$

Setze die geforderten Werte für a ein und bestimme so die 3 Funktionsterme

$\mathrm{f}_{-25}(\mathrm{x})=\frac{-2\mathrm{x}^2+50}{\mathrm{x}^2-25}\frac{-2\left(\mathrm{x}^2-25\right)}{\left(\mathrm{x}^2-25\right)}-2$

Beachte hier aber die Definitionslücken beim Einzeichnen!

$\mathrm{f}_{-16}(\mathrm{x})=\frac{-2\mathrm{x}^2+50}{\mathrm{x}^2-16}$

$\mathrm{f}_{25}(\mathrm{x})=\frac{-2\mathrm{x}^2+50}{\mathrm{x}^2+25}$

Skizze: