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Volumenberechnungen mit Integralen

In der Schule lernst du das Berechnen von Flächen mittels Integralen kennen. Das Gleiche funktioniert aber auch eine Dimension höher. In Abbildung 1 siehst du einen Quader in einem dreidimensionalen Koordinatensystem. Es gilt für die Koordinaten:

A=(000),G=(242)A=(0|0|0), G=(-2|4|2).

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  1. Berechne das Volumen des Quaders mit der Volumenformel.

    Betrachte nun in Abbildung 2 die Vorderseite des Quaders. Die Seite [EF][EF] ist der Graph der auf [0;4][0;4] definierten Funktion s:x22s: x_2 \mapsto 2.

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  2. Bestimme die Fläche der Quadervorderseite AVA_V durch integrieren.

    Nun wird das Bild "gedreht". In Abbildung 3 siehst du eine seitliche Ansicht des Quaders.

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    Die Vorstellung bei der Integration ist das schrittweise Ausfüllen der Fläche unter einem Graphen mit Strichen / Balken. Das Gleiche machst du jetzt mit der in die Zeichnung hineingehenden Fläche AVA_V, um den Quader "auszufüllen".

  3. Bestimme das Volumen VQV_Q des Quaders durch Integration mit dem Integranden AVA_V.

    Ausgehend vom Anfang ist die Volumenformel damit ein doppeltes Integral.

    Die Volumenformel für einen Zylinder mit Höhe hh und Grundflächenradius rr lautet VZ=0h0r2sπdsdxV_Z=\displaystyle \int_0^h \int_0^r2s\pi\operatorname{d}s\operatorname{d}x.

  4. Erkläre, warum diese Formel richtig ist. (Hinweis: Überlege dir, wie der Zylinder nach und nach durch Strecken, Kreise, Flächen o. ä. ausgefüllt wird)

    Betrachte jetzt die Volumenformel VK=rrxr2sπdsdx\displaystyle V_K= \int_{-r}^r\int_x^r2s\pi\operatorname{d}s\operatorname{d}x

  5. Das Volumen welchen Körpers KK wird mit dieser Formel berechnet?

  6. Zeige, dass VKV_K die richtigen Ergebnisse liefert, indem du VKV_K für r=1r=1 und r=2r=2 berechnest und mit dem Ergebnis der Volumenformel aus der Geometrie vergleichst.