Die Volumenformel lautet "Länge mal Breite mal Höhe". Hier

$A_V=\int _0^42dx_2=\left[2x_2\right]_0^4=8$

$V_Q=\left|\int _0^{-2}A_Vdx_1\right|=\left|\int _0^{-2}8dx_1\right|=\left|\left[8x_1\right]_0^{-2}\right|=16$

Schritt 1: Der innere Teil $2s\pi$ ist die Formel für den Umfang eines Kreises mit Radius $\pi$. Bei der Integration über den Radius $s$ zeichnest du dann anschaulich für alle Radien $0\leq s \leq r$ einen Kreis. Mit diesen Kreisen füllst du nach und nach die komplette Fläche des Kreises mit Radius $r$ aus. Das innere Integral $\int_0^r 2s\pi \operatorname{d}s$ gibt dir damit den Flächeninhalt der Zylindergrundfläche.

Schritt 2: Die erhaltene Kreisfläche legst du dann so oft übereinander, bis der ganze Zylinder ausgefüllt ist. Das entspricht dem Integral von $0$ bis $h$ über die Kreisfläche. Du erhältst das Zylindervolumen.

$V_K=\int_{-r}^r\int_x^r2s\pi dsdx=\int_{-r}^rr^2\pi-x^2\pi dx=\left[r^2x\pi-\frac{1}{3}x^3\pi\right]_{-r}^r$

$\ \ \ \ \ \ \ =r^3\pi-\frac{1}{3}r^3\pi-\left(-r^3\pi+\frac{1}{3}r^3\pi\right)=2r^3\pi-\frac{2}{3}r^3\pi=\frac{4}{3}r^3\pi\$

$\Rightarrow$ Die Formel berechnet das Volumen einer Kugel.

Bemerkung: Sich das Ausfüllen der Kugel vorzustellen ist schwieriger, da nicht die normale Kugel ausgefüllt wird, sondern eine zwei Halbkugeln, die sich an im Ursprung an den Polen berühren und dann nach oben bzw. unten offen sind.

$V_{K;r=1}=\int _{-1}^1\int _x^12s\pi dsdx=\int _{-1}^1\pi -x^2\pi dx=\left[\pi x-\frac{1}{3}x^3\pi \right]_{-1}^1$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\pi-\frac{1}{3}\pi+\pi-\frac{1}{3}\pi=\frac{4}{3}\pi$

$V_{K;r=2}=\int_{-2}^2\int_x^22s\pi dsdx=\int_{-2}^24\pi-x^2\pi dx=\left[4\pi x-\frac{1}{3}x^3\pi\right]_{-2}^2$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =8\pi-\frac{8}{3}\pi+8\pi-\frac{8}{3}\pi=\frac{32}{3}\pi=\frac{4}{3}\cdot2^3\pi$