Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 2

Im Rahmen eines W-Seminars modellieren Schülerinnen und Schüler einen Tunnelquerschnitt, der senkrecht zum Tunnelverlauf liegt. Dazu beschreiben sie den Querschnitt der Tunnelwand durch den Graphen einer Funktion in einem Koordinatensystem. Der Querschnitt des Tunnelbodens liegt dabei auf der x-Achse, sein Mittelpunkt $M$ im Ursprung des Koordinatensystems; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität. Für den Tunnelquerschnitt sollen folgende Bedingungen gelten:

I Breite des Tunnelbodens: $b=10\ m$

II Höhe des Tunnels an der höchsten Stelle: $h=5\ m$

III Der Tunnel ist auf einer Breite von mindestens $6\ m$ mindestens $4\ m$ hoch.

Eine erste Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet die Funktion $p: x \mapsto \; -0{,}2x^2+5$ mit Definitionsbereich $D_p=[-5;5]$

Zeigen Sie, dass die Bedingungen I und II in diesem Modell erfüllt sind. Berechnen Sie die Größe des spitzen Winkels, unter dem bei dieser Modellierung die linke Tunnelwand auf den Tunnelboden trifft. (6 BE)

Die Schülerinnen und Schüler untersuchen nun den Abstand $d(x)$ der Graphenpunkte $P_x(x|p(x))$ vom Ursprung des Koordinatensystems.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Bedingung I: Breite $b=10m$

Bestimme die Nullstellen und den Abstand zwischen diesen.

Setze die Funktion gleich $0$ und löse nach $x$ auf, um die Nullstellen zu erhalten. Denke daran, dass quadratische Gleichungen meist zwei Lösungen haben.

$\displaystyle -0.2x^2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -5$
$\displaystyle -0{,}2x^2$	$=$	$\displaystyle -5$	$\displaystyle :(-0{,}2)$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 25$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -5$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 5$

Man erhält also die Nullstellen $N_1(-5|0)$ und $N_2(5|0)$ . Nun muss man den Abstand dazwischen berechnen.

$|5-(-5)|=10$

Der Abstand zwischen den beiden Nullstellen ist also 10. Das entspricht der Tunnelbreite und damit ist die Bedingung I erfüllt.

Bedingung II: Höhe an der höchsten Stelle $h=5m$

Berechne dazu die $y$ -Koordinate des Maximums.

Bilde die erste Ableitung.

$f'(x)=-0{,}2\cdot 2x=-0{,}4x$

Setze die Ableitung gleich $0$ , um die Extremstelle zu erhalten.

$\displaystyle f'(x)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle -0.4x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle :(-0{,}4)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0$

Bilde die zweite Ableitung, um zu überprüfen, ob die Extremstelle ein Maximum ist.

$f''(x)=-0{,}4<0$

Nachdem diese negativ ist, ist das der Fall. Setze die $x$ -Koordinate des Maximums in die Funktion ein, um den $y$ -Wert zu erhalten.

$f(0)=-0{,}2\cdot 0^2+5=5$

Der $y$ -Wert des Maximums und damit die Höhe ist $5$ . Also ist Bedingung II erfüllt.

Spitzer Auftreffwinkel der linken Tunnelwand auf den Boden

Berechne die Steigung an dieser Stelle und anschließend den Winkel.

$f'(-5)=-0{,}4\cdot (-5)=2$

Setze $\tan(\alpha)$ gleich der Steigung und löse nach dem Winkel auf.

$\displaystyle \tan(\alpha)$	$=$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle \arctan(2)\approx63{,}43°$

Der gesuchte Winkel ist $63{,}43°$ .

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Zeigen Sie das $d(x)=\sqrt{0{,}04x^4-x^2+25}$ gilt. (3 BE)

Es gibt Punkte des Querschnitts der Tunnelwand, deren Abstand zu M minimal ist. Bestimmen Sie die x-Koordinaten der Punkte $P_x$ , für die $d(x)$ minimal ist, und geben Sie davon ausgehend diesen minimalen Abstand an. (5 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzelfunktion

Weil die Wurzelfunktion streng monoton wächst, genügt es, sich die Ableitung des Radikanden anzusehen. Die Wurzel hat dann dort eine Extremstelle, wo auch der Radikand ein Extremum hat.

$d(x)=\sqrt{0{,}04x^4-x^2+25}$

Leite nur den Teil unter der Wurzel ab (Benenne die Funktion zu Übersichtszwecken, zum Beispiel mit r):

$r(x)=0{,}04x^4-x^2+25$

$r'(x)=0{,}16x^3-2x$

Finde die Extremstellen, indem du diese Ableitung gleich $0$ setzt.

$\displaystyle rlr'(x)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 0{,}16x^3-2x$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x\cdot(0{,}16x^2-2)$	$=$	$\displaystyle 0$

Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass man die einzelnen Faktoren $0$ setzen darf, um nach $x$ aufzulösen.

$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 0{,}16x^2-2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle 0{,}16x^2$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle :0{,}16$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 12{,}5$	$\displaystyle \sqrt{ }$

$x_2=-\sqrt{12{,}5}=-3{,}53$ ...

$x_3=\sqrt{12{,}5}=3{,}53$ ...

Überprüfe, für welchen der drei Kandidaten die Abstände minimal sind, indem du sie in die Funktion d einsetzt:

$\displaystyle d(0)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{0{,}04\cdot0^4-0^2+25}=5$
$\displaystyle d(-\sqrt{12{,}5})$	$=$	$\displaystyle \sqrt{0{,}04\cdot(-\sqrt{12{,}5})^4-(-\sqrt{12{,}5})^2+25}=4{,}33\dots$
$\displaystyle d(\sqrt{12{,}5})$	$=$	$\displaystyle \sqrt{0{,}04\cdot(\sqrt{12{,}5})^4-(\sqrt{12{,}5})^2+25}=4{,}33\dots$

Man sieht, dass die Werte für $-\sqrt{12{,}5}$ und $\sqrt{12{,}5}$ kleiner sind als der von $x=0$ . Damit sind die minimalen Abstände an den Stellen $x=-\sqrt{12{,}5}$ und $x=\sqrt{12{,}5}$ und betragen ca. $4{,}3\ m$ .

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$\displaystyle d(x)^2$	$=$	$\displaystyle x^2+p(x)^2$
$\displaystyle d(x)^{ }$	$=$	$\displaystyle \sqrt{x^2+p(x)^2}$

$\displaystyle d(x)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{x^2+(-0{,}2x^2+5)^2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{x^2+0{,}04x^4-2x^2+25}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{0{,}04x^4-x^2+25}$

Bedingung I: Breite b=10mb=10mb=10m

Bedingung II: Höhe an der höchsten Stelle h=5mh=5mh=5m

Spitzer Auftreffwinkel der linken Tunnelwand auf den Boden

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Bedingung I: Breite $b=10m$

Bedingung II: Höhe an der höchsten Stelle $h=5m$