Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 2

Bedingung I: Breite $b=10m$

Bestimme die Nullstellen und den Abstand zwischen diesen.

Setze die Funktion gleich $0$ und löse nach $x$ auf, um die Nullstellen zu erhalten. Denke daran, dass quadratische Gleichungen meist zwei Lösungen haben.

Man erhält also die Nullstellen $N_1(-5|0)$ und $N_2(5|0)$. Nun muss man den Abstand dazwischen berechnen.

$|5-(-5)|=10$

Der Abstand zwischen den beiden Nullstellen ist also 10. Das entspricht der Tunnelbreite und damit ist die Bedingung I erfüllt.

Bedingung II: Höhe an der höchsten Stelle $h=5m$

Berechne dazu die $y$-Koordinate des Maximums.

Bilde die erste Ableitung.

$f'(x)=-0{,}2\cdot 2x=-0{,}4x$

Setze die Ableitung gleich $0$, um die Extremstelle zu erhalten.

Bilde die zweite Ableitung, um zu überprüfen, ob die Extremstelle ein Maximum ist.

$f''(x)=-0{,}4<0$

Nachdem diese negativ ist, ist das der Fall. Setze die $x$-Koordinate des Maximums in die Funktion ein, um den $y$-Wert zu erhalten.

$f(0)=-0{,}2\cdot 0^2+5=5$

Der $y$-Wert des Maximums und damit die Höhe ist $5$. Also ist Bedingung II erfüllt.

Spitzer Auftreffwinkel der linken Tunnelwand auf den Boden

Berechne die Steigung an dieser Stelle und anschließend den Winkel.

$f'(-5)=-0{,}4\cdot (-5)=2$

Setze $\tan(\alpha)$ gleich der Steigung und löse nach dem Winkel auf.

Der gesuchte Winkel ist $63{,}43°$.

Wenn dir nicht direkt eine Lösung einfällt, fertigst du am besten eine Skizze an.

Man kann erkennen, dass $p(x)$, $x$ und $d(x)$ ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Also kann man $d(x)$ über den Satz des Pythagoras ausrechnen.

Nun ersetzt man $p(x)$ durch die in der Aufgabenstellung gegebene Funktion und vereinfacht mit Hilfe der binomischen Formel.

Damit hat man die Formel aus der Aufgabenstellung erhalten.

Weil die Wurzelfunktion streng monoton wächst, genügt es, sich die Ableitung des Radikanden anzusehen. Die Wurzel hat dann dort eine Extremstelle, wo auch der Radikand ein Extremum hat.

$d(x)=\sqrt{0{,}04x^4-x^2+25}$

Leite nur den Teil unter der Wurzel ab (Benenne die Funktion zu Übersichtszwecken, zum Beispiel mit r):

$r(x)=0{,}04x^4-x^2+25$

$r'(x)=0{,}16x^3-2x$

Finde die Extremstellen, indem du diese Ableitung gleich $0$ setzt.

Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass man die einzelnen Faktoren $0$ setzen darf, um nach $x$ aufzulösen.

$x_2=-\sqrt{12{,}5}=-3{,}53$...

$x_3=\sqrt{12{,}5}=3{,}53$...

Überprüfe, für welchen der drei Kandidaten die Abstände minimal sind, indem du sie in die Funktion d einsetzt:

Man sieht, dass die Werte für $-\sqrt{12{,}5}$ und $\sqrt{12{,}5}$ kleiner sind als der von $x=0$. Damit sind die minimalen Abstände an den Stellen $x=-\sqrt{12{,}5}$ und $x=\sqrt{12{,}5}$ und betragen ca. $4{,}3\ m$.

Die Bedingung I besagt, dass die Breite des Tunnels $10\ m$ betragen soll. Das heißt, der Abstand zwischen der Nullstelle links und rechts vom Ursprung muss auch $10\ m$ betragen und der Abstand einer der Nullstellen zum Ursprung genau $5\ m$.

Der Kosinus besitzt seine erste Nullstelle bei $\frac{\pi}{2}$. Also setzt man das "Innere" des Kosinus gleich $\frac{\pi}{2}$.

Man erhält also das Kontrollergebnis für $c$

Flächeninhalt der Querschnittsfläche

Wegen Bedingung I weiß man, dass die Nullstellen bei $x=-5$ und $x=5$ sind. Für die Fläche muss man die Funktion von der ersten bis zur zweiten Nullstelle integrieren.

$\int_{-5}^{5} 5\cdot cos(\frac{\pi}{10}\cdot x) dx = 5\int_{-5}^{5} cos(\frac{\pi}{10}\cdot x) dx = 5 \cdot [sin(\frac{\pi}{10}\cdot x)\cdot\frac{10}{\pi}]_{-5}^{5}= \\ 5\cdot (sin(\frac{\pi}{10}\cdot 5)\cdot\frac{10}{\pi}-sin(\frac{\pi}{10}\cdot (-5))\cdot\frac{10}{\pi})=\frac{50}{\pi} \cdot (sin(\frac{\pi}{2})-sin(-\frac{\pi}{2}))= \frac{50}{\pi} \cdot (1-(-1))=\frac{50}{\pi} \cdot2 = \frac{100}{\pi}$

Damit hat man das Kontrollergebnis erhalten.

Bedingung III ist bei p nicht erfüllt

$p: x \mapsto \; -0{,}2x^2+5$ und Bedingung III: Der Tunnel ist auf einer Breite von mindestens $6\ m$ mindestens $4\ m$ hoch.

Das heißt, die Funktion müsste an der Stelle $x=6:2=3$ noch mindestens $4\ m$ hoch sein. Das testet man, indem man $x=3$ in die Funktion einsetzt.

$p(3)=-0{,}2\cdot 3^2+5=-1{,}8+5=3{,}2<4$

Man sieht, dass die Bedingung nicht erfüllt ist.

Bedingung III ist bei k nicht erfüllt

Man geht genauso vor wie für p.

Jeder Punkt hat den Abstand $5\ m$ zur Bodenmitte

Den Abstand kann man ähnlich wie bei 1b über den Satz des Pythagoras berechnen.

Damit hat man ausgerechnet, dass der Abstand von Punkt zur Bodenmitte immer $5\ m$ beträgt. Der Abstand zu einem Punkt in der Mitte beträgt also immer $5$, daher handelt es sich um einen Halbkreis.

Graph in Koordinatensystem zeichnen

Bedingung III ist erfüllt

Gehe dazu vor wie bei Aufgabe 2b.

$f(3)=\sqrt{25-3^2}=\sqrt{16}=4$

Die Funktion ist, wie man an dem Graphen sieht, punktsymmetrisch. An der Stelle $x=3$ ist noch mind. $4\ m$ hoch, damit auch an der Stelle $x=-3$ und erfüllt damit die Bedingung III.

$F(5)=\frac{25}{4}\pi$

Überlege dir zuerst, wofür $F(5)$ steht

$F(5)=F:x\mapsto \int _0^5f(t)dt$

$F(5)$ steht also für die Fläche unter dem Graphen von $x=0$ bis $x=5$. Wie man an dem Graphen von 3a sehen kann (und man bei Aufgabenteil $a)$ bewiesen hat), handelt es sich dabei um einen Viertelkreis mit Radius $5m$. Berechne den Flächeninhalt.

$F(5)=\frac{1}{4}\cdot 5^2\pi =\frac{25}{4}\pi$

Damit ist das Kontrollergebnis bestätigt.

Auswahl des richtigen Graphen

Man könnte sich zuerst überlegen, ob die Funktion $F(x)$ links des Ursprungs positiv oder negativ sein muss.

Sie muss negativ sein, weil die Fläche zwar oberhalb der $x$-Achse ist, aber man in negative Richtung integriert. Damit scheidet der Graph B aus, weil hier die Funktion links des Ursprungs positiv ist.

Also kommen nur noch die Graphen $A$ und $C$ infrage. Bei Graph $A$ ist der Flächenzuwachs erst groß und wird dann abgeschwächt, bei Graph C ist es umgekehrt. Überlege, was zutrifft.

Bei einem Kreis ist die Fläche um den Ursprung mehr als am Rand (siehe Graph 3a), das heißt, dass der Flächenzuwachs am Anfang groß ist und dann abnimmt.

Alternativ kannst du dir auch überlegen, welche Werte die Ableitung von $F$ bei $x=5$ oder $x=-5$ hat.

Bei Graph A ist die Ableitung an den Rändern $0$ und bei Graph C $+\infty$ bzw. $-\infty$. Die Ableitung von $F$ entspricht der Funktion $f$. Die Funktion $f$ hat an den Rändern den Wert $0$.

Damit ist Graph $A$ richtig und Graph $C$ falsch.

Fläche aus 2a: $\frac{100}{\pi}$ Fläche bei Modellierung mit $f$: $2\cdot\frac{25}{4}\pi=\frac{50}{4}\pi$ (zwei Mal die Fläche des Viertelkreises)

Die Abweichung in Prozent berechnet man, indem man die Differenz der Werte durch den "ursprünglichen" Wert (also den der Aufgabe 2a) teilt.

$\frac{|\frac{100}{\pi }-\frac{50}{4}\pi |}{\frac{100}{\pi }}\approx 0{,}2337$

Die Abweichung beträgt also ca. $23\ \%$

Tangente $t$ verläuft parallel zu $g$

Um Parallelität zu prüfen, muss man die Steigung der Tangente $t$ berechnen. Dazu bildet man die erste Ableitung und setzt ein.

Die Steigungen von $t$ und $g$ stimmen also überein, also sind sie parallel.

Einzeichnen von $g$ und $t$

Dazu benötigt man die Geradengleichung von $t$. Berechne dazu erst den Punkt $R$.

$f(4)=\sqrt{25-4^2}=\sqrt{9}=3$

Der Punkt $R$ hat also die Koordinaten $(4|3)$. Setze diese in die Geradengleichung ein und berechne den $y$-Achsenabschnitt von $t$.

Die Geradengleichung von $t$ ist also $y=-\frac{4}{3}x+\frac{25}{3}$. Mit diesen Infos kannst du die Geraden einzeichnen.

Für den kleinsten Abstand braucht man die Lotgerade von R auf g. Die Steigung ist die Normalensteigung und wird mit Hilfe der Formel $m_N=-\frac{1}{m_g}$ berechnet. Dann setzt man den Punkt $R$ ein und berechnet den $y$-Achsenabschnitt. Damit hat man die Lotgerade. Nun muss man den Schnittpunkt der Lotgerade mit $g$ berechnen. Als Letztes berechnet man den Abstand von dem Schnittpunkt zu $R$.