Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

In einem Labor wird ein Verfahren zur Reinigung von mit Schadstoffen kontaminiertem Wasser getestet. Die Funktion h aus Aufgabe 2 beschreibt für $x\geq0$ modellhaft die zeitliche Entwicklung des momentanen Schadstoffabbaus in einer bestimmten Wassermenge. Dabei bezeichnet $h (x)$ die momentane Schadstoffabbaurate in Gramm pro Minute und $x$ die seit Beginn des Reinigungsvorgangs vergangene Zeit in Minuten.

Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells den Zeitpunkt $x$ , zu dem die momentane Schadstoffabbaurate auf 0,01 Gramm pro Minute zurückgegangen ist. (3 BE)
Die in $\mathbb{R} \setminus \left\{-3;-1\right\}$ definierte Funktion $k:x \mapsto 3 \cdot (\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3})-0{,}2$ stellt im Bereich $-0{,}5 \leq x \leq 2$ eine gute Näherung für die Funktion $h$ dar.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umkehrfunktionen
Gegeben: $h(x)=\frac3{e^{x+1}-1}$
Gesucht: Zeitpunkt $x$ , zu dem die Schadstoffabbaurate $0,01$ Gramm pro Minute beträgt.
Setze also den Funktionswert von $h$ gerade gleich $0,01$ .
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll} h(x)&=&0{,}01&\vert\text{Ansatz}\\ \frac3{e^{x+1}-1}&=&0{,}01&\\ \frac3{0{,}01}&=&e^{x+1}-1&\\ 300+1&=&e^{x+1}&\vert\ln \\ \ln(301)&=&x+1&\\ x&=&\ln(301)-1&\\ x&=&4{,}7& \end{array}$
Bei der Auflösung nach $x$ wird die Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion verwendet.
Nach $4,7$ min ist die Schadstoffabbaurate auf die geforderten $0,01$ Gramm pro Minute abgesunken.
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Zur Lösung dieser Aufgabe musst Du eine Funktion nach $x$ auflösen können (Umkehrfunktion), die Zusammenhänge von Funktionsterm und Graph erkennen und ein bestimmtes Integral berechnen können. Obwohl die Aufgaben in einen Sachzusammenhang verpackt sind, spielt dieser tatsächlich nur eine geringe Rolle.
Beschreiben Sie, wie der Graph der Funktion $k$ aus dem Graphen der Funktion $f$ aus Aufgabe 1 hervorgeht. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmusfunktion
Ein Vergleich des Terms $k (x)$ mit $f (x)$ aus Aufgabe 1a zeigt:
$\displaystyle k(x)=3\cdot f(x)-0{,}2$
In zwei Schritten wird also aus dem Term $f (x)$ der Term $k (x)$ und ensprechend in 2 Schritten aus dem Graphen $G_{f}$ der Graph $G_{k}$ .
Ausgangslage: $f (x)$ mit $G_{f}$
Schritt 1: Multiplikation mit 3, alle Funktionswerte werden verdreifacht, das entspricht einer Streckung des Graphen mit dem Faktor 3 in $y$ -Richtung
Schritt 2: Subtraktion des Wertes $0,2$ . Von jedem Funktionswert werden $0,2$ abgezogen, das entspricht einer Verschiebung des Graphen um 0,2 in negativer $y$ -Richtung.
Hinweis: Die Reihenfolge von Verschieben und Strecken ist keineswegs egal! So wie im Term $k(x)=3\cdot f(x)-0{,}2$ Punkt vor Strich gilt, also zuerst das Produkt $3\cdot f(x)$ zu berechnen ist, so muss der Graph $G_{f}$ zuerst gestreckt werden!
Wie sich aus der Graphen $G_{k}$ nach und nach aus dem Graph $G_{f}$ ergibt siehst Du auch in diesem Applet:
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Berechnen Sie einen Näherungswert für $\int_{0}^{1} h(x) \mathrm{d}x$ , indem Sie den Zusammenhang $\int_{0}^{1} h(x) \mathrm{d}x \approx \int_{0}^{1} k(x) \mathrm{d}x \;$ verwenden. Geben Sie die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an. (5 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
. $k (x)$ enthält den Teil-Term $\frac{1}{x+1}$ . Eine Stammfunktion dazu ist
$\displaystyle \int\frac1{x+1}\text{d}x=\ln(x+1)$
Analog dazu ist:
$\displaystyle \int\frac1{x+3}\text{d}x=\ln(x+3)$
Damit kann nun das gesuchte Integral bestimmt werden:
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\int_0^1h(x)\text{d}x &\approx&\int_0^1k(x)\text{d}x\\ &=&\int_0^13\left(\frac1{x+1}-\frac1{x+3}\right)-0{,}2\text{d}x\\ &=&\left[3\left(\ln(x+1)-\ln(x+3)\right)-0{,}2\cdot x\right]_0^1\\ &=&\left[3\ln\frac{x+1}{x+3}-0{,}2\cdot x\right]_0^1\\ &=&3\ln\frac24-0{,}2\cdot1-3\ln\frac13\\&=&1{,}0\end{array}$
Weil $k (x)$ als lokale Schadstoffänderungsrate definiert wurde, ist das bestimmte Integral eine Näherung für die Schadstoffänderung. In der ersten Minute verringert sich die Schadstoffmenge um etwa $1,0$ g.
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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

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