Gegeben: $h(x)=\frac3{e^{x+1}-1}$

Gesucht: Zeitpunkt $x$, zu dem die Schadstoffabbaurate $0{,}01$ Gramm pro Minute beträgt.

Setze also den Funktionswert von $h$ gerade gleich $0{,}01$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll} h(x)&=&0{,}01&\vert\text{Ansatz}\\ \frac3{e^{x+1}-1}&=&0{,}01&\\ \frac3{0{,}01}&=&e^{x+1}-1&\\ 300+1&=&e^{x+1}&\vert\ln \\ \ln(301)&=&x+1&\\ x&=&\ln(301)-1&\\ x&=&4{,}7& \end{array}$

Bei der Auflösung nach $x$ wird die Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion verwendet.

Nach $4{,}7$ min ist die Schadstoffabbaurate auf die geforderten $0{,}01$ Gramm pro Minute abgesunken.

Ein Vergleich des Terms $k(x)$ mit $f(x)$ aus Aufgabe 1a zeigt:

In zwei Schritten wird also aus dem Term $f(x)$ der Term $k(x)$ und ensprechend in 2 Schritten aus dem Graphen $G_f$ der Graph $G_k$.

• Ausgangslage: $f(x)$ mit $G_f$

• Schritt 1: Multiplikation mit 3, alle Funktionswerte werden verdreifacht, das entspricht einer Streckung des Graphen mit dem Faktor 3 in $y$-Richtung

• Schritt 2: Subtraktion des Wertes $0{,}2$. Von jedem Funktionswert werden $0{,}2$ abgezogen, das entspricht einer Verschiebung des Graphen um 0,2 in negativer $y$-Richtung.

Hinweis: Die Reihenfolge von Verschieben und Strecken ist keineswegs egal! So wie im Term $k(x)=3\cdot f(x)-0{,}2$ Punkt vor Strich gilt, also zuerst das Produkt $3\cdot f(x)$ zu berechnen ist, so muss der Graph $G_f$ zuerst gestreckt werden!

Wie sich aus der Graphen $G_k$ nach und nach aus dem Graph $G_f$ ergibt siehst Du auch in diesem Applet:

.$k(x)$ enthält den Teil-Term $\frac{1}{x+1}$. Eine Stammfunktion dazu ist

Analog dazu ist:

Damit kann nun das gesuchte Integral bestimmt werden:

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\int_0^1h(x)\text{d}x &\approx&\int_0^1k(x)\text{d}x\\ &=&\int_0^13\left(\frac1{x+1}-\frac1{x+3}\right)-0{,}2\text{d}x\\ &=&\left[3\left(\ln(x+1)-\ln(x+3)\right)-0{,}2\cdot x\right]_0^1\\ &=&\left[3\ln\frac{x+1}{x+3}-0{,}2\cdot x\right]_0^1\\ &=&3\ln\frac24-0{,}2\cdot1-3\ln\frac13\\&=&1{,}0\end{array}$

Weil $k(x)$ als lokale Schadstoffänderungsrate definiert wurde, ist das bestimmte Integral eine Näherung für die Schadstoffänderung. In der ersten Minute verringert sich die Schadstoffmenge um etwa $1{,}0$ g.