Gegeben: $h(x)=\frac{3}{e^{x+1}-1}$

Gesucht: Zeitpunkt $x$, zu dem die Schadstoffabbaurate $\mathrm{0,01}$ Gramm pro Minute beträgt.

Setze also den Funktionswert von $h$ gerade gleich $\mathrm{0,01}$.

$\begin{array}{rcll}h(x)& =& \mathrm{0,01}& |\text{Ansatz}\\ \frac{3}{e^{x+1}-1}& =& \mathrm{0,01}& \\ \frac{3}{\mathrm{0,01}}& =& e^{x+1}-1& \\ 300+1& =& e^{x+1}& |\ln \\ \ln (301)& =& x+1& \\ x& =& \ln (301)-1& \\ x& =& \mathrm{4,7}& \end{array}$

Bei der Auflösung nach $x$ wird die Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion verwendet.

Nach $\mathrm{4,7}$ min ist die Schadstoffabbaurate auf die geforderten $\mathrm{0,01}$ Gramm pro Minute abgesunken.

Ein Vergleich des Terms $k(x)$ mit $f(x)$ aus Aufgabe 1a zeigt:

In zwei Schritten wird also aus dem Term $f(x)$ der Term $k(x)$ und ensprechend in 2 Schritten aus dem Graphen $G_f$ der Graph $G_k$.

• Ausgangslage: $f(x)$ mit $G_f$

• Schritt 1: Multiplikation mit 3, alle Funktionswerte werden verdreifacht, das entspricht einer Streckung des Graphen mit dem Faktor 3 in $y$-Richtung

• Schritt 2: Subtraktion des Wertes $\mathrm{0,2}$. Von jedem Funktionswert werden $\mathrm{0,2}$ abgezogen, das entspricht einer Verschiebung des Graphen um 0,2 in negativer $y$-Richtung.

Hinweis: Die Reihenfolge von Verschieben und Strecken ist keineswegs egal! So wie im Term $k(x)=3\cdot f(x)-\mathrm{0,2}$ Punkt vor Strich gilt, also zuerst das Produkt $3\cdot f(x)$ zu berechnen ist, so muss der Graph $G_f$ zuerst gestreckt werden!

Wie sich aus der Graphen $G_k$ nach und nach aus dem Graph $G_f$ ergibt siehst Du auch in diesem Applet:

.$k(x)$ enthält den Teil-Term $\frac{1}{x+1}$. Eine Stammfunktion dazu ist

Analog dazu ist:

Damit kann nun das gesuchte Integral bestimmt werden:

$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{1}h(x)\text{d}x& \approx & {\int }_0^{1}k(x)\text{d}x\\ & =& {\int }_0^{1}3(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3})-\mathrm{0,2}\text{d}x\\ & =& {[3(\ln (x+1)-\ln (x+3))-\mathrm{0,2}\cdot x]}_0^1\\ & =& {[3\ln \frac{x+1}{x+3}-\mathrm{0,2}\cdot x]}_0^1\\ & =& 3\ln \frac{2}{4}-\mathrm{0,2}\cdot 1-3\ln \frac{1}{3}\\ & =& \mathrm{1,0}\end{array}$

Weil $k(x)$ als lokale Schadstoffänderungsrate definiert wurde, ist das bestimmte Integral eine Näherung für die Schadstoffänderung. In der ersten Minute verringert sich die Schadstoffmenge um etwa $\mathrm{1,0}$ g.