Für die Lösung der Teilaufgabe a) solltest du Kenntnisse über die Eigenschaften der Höhe eines Dreiecks und den Satz des Thales haben.

Gegeben: Die Seite a legt die Punkte $B$ und $C$ fest. Gesucht: Der Punkt $A$ liegt auf:

1. 2.

Für 1. benutzt du das zweite Bild der Bildreihe und die Angabe $h_a\;=\;4{,}8\;cm$. Außerdem nutzt du dein Wissen zur Höhe in einem Dreieck. Die Höhe $h_a$ ist eine Strecke, die senkrecht auf der Seite $a = [BC]$ steht und im Punkt $A$ endet. Daraus kannst du folgern, dass der Punkt A auf der parallelen Geraden zur Strecke $[BC]$ im Abstand $4{,}8\;cm$ liegt.

Wir halten fest: Der Punkt $A$ liegt auf einer parallelen Geraden, die den Abstand $h_a\;=\:4{,}8\;cm$ von der Strecke $[BC]$ hat.

Für 2. betrachtest du das dritte Bild der Bildreihe und nutzt dein Wissen zum Satz des Thales bzw. der Umkehrung des Thalessatzes. Liegt unser Punkt $A$ zusätzlich auf dem Thaleskreis über der Strecke $[BC]$. Verbindest du nun die Punkte $AB$ und $BC$ so erhältst du ein Dreieck, das beim Punkt $A$ einen rechten Winkel einschließt, also $\alpha = 90°$.

Die Antwort lautet folglich:

Die Seite a legt die Punkte $B$ und $C$ fest. Der Punkt $A$ liegt auf: 1. einer parallelen Geraden, die den Abstand $h_a\;=\;4{,}8\;cm$ von der Strecke $[BC]$ hat. 2. dem Thaleskreis über $[BC]$

Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt:

$\;F\;=\;\frac12\cdot\;g\;\cdot\;h=\;\frac12\cdot a\cdot h_a$

Nun setzt du ein.

$\;F\;=\;\frac12\cdot a\cdot h_a\;=\;\frac12\;\cdot\;10\;cm\;\cdot4{,}8\;cm\;=\;24\;cm^2$

Schneiden wir das Dreieck $ABC$ entlang der Höhe $h_a$ in zwei Teile, dann sind die beiden Teile genauso groß wie eine lila bzw. eine türkisfarbene Fläche in dem Bild. Da es sich bei unserem Dreieck $ABC$ um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Es gilt $h_a = h_2$.

Anhand unseren Überlegungen können wir die Gleichung über die Flächeninhalte der Rechtecke aufstellen. Die Lösung lautet folglich:

$a\;\cdot\;h_a\;=\;b\;\cdot c$