Gruppe A - lernen mit Serlo!

Simon konstruiert ein Dreieck $A B C$ aus den gegebenen Größen $a = 10 \; \mathrm{cm}$ , $h_a=4{,}8\ \mathrm{cm}$ und $\alpha =90°$ . Seine wesentlichen Konstruktionsschritte sind in der Bilderreihe schematisch dargestellt.

Ergänze Simons Überlegungen zur Konstruktion. (2 BE)
Die Seite a legt die Punkte B und C fest.
Der Punkt A liegt auf:
1.
2.
Gegeben: Die Seite a legt die Punkte B und C fest. Gesucht: Der Punkt A liegt auf:
1. 2.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Thales
Für die Lösung der Teilaufgabe a) solltest du Kenntnisse über die Eigenschaften der Höhe eines Dreiecks und den Satz des Thales haben.
Gegeben: Die Seite a legt die Punkte $B$ und $C$ fest. Gesucht: Der Punkt $A$ liegt auf:
1. 2.
Für 1. benutzt du das zweite Bild der Bildreihe und die Angabe $h_a\;=\;4{,}8\;cm$ . Außerdem nutzt du dein Wissen zur Höhe in einem Dreieck. Die Höhe $h_{a}$ ist eine Strecke, die senkrecht auf der Seite $a = [B C]$ steht und im Punkt $A$ endet. Daraus kannst du folgern, dass der Punkt A auf der parallelen Geraden zur Strecke $[B C]$ im Abstand $4{,}8\;cm$ liegt.
Wir halten fest: Der Punkt $A$ liegt auf einer parallelen Geraden, die den Abstand $h_a\;=\:4{,}8\;cm$ von der Strecke $[B C]$ hat.
Für 2. betrachtest du das dritte Bild der Bildreihe und nutzt dein Wissen zum Satz des Thales bzw. der Umkehrung des Thalessatzes. Liegt unser Punkt $A$ zusätzlich auf dem Thaleskreis über der Strecke $[B C]$ . Verbindest du nun die Punkte $A B$ und $B C$ so erhältst du ein Dreieck, das beim Punkt $A$ einen rechten Winkel einschließt, also $\alpha = 90°$ .
Die Antwort lautet folglich:
Die Seite a legt die Punkte $B$ und $C$ fest. Der Punkt $A$ liegt auf: 1. einer parallelen Geraden, die den Abstand $h_a\;=\;4{,}8\;cm$ von der Strecke $[B C]$ hat. 2. dem Thaleskreis über $[B C]$
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Berechne den Flächeninhalt $F$ des Dreiecks $A B C$ aus den gegebenen Größen. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt:
$\;F\;=\;\frac12\cdot\;g\;\cdot\;h=\;\frac12\cdot a\cdot h_a$
Nun setzt du ein.
$\;F\;=\;\frac12\cdot a\cdot h_a\;=\;\frac12\;\cdot\;10\;cm\;\cdot4{,}8\;cm\;=\;24\;cm^2$
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Zusätzlich zu den gegebenen Größen gilt $b=8\ cm$ . Stelle eine Gleichung auf, mit der die Seitenlänge $c$ berechnet werden kann. (1 BE)
Hinweis: Die Gleichung muss nicht gelöst werden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
Schneiden wir das Dreieck $A B C$ entlang der Höhe $h_{a}$ in zwei Teile, dann sind die beiden Teile genauso groß wie eine lila bzw. eine türkisfarbene Fläche in dem Bild. Da es sich bei unserem Dreieck $A B C$ um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Es gilt $h_{a} = h_{2}$ .
Anhand unseren Überlegungen können wir die Gleichung über die Flächeninhalte der Rechtecke aufstellen. Die Lösung lautet folglich:
$a\;\cdot\;h_a\;=\;b\;\cdot c$
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