Zum Thema senkrecht sollten Dir zwei Dinge einfallen: Skalarprodukt und Vektorprodukt!

Lösungsmöglichkeit 1

Die Vektoren stehen aufeinander senkrecht, wenn deren Skalarprodukt $0$ ist. Zeige also mit dem Skalarprodukt, dass

1. $\vec{a}\perp \vec{b}$,

2. $\vec{b}\perp \vec{c}_t$ und

3. $\vec{c}_t\perp \vec{a}$

zu 1.

$\vec a\circ\vec b = \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix} = 2\cdot (-1) + 1\cdot 2 + 2\cdot 0 = -2+2+0=0$

$\Rightarrow \vec{a}\perp \vec{b}$

zu 2.

$\vec b\circ\vec c_t = \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}4t\\2t\\-5t\end{pmatrix} = (-1)\cdot 4t + 2\cdot 2t + 0\cdot (-5t) = -4t+4t+0=0$

$\Rightarrow\vec{b}\perp\vec{c_t}$

zu 3.

$\vec c_t\circ\vec a = \begin{pmatrix}4t\\2t\\-5t\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix} = 4t\cdot 2 + 2t\cdot 1 + (-5t)\cdot 2 = 8t+2t-10t=0$

$\Rightarrow\vec{c_t}\perp\vec{a}$

Weil alle Vektoren aufeinander senkrecht stehen, ist der obige Körper ein Quader.

Lösungsmöglichkeit 2

Bestimme wie in Lösungsmöglichkeit 1

1. das Skalarprodukt von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ und zeige, dass die beiden Vektoren aufeinander senkrecht stehen.

2. Berechne danach das Vektorprodukt von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ und zeige, dass der berechnete Vektor ein Vielfaches von $\vec{c_t}_{ }$ ist .

$\vec{a}\circ\vec{b}=\ 0\$ (wie oben gezeigt)

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccc} \vec{a}\times\vec{b} &=& \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix} \times\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix} \\ &=&\begin{pmatrix}1\cdot 0-2\cdot 2\\ 2\cdot (-1)-2\cdot 0\\2\cdot 2-1\cdot (-1)\end{pmatrix} \\&=& \begin{pmatrix}-4\\-2\\5\end{pmatrix} \\ \\&=& \dfrac{1} {t} \cdot \vec{c_t} \end{array}$

Der Ergebnisvektor ist bis auf ein Vielfaches gleich dem Vektor $\vec{c}_t$, also handelt es sich bei dem zu untersuchenden Körper um einen Quader!