Zum Thema senkrecht sollten Dir zwei Dinge einfallen: Skalarprodukt und Vektorprodukt!
Lösungsmöglichkeit 1 Die Vektoren stehen aufeinander senkrecht, wenn deren Skalarprodukt 0 0 0 ist. Zeige also mit dem Skalarprodukt, dass
a ⃗ ⊥ b ⃗ \vec{a}\perp \vec{b} a ⊥ b ,
b ⃗ ⊥ c ⃗ t \vec{b}\perp \vec{c}_t b ⊥ c t und
c ⃗ t ⊥ a ⃗ \vec{c}_t\perp \vec{a} c t ⊥ a
zu 1.
a ⃗ ∘ b ⃗ = ( 2 1 2 ) ∘ ( − 1 2 0 ) = 2 ⋅ ( − 1 ) + 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 0 = − 2 + 2 + 0 = 0 \vec a\circ\vec b = \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix} = 2\cdot (-1) + 1\cdot 2 + 2\cdot 0 = -2+2+0=0 a ∘ b = 2 1 2 ∘ − 1 2 0 = 2 ⋅ ( − 1 ) + 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 0 = − 2 + 2 + 0 = 0
⇒ a ⃗ ⊥ b ⃗ \Rightarrow \vec{a}\perp \vec{b} ⇒ a ⊥ b
zu 2.
b ⃗ ∘ c ⃗ t = ( − 1 2 0 ) ∘ ( 4 t 2 t − 5 t ) = ( − 1 ) ⋅ 4 t + 2 ⋅ 2 t + 0 ⋅ ( − 5 t ) = − 4 t + 4 t + 0 = 0 \vec b\circ\vec c_t = \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}4t\\2t\\-5t\end{pmatrix} = (-1)\cdot 4t + 2\cdot 2t + 0\cdot (-5t) = -4t+4t+0=0 b ∘ c t = − 1 2 0 ∘ 4 t 2 t − 5 t = ( − 1 ) ⋅ 4 t + 2 ⋅ 2 t + 0 ⋅ ( − 5 t ) = − 4 t + 4 t + 0 = 0
⇒ b ⃗ ⊥ c t ⃗ \Rightarrow\vec{b}\perp\vec{c_t} ⇒ b ⊥ c t
zu 3.
c ⃗ t ∘ a ⃗ = ( 4 t 2 t − 5 t ) ∘ ( 2 1 2 ) = 4 t ⋅ 2 + 2 t ⋅ 1 + ( − 5 t ) ⋅ 2 = 8 t + 2 t − 10 t = 0 \vec c_t\circ\vec a = \begin{pmatrix}4t\\2t\\-5t\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix} = 4t\cdot 2 + 2t\cdot 1 + (-5t)\cdot 2 = 8t+2t-10t=0 c t ∘ a = 4 t 2 t − 5 t ∘ 2 1 2 = 4 t ⋅ 2 + 2 t ⋅ 1 + ( − 5 t ) ⋅ 2 = 8 t + 2 t − 10 t = 0
⇒ c t ⃗ ⊥ a ⃗ \Rightarrow\vec{c_t}\perp\vec{a} ⇒ c t ⊥ a
Weil alle Vektoren aufeinander senkrecht stehen, ist der obige Körper ein Quader.
Lösungsmöglichkeit 2 Bestimme wie in Lösungsmöglichkeit 1
das Skalarprodukt von a ⃗ \vec{a} a und b ⃗ \vec{b} b und zeige, dass die beiden Vektoren aufeinander senkrecht stehen.
Berechne danach das Vektorprodukt von a ⃗ \vec{a} a und b ⃗ \vec{b} b und zeige, dass der berechnete Vektor ein Vielfaches von c t ⃗ \vec{c_t}_{ } c t ist .
a ⃗ ∘ b ⃗ = 0 \vec{a}\circ\vec{b}=\ 0\ a ∘ b = 0 (wie oben gezeigt)
a ⃗ × b ⃗ = ( 2 1 2 ) × ( − 1 2 0 ) = ( 1 ⋅ 0 − 2 ⋅ 2 2 ⋅ ( − 1 ) − 2 ⋅ 0 2 ⋅ 2 − 1 ⋅ ( − 1 ) ) = ( − 4 − 2 5 ) = 1 t ⋅ c t ⃗ \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccc} \vec{a}\times\vec{b} &=& \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix} \times\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix} \\ &=&\begin{pmatrix}1\cdot 0-2\cdot 2\\ 2\cdot (-1)-2\cdot 0\\2\cdot 2-1\cdot (-1)\end{pmatrix} \\&=& \begin{pmatrix}-4\\-2\\5\end{pmatrix} \\ \\&=& \dfrac{1} {t} \cdot \vec{c_t} \end{array} a × b = = = = 2 1 2 × − 1 2 0 1 ⋅ 0 − 2 ⋅ 2 2 ⋅ ( − 1 ) − 2 ⋅ 0 2 ⋅ 2 − 1 ⋅ ( − 1 ) − 4 − 2 5 t 1 ⋅ c t
Der Ergebnisvektor ist bis auf ein Vielfaches gleich dem Vektor c ⃗ t \vec{c}_t c t , also handelt es sich bei dem zu untersuchenden Körper um einen Quader!