A I - lernen mit Serlo!

Gegeben sind die reellen Funktionen $h_t=\frac14x(tx-1)(x+4)(x-3)$ mit $D_{h_t}=\mathbb{R}$ und $t \in \mathbb{R}$ .

Bestimmen Sie Anzahl und Lage der Nullstellen der Funktion $h_{t}$ in Abhängigkeit von t. (7 BE)

Für diese Teilaufgabe musst du mit ganzrationalen Funktionen vertraut sein, insbesondere mit Nullstellenbestimmung bei ganzrationalen Funktionen.

Nullstellen

Nullstellen kannst du in dieser Form $h_t=\frac14x(tx-1)(x+4)(x-3)$ , aufgeteilt in die verschiedenen Linearfaktoren, fast direkt ablesen. Du darfst die einzelnen Faktoren nach dem Satz vom Nullprodukt einzeln gleich null setzen und nach $x$ auflösen.

Damit erhältst du die folgenden Nullstellen:

Faktor 1:

Teile durch den Vorfaktor
	↓
$\displaystyle \frac{1}{4}x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle : \frac{1}{4}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0$

Faktor 2:

$\displaystyle tx-1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
	↓	Löse nach $x$ auf
$\displaystyle tx$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :t$
	↓	Teile durch $t$ , damit $x$ alleine auf einer Seite steht.
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{t}$

Faktor 3:

$\displaystyle x+4$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -4$
	↓	Isoliere $x$ auf einer Seite.
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle -4$

Faktor 4:

$\displaystyle x-3$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +3$
	↓	Isoliere $x$ auf einer Seite.
$\displaystyle x_4$	$=$	$\displaystyle 3$

Normalerweise gibt es also $4$ einfache Nullstellen bei den Werten $x_{1} = 0$ , $x_2=\frac1t$ , $x_{3} = - 4$ und $x_{4} = 3$ .

Jetzt musst du dir überlegen, ob das immer der Fall ist oder ob es Ausnahmen gibt.

Ausnahmen

Zwei Dinge könnten dir bei dieser Überlegung auffallen:

Ist $t = 0$ , kannst du $x_2=\frac1t$ nicht ausrechnen, weil du nicht durch null teilen darfst. Du solltest dir also genauer anschauen, was mit $h_{t} (x)$ passiert, wenn $t = 0$ ist.
Es könnte passieren, dass $x_2=\frac1t$ bei passend ausgewähltem $t$ genau gleich groß ist, wie $x_{1}, x_{3}$ oder $x_{4}$ . In diesem Fall hättest du eine doppelte Nullstelle, dafür aber weniger verschiedene.

Fall $t = 0$ :

Zuerst schauen wir uns den Fall an, der unter 1. beschrieben wird. Was passiert, wenn $t = 0$ ist?

Dann ist:

\displaystyle h_0=\frac14x(0\cdot x-1)(x+4)(x-3)=\frac14x(-1)(x+4)(x-3)=-\frac14x(x+4)(x-3)

Du siehst, dass in diesem Fall der Linearfaktor mit dem $t$ verschwindet. Übrig bleiben nur die anderen drei Linearfaktoren. Wenn $t = 0$ ist, erhält man also drei einfache Nullstellen bei $x_{1} = 0$ , $x_{3} = - 4$ und $x_{4} = 3$ ( $x_{2}$ gibt es hier nicht).

Zwei Linearfaktoren liefern dieselbe Nullstelle.

Nun kannst du dir überlegen, wann $x_{2}$ genauso groß ist wie $x_{3}$ oder $x_{4}$ . Genau genommen kannst du es sogar ausrechnen, indem du es gleichsetzt:

\displaystyle x_2=\frac{1}{t}=x_3=-4

$\displaystyle \frac{1}{t}$	$=$	$\displaystyle -4$	$\displaystyle \cdot t$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle -4\cdot t$	$\displaystyle :(-4)$
$\displaystyle -\frac{1}{4}$	$=$	$\displaystyle t$

Führe die gleiche Rechnung mit $x_{4}$ durch.

\displaystyle x_2=\frac{1}{t}=x_4=3

$\displaystyle \frac{1}{t}$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle \cdot t$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 3\cdot t$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle \frac{1}{3}$	$=$	$\displaystyle t$

Genauso kannst du das mit $x_{1}$ überprüfen. Wenn du allerdings nach $t$ umstellst, …

$\displaystyle \frac{1}{t}$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot t$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 0$

…kommst du auf eine Gleichung, die nicht richtig sein kann ( $0$ ist nicht dasselbe wie $1$ ). Das heißt, diese Gleichung hat keine Lösung.

Du hast herausgefunden, dass für $t=-\frac14$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ dasselbe sind und für $t=\frac13$ $x_{2}$ und $x_{4}$ dasselbe sind. In beiden Fällen hat man also eine doppelte Nullstelle (beim ersten bei $x = - 4$ und beim zweiten bei $x = - 3$ ).

Lösung im Überblick

Zusammengefasst gibt es also folgende Möglichkeiten, die unterschieden werden müssen:

$t = 0$ : Hier fällt ein Linearfaktor weg, man hat deswegen eine Nullstelle weniger und damit drei einfache Nullstellen bei $x_{1} = 0$ , $x_{3} = - 4$ und $x_{4} = 3$
$t=-\frac14$ und $t=\frac13$ : hier gibt es jeweils eine doppelte Nullstelle, weil $x_{2}$ mit einer der anderen Nullstellen übereinstimmt. Für $t=-\frac14$ gibt es zwei einfache Nullstellen bei $x_{1} = 0$ und bei $x_{4} = 3$ , außerdem gibt es eine doppelte Nullstelle bei $x_{2/3}=-4$ . Für $t=\frac13$ gibt es zwei einfache Nullstellen bei $x_{1} = 0$ und bei $x_{3} = - 4$ , außerdem gibt es eine doppelte Nullstelle bei $x_{2/4}=3$ .
Für alle anderen Werte von $t$ ( $t\in \mathbb{R}\setminus\{-4;0;3\}$ ) gibt es vier einfache Nullstellen bei $x_{1} = 0$ , $x_2=\frac1t$ , $x_{3} = - 4$ und $x_{4} = 3$ .

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👇

Begründen Sie, welche der im Folgenden dargestellten Graphen zur Funktionenschar $h_{t}$ gehören können und welche nicht. Begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung mithilfe der ganzzahligen Nullstellen und ggf. des Grenzverhaltens bzw. des Leitkoeffizienten.

Geben Sie für den Fall, dass der Graph zur Funktionenschar $h_{t}$ gehört, den zutreffenden Wert von t an. (6 BE)

Für diese Teilaufgabe solltest du Nullstellen aus einem Graphen ablesen und aus einem Funktionsterm bestimmen können. Außerdem solltest du wissen, was ein Leitkoeffizient ist und wie sich eine ganzrationale Funktion im Unendlichen verhält.

Graph 1 ( $t = 0$ )

Dieser Graph kann zu $h_{t} (x)$ gehören. $h_{t} (x)$ ist allerdings nur in genau einem Fall eine ganzrationale Funktion 3. Grades, nämlich wenn $t = 0$ ist (immer sonst gibt es insgesamt vier Nullstellen, man muss für den Grad die doppelten Nullstellen doppelt zählen).

Für $t = 0$ ist $h_0(x)=-\frac14x(x+4)(x-3)$ (Berechnung siehe Teilaufgabe 3.1). Hier ist der Leitkoeffizient negativ und damit geht die Funktion von "links oben" nach "rechts unten", was mit dem Graphen übereinstimmt. Auch die Nullstellen (siehe Teilaufgabe 3.1) stimmen mit dem Graphen überein.

Graph 2 ( $t=-\frac12$ )

Man erkennt, dass es vier Nullstellen gibt, bei $x = - 4$ , $x = - 2$ , $x = 0$ und $x = 3$ . Alle außer der Nullstelle bei $x = - 2$ sind Nullstellen wie oben im Fall $t\in \mathbb{R}\setminus\{-4;0;3\}$ beschrieben. Das heißt, bei dieser Nullstelle könnte es sich um die Nullstelle bei $x=\frac1t$ handeln:

$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{t}$	$\displaystyle \cdot t$
$\displaystyle -2\cdot t$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :(-2)$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle -\frac12$

Für den Fall $t=-\frac12$ ist

$h_{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}x(-\frac{1}{2}x-1)(x+4)(x-3)$

jetzt kannst du in der ersten Klammer ein Minus ausklammern.

$=-\frac{1}{4}x(\frac{1}{2}x+1)(x+4)(x-3)$

Du kannst so nämlich erkennen, dass der Leitkoeffizient negativ ist und damit das Verhalten im Unendlichen so sein muss, wie es im Graphen gemalt ist, von "links unten" nach "rechts unten". Auch die Nullstellen stimmen überein, wie du gerade überprüft hast.

Graph 3 (kein $t$ )

Du erkennst hier eine doppelte Nullstelle bei $x = 0$ . Du hast allerdings in Teilaufgabe 3.1 ausgerechnet, dass $x_{2}$ nie Null sein kann und dass es folglich auch keine doppelte Nullstelle bei $x = 0$ geben kann. Deswegen ist Graph 3 kein Graph der Funktionenschar $h_{t} (x)$ .

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👇

Nullstellen

Ausnahmen

Fall t=0t=0t=0:

Zwei Linearfaktoren liefern dieselbe Nullstelle.

Lösung im Überblick

Hast du eine Frage oder Feedback?

Graph 1 (t=0t=0t=0)

Graph 2 (t=−12t=-\frac12t=−21​)

Graph 3 (kein ttt)

Hast du eine Frage oder Feedback?

Fall $t = 0$ :

Graph 1 ( $t = 0$ )

Graph 2 ( $t=-\frac12$ )

Graph 3 (kein $t$ )