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Ortskurve bestimmen

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Eine Ortskurve bzw. ein Trägergraph ist eine Kurve, auf der Punkte einer Funktionenschar liegen, die eine bestimmte Gemeinsamkeit bzw. Eigenschaft haben.

Die Gemeinsamkeit könnte sein, dass alle Punkte Extrempunkte (z.B. Scheitelpunkte von Parabeln) oder Wendepunkte der Funktionenschar sind. Eine Ortskurve könnte beispielsweise eine Kurve durch die Scheitelpunkte einer Parabelschar sein.

Eine weitere häufige Gemeinsamkeit kann sein, dass alle Punkte auf einer Geraden liegen, die sich durch Drehung oder Spiegelung von Geraden oder Punktescharen an Ursprungsgeraden ergibt.

Veranschaulichung durch Applets

Das folgende Applet beschreibt die Funktionenschar  fk(x)=(xk)2+2k1f_k\left( x\right)=\left(x- k\right)^2+2 k-1. Verschiebt man den Schieberegler für kk, so sieht man, dass sich der Scheitelpunkt auf der eingezeichneten Geraden bewegt.

In zweiten Applet sieht man die Funktionenschar fk(x)=x2+kx+1f_{\mathrm{k}}\left(x\right)=x^2+\mathrm{k}x+1. Wenn man den Schieberegler für den Wert von kk verschiebt, wird der Scheitelpunkt eingezeichnet. Man erkennt, dass die Scheitelpunkte eine Parabel beschreiben.

In diesem dritten Applet kann der Punkt AA beliebig auf der Geraden y=2xy=2x verschoben werden. Punkt BB ist auch frei. Die anderen beiden Punkte passen sich so an, dass sich ein Quadrat ergibt. Die Gerade ist der Trägergraph für den Punkt AA.

Allgemeine Vorgehensweise

Beispiel:

Finde die Ortskurve der Scheitelpunkte der Funktionenschar fk(x)=(x3k)2+2k1f_\mathrm k(x)=( x-3\mathrm k)^2+2\mathrm k-1.

Allgemein

Beispiel

1) Man bestimme die gesuchten Punkte (Scheitelpunkte, Extrema, Wendepunkte) in Abhängigkeit des Parameters.

Man lese den Scheitelpunkt aus der Scheitelpunktsform ab: S(3k2k1)S(3k\mid2k-1)

2) Man stelle den Zusammenhang zwischen dem Parameter und der x-Komponente bzw. dem Parameter und der y-Komponente jeweils in einer Gleichung dar.

x=3k(1.Gleichung)x=3k (1. Gleichung) \\ y=2k1(2.Gleichung)y=2k-1 (2. Gleichung)

3) Man hat nun zwei Gleichungen gefunden. Die erste Gleichung löst man nach dem Parameter auf und setzt diese in die zweite Gleichung.

k=13xk=\frac13x \\ 1.Gleichung nach kk aufgelöst \\ y=2(13x)1y=2\left(\frac13x\right)-1 \\ und in die 2. Gleichung eingesetzt

4) Dadurch erhält man die Gleichung für die gesuchte Ortskurve.

Ortskurve: y=23x1\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}y=\frac23x-1\end{array}

Beispielaufgaben

Ortskurve der Scheitelpunkte bei Parabeln

Beschreibung

Beispiel

Bilde die Scheitelform mithilfe der quadratischen Ergänzung.

fk(x)=x2+  k  x  +1\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}f_k(x)=x²+\;k\;x\;+1\end{array}

Lies aus dieser Darstellung den Scheitelpunkt ab.

fk(x)=(x+k2)2+  (1k24)f_k(x)=\left(x+\frac k2\right)^2+\;\left(1-\frac{k^2}4\right) \\ Scheitelpunkt: Sk  (k2  1k24)S_k\;\textstyle\left(-\displaystyle\frac k2\mid\;1-\displaystyle\frac{k^2}4\right)

(1. Gleichung)

x=k2                  k=  2xx=-\frac k2\;\;\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\;k=-\;2x

(2. Gleichung)

y=1k24y=1-\frac{k^2}4

Setze die 1. Gleichung in die 2. Gleichung ein.

Vereinfache.

y=1(2x)24y=1-\frac{(-2x)^2}4

Funktionsgleichung für Ortskurve:

y  =  1  x2y\;=\;1-\;x²

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zur Bestimmung von Ortskurven

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