Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

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Löse die quadratischen Gleichung und gib die Lösungsmenge an.

$4\cdot(x+\dfrac{3}{7})\cdot (x-\dfrac{1}{8})=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
1. Faktor: $4\neq0$
2. Faktor: $x+\dfrac{3}{7}=0\;\Rightarrow \;x=-\dfrac{3}{7}$
3. Faktor: $x-\dfrac{1}{8}=0\;\Rightarrow \;x=\dfrac{1}{8}$
Die Gleichung hat die Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\{-\dfrac{3}{7};\dfrac{1}{8}\}$
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Wende den Satz vom Nullprodukt an.
$\dfrac{1}{8}x^2=18$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzel
$\displaystyle \frac{1}{8}x^2$ $=$ $\displaystyle 18$ $\displaystyle \cdot8$
↓
Löse nach $x^2$ auf
$\displaystyle x^2$ $=$ $\displaystyle 144$
Es gibt zwei Zahlen, deren Quadrat 144 ergibt: $\;12$ und $-12$ .
Antwort: Die Gleichung hat die beiden Lösungen $12$ und $−12$ .
Die Lösungsmenge ist dann $\mathbb{L}=\{-12;\;12\}$ .
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$5x^2=-4x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen

$\displaystyle 5x^2$	$=$	$\displaystyle -4x$	$\displaystyle +4x$
	↓	Alle Summanden auf eine Seite bringen.
$\displaystyle 5x^2+4x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammere $x$ aus.
$\displaystyle x\cdot(5x+4)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren gleich null ist.

1. Faktor: $x=0$

2. Faktor: $5x+4=0\;\Rightarrow \;x=-\dfrac{4}{5}$

Die Gleichung hat die Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\{0;-\dfrac{4}{5}\}$

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Bringe alle Summanden auf eine Seite und klammere $x$ aus.

$-12x+32=-x^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen

$\displaystyle -12x+32$	$=$	$\displaystyle -x^2$	$\displaystyle +x^2$
	↓	Alle Summanden auf eine Seite bringen.
$\displaystyle x^2-12x+32$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Wende die pq-Formel an.

Lies die Werte für $p$ und $q$ ab und setze sie in die pq-Formel ein:

$p=-12;\; q=32$

pq-Formel: $\;x_{1{,}2}=-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{(-12)}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-12}{2}\right)^2-32}\$
	$=$	$\displaystyle 6\pm\sqrt{36-32}\$
	$=$	$\displaystyle 6\pm\sqrt{4}\$
	$=$	$\displaystyle 6\pm2$

$x_1=6+2=8$

$x_2=6-2=4$

Die Gleichung hat die Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\{4;8\}$

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Bringe alle Summanden auf eine Seite und wende die pq-Formel an.

$\dfrac{5}{2}x^2+\dfrac{7}{8}x-\dfrac{3}{8}=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen

Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein: $a=\dfrac{5}{2};\; b=\dfrac{7}{8};\;c=-\dfrac{3}{8}$

Mitternachtsformel: $x_{1 , 2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-\dfrac{7}{8}\pm\sqrt{\left(\dfrac{7}{8}\right)^2-4\cdot\left(\dfrac{5}{2}\right)\cdot(-\dfrac{3}{8})}}{2\cdot\left(\dfrac{5}{2}\right)}\$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-\dfrac{7}{8}\pm\sqrt{\dfrac{49}{64}+\dfrac{60}{16}}}{5}\$
	↓	Bringe die Brüche auf den Hauptnenner.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-\dfrac{7}{8}\pm\sqrt{\dfrac{49}{64}+\dfrac{240}{64}}}{5}\$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-\dfrac{7}{8}\pm\sqrt{\dfrac{289}{64}}}{5}\$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-\dfrac{7}{8}\pm\dfrac{17}{8}}{5}\$
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{7}{40}\pm\dfrac{17}{40}$

$x_1=-\dfrac{7}{40}+\dfrac{17}{40}=\dfrac{10}{40}=\dfrac{1}{4}$

$x_2=-\dfrac{7}{40}-\dfrac{17}{40}=-\dfrac{24}{40}=-\dfrac{3}{5}$

Die Gleichung hat die Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\{-\dfrac{3}{5};\dfrac{1}{4}\}$

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Wende die Mitternachtsformel an.

$3 \cdot\left(x-\dfrac{1}{7}\right)^2-12=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen

$\displaystyle 3\cdot\left(x-\frac{1}{7}\right)^2-12$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +12$
	↓	Bringe 12 auf die andere Seite.
$\displaystyle 3\cdot\left(x-\frac{1}{7}\right)^2$	$=$	$\displaystyle 12$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle \left(x-\frac{1}{7}\right)^2$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle$
	↓	Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind.
$\displaystyle \sqrt{\left(x-\frac{1}{7}\right)^2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{4}$	$\displaystyle$
	↓	Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen.
$\displaystyle \|x-\frac{1}{7}\|$	$=$	$\displaystyle 2$

Löse den Betrag auf. Dazu werden zwei Fälle betrachtet.

Es gibt zwei Zahlen, deren Betrag gleich $2$ ist: $2$ und $-2$ .

Fall 1:

$x-\dfrac{1}{7}=2\;\Rightarrow\;x=2+\dfrac{1}{7}=\dfrac{15}{7}$

Fall 2:

$x-\dfrac{1}{7}=-2\;\Rightarrow\;x=-2+\dfrac{1}{7}=-\dfrac{13}{7}$

Antwort: Die Gleichung hat die beiden Lösungen $\dfrac{15}{7}$ und $−\dfrac{13}{7}$ .

Die Lösungsmenge ist dann $\mathbb{L}=\{-\dfrac{13}{7};\;\dfrac{15}{7}\}$ .

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Wende die Technik des Rückwärtsrechnens an.

$2x^2-72 =0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzel

$\displaystyle 2x^2-72$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +72$
	↓	Löse nach $x^2$ auf.
$\displaystyle 2x^2$	$=$	$\displaystyle 72$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 36$

Es gibt zwei Zahlen, deren Quadrat 36 ergibt: $\;6$ und $-6$ .

Antwort: Die Gleichung hat die beiden Lösungen $6$ und $−6$ .

Die Lösungsmenge ist dann $\mathbb{L}=\{-6;\;6\}$ .

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$-6x^2=\dfrac{1}{3}x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen

$\displaystyle -6x^2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{3}x$	$\displaystyle +6x^2$
	↓	Alle Summanden auf eine Seite bringen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 6x^2+\dfrac{1}{3}x$
	↓	Klammere $x$ aus.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x\left(6x+\dfrac{1}{3}\right)$
	↓	Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren gleich null ist.

1. Faktor: $x=0$

2. Faktor: $6x+\frac{1}{3}=0\;\Rightarrow \;x=-\dfrac{1}{18}$

Die Gleichung hat die Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\{-\dfrac{1}{18};0\}$

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Bringe alle Summanden auf eine Seite und klammere $x$ aus.

$(8x+12)\cdot(3x-15)=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen

$\displaystyle (8x+12)\cdot(3x-15)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammere $8$ aus dem 1. Faktor und $3$ aus dem 2. Faktor aus.
$\displaystyle 8\cdot(x+1{,}5)\cdot3\cdot(x-5)$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle 24\cdot(x+1{,}5)\cdot(x-5)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren gleich null ist.

1. Faktor: $24\neq0$

2. Faktor: $x+1{,}5=0\;\Rightarrow \;x=-1{,}5$

3. Faktor: $x-5=0\;\Rightarrow \;x=5$

Die Gleichung hat die Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\{-1{,}5;5\}$

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Wende den Satz vom Nullprodukt an.

$-2 \cdot\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+4=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen

$\displaystyle -2 \cdot\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+4$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -4$
	↓	Bringe 4 auf die andere Seite.
$\displaystyle -2 \cdot\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2$	$=$	$\displaystyle -4$	$\displaystyle :(-2)$
$\displaystyle \left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle$
	↓	Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind.
$\displaystyle \sqrt{\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{2}$	$\displaystyle$
	↓	Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen.
$\displaystyle \|x+\frac{1}{2}\|$	$=$	$\displaystyle \sqrt{2}$

Löse den Betrag auf. Dazu werden zwei Fälle betrachtet.

Es gibt zwei Zahlen, deren Betrag gleich $\sqrt{2}$ ist: $\sqrt{2}$ und $-\sqrt{2}$ .

Fall 1:

$x+\dfrac{1}{2}=\sqrt{2}\;\Rightarrow\;x=-\dfrac{1}{2}+\sqrt{2}$

Fall 2:

$x+\dfrac{1}{2}=-\sqrt{2}\;\Rightarrow\;x=-\dfrac{1}{2}-\sqrt{2}$

Antwort:

Die Gleichung hat die beiden Lösungen $-\dfrac{1}{2}+\sqrt{2}$ und $-\dfrac{1}{2}-\sqrt{2}$ .

Die Lösungsmenge ist dann $\mathbb{L}=\{-\dfrac{1}{2}-\sqrt{2};\;-\dfrac{1}{2}+\sqrt{2}\}$ .

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Wende die Technik des Rückwärtsrechnens an.

$\displaystyle \frac{1}{8}x^2$	$=$	$\displaystyle 18$	$\displaystyle \cdot8$
	↓	Löse nach $x^2$ auf
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 144$