Gegeben ist eine Kugel K mit dem Mittelpunkt M(4∣−1∣z) und dem Radius r=3. Bestimme z so, dass der Punkt P(6∣1∣3) auf der Kugel K liegt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung
Stelle die Kugelgleichung auf:
K: x−4−1z2=32=9
Setze die Punktkoordinaten von P für den Vektor x in K ein.
| x−4−1z2 | = | 9 | |
↓ | Den Punkt P einsetzen. | ||
| 613−4−1z2 | = | 9 | |
↓ | Die linke Seite vereinfachen. | ||
| 6−41−(−1)3−z2 | = | 9 | |
| 223−z2 | = | 9 | |
↓ | Berechne das Skalarprodukt. | ||
| 22+22+(3−z)2 | = | 9 | |
↓ | Vereinfache und vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden. | ||
| 4+4+9−6z+z2 | = | 9 | |
↓ | Fasse die linke Seite zusammen. | ||
| z2−6z+17 | = | 9 | −9 |
| z2−6z+8 | = | 0 | |
Du hast eine quadratische Gleichung mit der Unbekannten z erhalten. Diese Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Lies die Werte für p und q ab: p=−6, q=8
| z1,2= | = | −2p±(2p)2−q | |
↓ | Setze die Werte für p und q ein. | ||
| = | −2(−6)±(2−6)2−8 | ||
↓ | Vereinfache. | ||
| = | 3±9−8 | ||
| = | 3±1 | ||
| = | 3±1 | ||
| z1 | = | 2 | |
| z2 | = | 4 | |
Antwort: Die quadratische Gleichung hat die Lösungsmenge L={2;4}.
Da es für z zwei Lösungen gibt, existieren auch zwei verschiedene Mittelpunkte. Es gibt demnach zwei Kugeln mit dem Radius r=3, auf denen der Punkt P liegt.
z1=2⇒ M1(4∣−1∣2)
z2=4⇒ M1(4∣−1∣4)
Stelle die Kugelgleichung K auf. Setze die Punktkoordinaten von P für den Vektor x ein und berechne das Skalarprodukt. Löse die erhaltene quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel oder der pq-Formel.
