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Aufgabe A2

Gegeben sind die Parabel pp mit der Gleichung y=0,25x23x+8y=0{,}25x^2-3x+8 und die Gerade gg mit der Gleichung y=0,25x+6,5y=-0{,}25x+6{,}5. Es gilt: G=R\mathbb{G}=\mathbb{R} x R\mathbb{R} .

Die Punkte AA und BB sind die Schnittpunkte der Parabel pp und der Gerade gg.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Parabel
  1. Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte AA und BB. (3 P)

  2. Punkte Pn(x0,25x23x+8)P_n(x|0{,}25x^2-3x+8) auf pp und Punkte Qn(x0,25x+6,5)Q_n(x|-0{,}25x+6{,}5) auf gg haben dieselbe Abszisse xx. Für die Strecken [PnQn][P_nQ_n] gilt: yQn>yPny_{Q_n}\gt y_{P_n}. Die Mittelpunkte MnM_n der Strecken [PnQn][P_nQ_n] sind zugleich Mittelpunkte von Kreisen knk_n mit den Durchmessern PnQn.\overline{P_nQ_n}.

    Zeichnen Sie die Strecke [P1Q1][P_1Q_1] sowie den Mittelpunkt M1M_1 und den Kreis k1k_1 mit dem Durchmesser P1Q1\overline{P_1Q_1} für x=7x=7 in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein. (2 P)

  3. Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken [PnQn][P_nQ_n] in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte PnP_n gilt: (1 P)

  4. Unter den Kreisen knk_n gibt es einen Kreis k0k_0 mit maximalem Umfang umaxu_{max}.

    Berechnen Sie umaxu_{max}. (2 P)

  5. Ein Kreis k3k_3 hat den 4-fachen Durchmesser eines Kreises k2k_2. Hat k3k_3 dann den 16-fachen Flächeninhalt von k2k_2?

    Begründen Sie Ihre Antwort. (2 P)