Zeichnen des Fünfecks

(Alternativ kannst du auch mit dem Kosinussatz z.B. den Winkel $\measuredangle EDC$ berechnen und einzeichnen.)

Länge von $[BE]$, Winkel $\measuredangle AEB$

Berechne die Länge der Strecke $[BE]$ und das Maß des Winkels $\measuredangle AEB$

$\overline{BE} =\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{AE}^2};\ \ \ \ \ \overline{BE}=\sqrt{{7}^2+{8}^2}\ cm$

$\overline{BE}=\ 10{,}63\ cm$

Im gleichen Dreieck kann mit dem Tangens der Winkel $\measuredangle AEB$ berechnet werden:

$\displaystyle\tan\measuredangle\mathrm{AEB}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AE}};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \tan\measuredangle\mathrm{AEB}=\frac{7}{8}$

$\measuredangle\mathrm{AEB}=41{,}19^{\circ}$

Flächeninhalt des Vierecks

Flächeninhalt des Dreiecks $ABE:$

${A}_{ABE}$= $\dfrac{\overline{AB}\cdot\overline{AE}}{2}$;${A}_{ABE}= \dfrac{7\cdot8}{2}\;\text{cm}^2$

${A}_{ABE}= 28\;\text{cm}^2$

Flächeninhalt des Dreiecks $BCE:$

Berechne zuerst den Winkel $BEC$.

$\measuredangle \mathrm{BEC}=\measuredangle \mathrm{AED}-\measuredangle \mathrm{AEB}-\measuredangle \mathrm{CED}$

$\measuredangle \mathrm{BEC}=\measuredangle \mathrm{128^\circ}-\measuredangle \mathrm{41{,}19^\circ}-\measuredangle \mathrm{CED}$

Berechne den Winkel $\measuredangle{CED}$ mit dem Kosinussatz:

$9^2=11^2+4^2-2\cdot11\cdot\cos\measuredangle{CED}\Rightarrow$

$\displaystyle\cos\measuredangle{CED}=\frac{121+16-81}{88}=0{,}6363$

$\measuredangle \mathrm{CED}= 50{,}48^\circ$

$\measuredangle \mathrm{BEC}=\measuredangle \mathrm{128^\circ}-\measuredangle \mathrm{41{,}19^\circ}-\measuredangle \mathrm{50{,}48^\circ}$

$\measuredangle \mathrm{BEC}= 36{,}33^\circ$

Berechne nun die Flächen des Dreiecks $BCE$ mit der Flächenformel für das allgemeine Dreieck:

Flächeninhalt des Vierecks $ABCE$

${A}_{ABCE}= {A}_{ABE}+{A}_{BCE}$ = $28\;\text{cm}^2+34{,}64\;\text{cm}^2$

${{A}}_{ABCE}= 62{,}64\;\text{cm}^2$

Berechnung der Länge von $[BC]$

Berechne die Strecke $BC$ mit Hilfe des Kosinussatzes.

$\overline{BC}^2=\overline{EB}^2+\overline{EC}^2-2\cdot\cos\sphericalangle{BEC}\cdot\overline{BE}\cdot\overline{CE}$

$\overline{BC}=\sqrt{\overline{EB}^2+\overline{EC}^2-2\cdot\cos\sphericalangle{BEC}\cdot\overline{BE}\cdot\overline{CE}}$

$\overline{BC}=\sqrt{\overline{EB}^2+\overline{EC}^2-2\cdot\cos\sphericalangle{BEC}\cdot\overline{BE}\cdot\overline{CE}}$

$\overline{BC}=\sqrt{11^2+10{,}63^2-2\cdot\cos36{,}33^{\circ}\cdot11\cdot10{,}63} \;\text{cm}$

$\overline{BC}=\sqrt{45{,}52}\,\text{cm}$

$\overline{BC}= 6{,}75\;\text{cm}$

Berechnung der Größe des Winkels $ECB$

Berechne den Winkel $ECB$ mit Hilfe des Sinussatzes.

$\dfrac{\sin36{,}33^\circ}{6{,}75\;\text{cm}}=\dfrac{\sin\sphericalangle{ECB}}{10{,}63\;\text{cm}}$

$\sin\sphericalangle{ECB}=\dfrac{\sin36{,}33^\circ\cdot10{,}63\;\text{cm}}{6{,}75\;\text{cm}}=0{,}933$

$\sphericalangle{ECB}\ =\ 68{,}90^\circ$

Berechne den Flächeninhalt des Vierecks $BCFG$

Berechne zuerst mit Hilfe des Strahlensatzes die Länge der Strecke $[FG].$

$\dfrac{\overline{FG}}{\overline{BC}}=\dfrac{\overline{EF}}{\overline{EC}}\ \ \Rightarrow\ \ \overline{FG}=\dfrac{\overline{BC}\cdot\overline{EF}}{\overline{EC}}$

$\overline{FG}=\dfrac{{6{,}75\;\text{cm}}\cdot{(11-3)\;\text{cm}}}{{11\;\text{cm}}}$

$\overline{FG}=4{,}91\;\text{cm}$

Höhe $h$ im Trapez $BCFG$

Berechne jetzt die Höhe ${h}$ mit dem Sinus:

$\dfrac{h}{3\;\text{cm}}=\sin68{,}90^\circ\Rightarrow\ h=3\;\text{cm}\cdot0{,}933$

$h=2{,}80\;\text{cm}$

Flächeninhalt des Trapezes

Das Viereck $BCFG$ ist ein Trapez. Die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Trapezes lautet:

$A_{Trapez}= \dfrac{a+c}{2}\cdot{h}=\dfrac{\overline{BC}+\overline{FG}}{2}\cdot h$

$A_{BCFG}= \dfrac{6{,}75+4{,}91}{2}\cdot{2{,}80\;\text{cm}^2}$

$A_{BCFG}= 16{,}32\;\text{cm}^2$

Berechne den Flächeninhalt des Kreissektor $AQS$.

Um den Flächeninhalt des Kreissektors $AQS$ zu berechnen, musst Du zuerst die Länge der Strecke $[AR]$ berechnen.

Der Winkel $AEB= 41{,}19^\circ$.

$\dfrac{\overline{AR}}{\overline{AE}}=\sin\sphericalangle{AEB}\ \Rightarrow\overline{AR}=\overline{AE}\cdot\sin\sphericalangle{AEB}$; $\overline{AR}=8\;\text{cm}\cdot0{,}659$

$\overline{AR}= 5{,}27\;\text{cm}$

Berechne jetzt den Flächeninhalt des Kreissektor $AQS$.

$A_{Sektor}= \dfrac{\sphericalangle{BAE}}{{360^\circ}}\cdot\overline{AR^2}\cdot\large\pi$; $A_{Sektor}= \dfrac{90^\circ}{{360^\circ}}\cdot{27{,}77\;\text{cm}^2}\cdot\large\pi$

$A_{Sektor}=21{,}81\;\text{cm}^2$