Zeichnen des Fünfecks

(Alternativ kannst du auch mit dem Kosinussatz z.B. den Winkel $\measuredangle EDC$ berechnen und einzeichnen.)

Länge von $[BE]$, Winkel $\measuredangle AEB$

Berechne die Länge der Strecke $[BE]$ und das Maß des Winkels $\measuredangle AEB$

$\overline{BE}=\sqrt{{\overline{AB}}^2+{\overline{AE}}^2};\overline{BE}=\sqrt{7^2+8^2}cm$

$\overline{BE}=\mathrm{10,63}cm$

Im gleichen Dreieck kann mit dem Tangens der Winkel $\measuredangle AEB$ berechnet werden:

$${\displaystyle \tan \measuredangle \mathrm{AEB}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AE}};\tan \measuredangle \mathrm{AEB}=\frac{7}{8}}$$

$\measuredangle \mathrm{AEB}={\mathrm{41,19}}^{\circ }$

Flächeninhalt des Vierecks

Flächeninhalt des Dreiecks $ABE:$

$A_{ABE}$= ${\displaystyle \frac{\overline{AB}\cdot \overline{AE}}{2}}$;$A_{ABE}={\displaystyle \frac{7\cdot 8}{2}}{\text{cm}}^2$

$A_{ABE}=28{\text{cm}}^2$

Flächeninhalt des Dreiecks $BCE:$

Berechne zuerst den Winkel $BEC$.

$\measuredangle \mathrm{BEC}=\measuredangle \mathrm{AED}-\measuredangle \mathrm{AEB}-\measuredangle \mathrm{CED}$

$\measuredangle \mathrm{BEC}=\measuredangle {128}^{\circ }-\measuredangle {\mathrm{41,19}}^{\circ }-\measuredangle \mathrm{CED}$

Berechne den Winkel $\measuredangle CED$ mit dem Kosinussatz:

$9^2={11}^2+4^2-2\cdot 11\cdot \cos \measuredangle CED\Rightarrow$

$${\displaystyle \cos \measuredangle CED=\frac{121+16-81}{88}=\mathrm{0,6363}}$$

$\measuredangle \mathrm{CED}={\mathrm{50,48}}^{\circ }$

$\measuredangle \mathrm{BEC}=\measuredangle {128}^{\circ }-\measuredangle {\mathrm{41,19}}^{\circ }-\measuredangle {\mathrm{50,48}}^{\circ }$

$\measuredangle \mathrm{BEC}={\mathrm{36,33}}^{\circ }$

Berechne nun die Flächen des Dreiecks $BCE$ mit der Flächenformel für das allgemeine Dreieck:

Flächeninhalt des Vierecks $ABCE$

$A_{ABCE}=A_{ABE}+A_{BCE}$ = $28{\text{cm}}^2+\mathrm{34,64}{\text{cm}}^2$

$A_{ABCE}=\mathrm{62,64}{\text{cm}}^2$

Berechnung der Länge von $[BC]$

Berechne die Strecke $BC$ mit Hilfe des Kosinussatzes.

${\overline{BC}}^2={\overline{EB}}^2+{\overline{EC}}^2-2\cdot \cos \sphericalangle BEC\cdot \overline{BE}\cdot \overline{CE}$

$\overline{BC}=\sqrt{{\overline{EB}}^2+{\overline{EC}}^2-2\cdot \cos \sphericalangle BEC\cdot \overline{BE}\cdot \overline{CE}}$

$\overline{BC}=\sqrt{{\overline{EB}}^2+{\overline{EC}}^2-2\cdot \cos \sphericalangle BEC\cdot \overline{BE}\cdot \overline{CE}}$

$\overline{BC}=\sqrt{{11}^2+{\mathrm{10,63}}^2-2\cdot \cos {\mathrm{36,33}}^{\circ }\cdot 11\cdot \mathrm{10,63}}\text{cm}$

$\overline{BC}=\sqrt{\mathrm{45,52}}\text{cm}$

$\overline{BC}=\mathrm{6,75}\text{cm}$

Berechnung der Größe des Winkels $ECB$

Berechne den Winkel $ECB$ mit Hilfe des Sinussatzes.

${\displaystyle \frac{\sin {\mathrm{36,33}}^{\circ }}{\mathrm{6,75}\text{cm}}}={\displaystyle \frac{\sin \sphericalangle ECB}{\mathrm{10,63}\text{cm}}}$

$\sin \sphericalangle ECB={\displaystyle \frac{\sin {\mathrm{36,33}}^{\circ }\cdot \mathrm{10,63}\text{cm}}{\mathrm{6,75}\text{cm}}}=\mathrm{0,933}$

$\sphericalangle ECB={\mathrm{68,90}}^{\circ }$

Berechne den Flächeninhalt des Vierecks $BCFG$

Berechne zuerst mit Hilfe des Strahlensatzes die Länge der Strecke $[FG].$

${\displaystyle \frac{\overline{FG}}{\overline{BC}}}={\displaystyle \frac{\overline{EF}}{\overline{EC}}}\Rightarrow \overline{FG}={\displaystyle \frac{\overline{BC}\cdot \overline{EF}}{\overline{EC}}}$

$\overline{FG}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,75}\text{cm}\cdot (11-3)\text{cm}}{11\text{cm}}}$

$\overline{FG}=\mathrm{4,91}\text{cm}$

Höhe $h$ im Trapez $BCFG$

Berechne jetzt die Höhe $h$ mit dem Sinus:

${\displaystyle \frac{h}{3\text{cm}}}=\sin {\mathrm{68,90}}^{\circ }\Rightarrow h=3\text{cm}\cdot \mathrm{0,933}$

$h=\mathrm{2,80}\text{cm}$

Flächeninhalt des Trapezes

Das Viereck $BCFG$ ist ein Trapez. Die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Trapezes lautet:

$A_{Trapez}={\displaystyle \frac{a+c}{2}}\cdot h={\displaystyle \frac{\overline{BC}+\overline{FG}}{2}}\cdot h$

$A_{BCFG}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,75}+\mathrm{4,91}}{2}}\cdot \mathrm{2,80}{\text{cm}}^2$

$A_{BCFG}=\mathrm{16,32}{\text{cm}}^2$

Berechne den Flächeninhalt des Kreissektor $AQS$.

Um den Flächeninhalt des Kreissektors $AQS$ zu berechnen, musst Du zuerst die Länge der Strecke $[AR]$ berechnen.

Der Winkel $AEB={\mathrm{41,19}}^{\circ }$.

${\displaystyle \frac{\overline{AR}}{\overline{AE}}}=\sin \sphericalangle AEB\Rightarrow \overline{AR}=\overline{AE}\cdot \sin \sphericalangle AEB$; $\overline{AR}=8\text{cm}\cdot \mathrm{0,659}$

$\overline{AR}=\mathrm{5,27}\text{cm}$

Berechne jetzt den Flächeninhalt des Kreissektor $AQS$.

$A_{Sektor}={\displaystyle \frac{\sphericalangle BAE}{{360}^{\circ }}}\cdot \overline{A{R}^2}\cdot \pi$; $A_{Sektor}={\displaystyle \frac{{90}^{\circ }}{{360}^{\circ }}}\cdot \mathrm{27,77}{\text{cm}}^2\cdot \pi$

$A_{Sektor}=\mathrm{21,81}{\text{cm}}^2$