Teil B - lernen mit Serlo!

Aufgabe B1

Die Skizze zeigt das Fünfeck $A B C D E$ .

Es gilt: $\overline{AB}= 7\;\text{cm}$ ; $\overline{AE}= 8\;\text{cm}$ ; $\overline{DE}= 4\;\text{cm}$ ; $\overline{CE}=11\;\text{cm}$ ; $\overline{CD}=9\;\text{cm}$ ;

$\sphericalangle{BAE}=90°$ ; $\sphericalangle{AED}=128°$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Fünfeck $A B C D E$ sowie die Strecken $[B E]$ und $[C E]$ .
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $[B E]$ und das Maß des Winkels $A E B$ . (4 P)
$[$ Teilergebnisse: $\overline{BE}=10{,}63\;\text{cm}$ ; $\sphericalangle{AEB}=41{,}19°$ $]$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pythagoras
Zeichnen des Fünfecks
Zeichne zuerst mit dem Geodreieck die Strecke $\left[AB\right]$ , den Winkel $\measuredangle BAE=90°$ und die Strecke $[A E]$ , und dann den Winkel $\measuredangle AED=128°$ und die Strecke $[D E]$ .
Punkt $C$ ist durch $\overline{CE}=11\mathrm{\ cm}$ und $\overline{CD}=9\mathrm{\ cm}$ mit dem Zirkel konstruierbar.
(Alternativ kannst du auch mit dem Kosinussatz z.B. den Winkel $\measuredangle EDC$ berechnen und einzeichnen.)
Länge von $[B E]$ , Winkel $\measuredangle AEB$
Berechne die Länge der Strecke $[B E]$ und das Maß des Winkels $\measuredangle AEB$
Mit dem Satz des Pythagoras gilt im Dreieck $A B E$ :
Skizze
$\overline{BE} =\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{AE}^2};\ \ \ \ \ \overline{BE}=\sqrt{{7}^2+{8}^2}\ cm$
$\overline{BE}=\ 10{,}63\ cm$
Im gleichen Dreieck kann mit dem Tangens der Winkel $\measuredangle AEB$ berechnet werden:
$\displaystyle\tan\measuredangle\mathrm{AEB}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AE}};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \tan\measuredangle\mathrm{AEB}=\frac{7}{8}$
$\measuredangle\mathrm{AEB}=41{,}19^{\circ}$
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Zeichne die Strecken unter den vorgegebenen Winkeln.
Konstruiere den Punkt $C$ mithilfe des Zirkels und verbinde das Fünfeck.
Berechne die Länge von $[B E]$ und das Maß von $\sphericalangle{AEB}$ im Dreieck $A B E$ .

Ermitteln Sie durch Rechnung den Flächeninhalt des Vierecks $A B C E$ . (4 P)

$[$ Zwischenergebnis: $\sphericalangle{BEC}=36{,}33°]$

Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecke $[B C]$ und das Maß des Winkels $E C B$ gilt: (2 P)
$\overline{BC}=6{,}75$ cm; $\sphericalangle{ECB}=68{,}90°$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck
Skizze
Berechnung der Länge von $[B C]$
Berechne die Strecke $B C$ mit Hilfe des Kosinussatzes.
$\overline{BC}^2=\overline{EB}^2+\overline{EC}^2-2\cdot\cos\sphericalangle{BEC}\cdot\overline{BE}\cdot\overline{CE}$
$\overline{BC}=\sqrt{\overline{EB}^2+\overline{EC}^2-2\cdot\cos\sphericalangle{BEC}\cdot\overline{BE}\cdot\overline{CE}}$
$\overline{BC}=\sqrt{\overline{EB}^2+\overline{EC}^2-2\cdot\cos\sphericalangle{BEC}\cdot\overline{BE}\cdot\overline{CE}}$
$\overline{BC}=\sqrt{11^2+10{,}63^2-2\cdot\cos36{,}33^{\circ}\cdot11\cdot10{,}63} \;\text{cm}$
$\overline{BC}=\sqrt{45{,}52}\,\text{cm}$
$\overline{BC}= 6{,}75\;\text{cm}$
Berechnung der Größe des Winkels $E C B$
Berechne den Winkel $E C B$ mit Hilfe des Sinussatzes.
$\dfrac{\sin36{,}33^\circ}{6{,}75\;\text{cm}}=\dfrac{\sin\sphericalangle{ECB}}{10{,}63\;\text{cm}}$
$\sin\sphericalangle{ECB}=\dfrac{\sin36{,}33^\circ\cdot10{,}63\;\text{cm}}{6{,}75\;\text{cm}}=0{,}933$
$\sphericalangle{ECB}\ =\ 68{,}90^\circ$
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Berechne die Länge von $[B C]$ mit dem Kosinussatz.
Verwende den Sinussatz für den Winkel $\sphericalangle{ECB}$ .
Die Punkte $F\in[CE]$ und $G\in[BE]$ legen die Strecke $[F G]$ fest, wobei gilt:
$[FG]\Vert[BC]$ und $\overline{CF}=3\;\text{cm}$ .
Ergänzen Sie die Strecke $[F G]$ in der Zeichnung zu 1a) und berechnen Sie den Flächeninhalt des Vierecks $B C F G$ . (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Strahlensatz
Skizze
Berechne den Flächeninhalt des Vierecks $B C F G$
Berechne zuerst mit Hilfe des Strahlensatzes die Länge der Strecke $[F G] .$
$\dfrac{\overline{FG}}{\overline{BC}}=\dfrac{\overline{EF}}{\overline{EC}}\ \ \Rightarrow\ \ \overline{FG}=\dfrac{\overline{BC}\cdot\overline{EF}}{\overline{EC}}$
$\overline{FG}=\dfrac{{6{,}75\;\text{cm}}\cdot{(11-3)\;\text{cm}}}{{11\;\text{cm}}}$
$\overline{FG}=4{,}91\;\text{cm}$
Höhe $h$ im Trapez $B C F G$
Berechne jetzt die Höhe $h$ mit dem Sinus:
$\dfrac{h}{3\;\text{cm}}=\sin68{,}90^\circ\Rightarrow\ h=3\;\text{cm}\cdot0{,}933$
$h=2{,}80\;\text{cm}$
Flächeninhalt des Trapezes
Das Viereck $B C F G$ ist ein Trapez. Die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Trapezes lautet:
$A_{Trapez}= \dfrac{a+c}{2}\cdot{h}=\dfrac{\overline{BC}+\overline{FG}}{2}\cdot h$
$A_{BCFG}= \dfrac{6{,}75+4{,}91}{2}\cdot{2{,}80\;\text{cm}^2}$
$A_{BCFG}= 16{,}32\;\text{cm}^2$
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Berechne zuerst mit Hilfe des Strahlensatzes die Länge der Strecke $[F G] .$
Berechne dann die Höhe $h$ im Trapez $B C F G$ , sowie den Flächeninhalt.
Ein Kreis mit dem Mittelpunkt $A$ berührt die Strecke $[B E]$ im Punkt $R$ . Er schneidet die Strecke $[A B]$ im Punkt $Q$ und die Strecke $[A E]$ im Punkt $S$ .
Zeichnen Sie den Kreisbogen $\overset\frown{QS}$ und den Punkt $R$ in die Zeichnung zu 1a) ein.
Ermitteln Sie sodann rechnerisch den Flächeninhalt des Sektors, der von den Strecken $[A Q]$ und $[A S]$ sowie dem Kreisbogen $\overset\frown{QS}$ begrenzt wird. (3 P)
$[$ Zwischenergebnis: $\overline{AR}=5{,}27\;\text{cm}$ $]$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreissektor
Skizze
Berechne den Flächeninhalt des Kreissektor $A Q S$ .
Um den Flächeninhalt des Kreissektors $A Q S$ zu berechnen, musst Du zuerst die Länge der Strecke $[A R]$ berechnen.
Der Winkel $AEB= 41{,}19^\circ$ .
$\dfrac{\overline{AR}}{\overline{AE}}=\sin\sphericalangle{AEB}\ \Rightarrow\overline{AR}=\overline{AE}\cdot\sin\sphericalangle{AEB}$ ; $\overline{AR}=8\;\text{cm}\cdot0{,}659$
$\overline{AR}= 5{,}27\;\text{cm}$
Berechne jetzt den Flächeninhalt des Kreissektor $A Q S$ .
$A_{Sektor}= \dfrac{\sphericalangle{BAE}}{{360^\circ}}\cdot\overline{AR^2}\cdot\large\pi$ ; $A_{Sektor}= \dfrac{90^\circ}{{360^\circ}}\cdot{27{,}77\;\text{cm}^2}\cdot\large\pi$
$A_{Sektor}=21{,}81\;\text{cm}^2$
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Berechne die Länge der Strecke $[A R]$ mit dem Sinus. Verwende hierzu, dass der Winkel $AEB= 41{,}19^\circ$ ist.
Bestimme mithilfe des Radius $[A R]$ den Flächeninhalt des Kreissektors.

$\displaystyle \large{A}_{BCE}$	$=$	$\displaystyle \dfrac12\cdot a\cdot b\cdot\sin\gamma$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot11\cdot10{,}63\cdot\sin36{,}33^\circ$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 34{,}64\;\text{cm}^2$

Aufgabe B1

Zeichnen des Fünfecks

Länge von [BE][BE][BE], Winkel ∡AEB\measuredangle AEB∡AEB

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Flächeninhalt des Vierecks

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Berechnung der Länge von [BC][BC][BC]

Berechnung der Größe des Winkels ECBECBECB

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Berechne den Flächeninhalt des Vierecks BCFGBCFGBCFG

Höhe hhh im Trapez BCFGBCFGBCFG

Flächeninhalt des Trapezes

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Berechne den Flächeninhalt des Kreissektor AQSAQSAQS.

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Länge von $[B E]$ , Winkel $\measuredangle AEB$

Berechnung der Länge von $[B C]$

Berechnung der Größe des Winkels $E C B$

Berechne den Flächeninhalt des Vierecks $B C F G$

Höhe $h$ im Trapez $B C F G$

Berechne den Flächeninhalt des Kreissektor $A Q S$ .