Begründen Sie, dass gilt: $\sphericalangle{AND}=90°$

Bestimmen Sie sodann den Radius $r$ des Halbkreises $k$.

Der Punkt $N$ liegt auf dem Thaleskreis über $[AD]$, folglich gilt: $\sphericalangle{AND}=90^\circ$

Das Dreieck $BLN$ ist gleichschenklig, da der Winkel $LNB= LBN=45^\circ$

$\tan\sphericalangle{LNB}=\dfrac{\overline{BL}}{\overline{LN}}=\dfrac{5\ \text{cm}}{3\ \text{cm}+\overline{MN}}\Rightarrow$$\displaystyle\overline{MN}=\frac{5\ \text{cm}-3\ \text{cm}\cdot\tan45^{\circ}}{\tan45^{\circ}}$

$\overline{MN}=r=2\ \text{cm}$

Alternative Begründung:

Da das Dreieck $BLN$ gleichschenklig ist, ist $\overline{LN}=\overline{BL}=\frac{1}{2}\overline{BC}=5\ \text{cm}.$

Daher ist

$r=\overline{MN}=\overline{LN}-\overline{LM}=5\ \text{cm}-3\ \text{cm}=2\ \text{cm}$.

Durch Rotation der Figur aus der Aufgabenstellung um die Achse $LN$ entsteht ein Rotationskörper. Berechne dessen Volumen.

Der Rotationskörper setzt sich aus einem Kegelstumpf und einer Halbkugel zusammen. Berechne das Volumen des Kegelstumpfes und das Volumen der Halbkugel und addiere sie.

$V_{\text{Kegelstumpf}}=\dfrac{h\cdot\pi}{3}\cdot(R^2+Rr+r^2)$

$r=2\; \text{cm}^2$ und $R=\overline{BC}=10\;\text{cm}$

$\Rightarrow\; V_{\text{Kegelstumpf}}=\dfrac{3\ \text{cm}\cdot\pi}{3}\cdot(25+10+4)\ \text{cm}^2$

$V_{\text{Kegelstumpf}}=\pi\cdot39\ \text{cm}^3$

$V_{\text{Kegelstumpf}}=122{,}52\ \text{cm}^3$

$V_{\text{Kugel}}= \dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot{r^3}\Rightarrow V_{\text{Halbkugel}}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot{r^3}$

$V_{\text{Halbkugel}}=\dfrac{2}{3}\cdot\pi\cdot{2^3}\ \text{cm}^3$

$V_{\text{Halbkugel}}=16{,}76\ \text{cm}^3$

$V_{\text{Rotationsköper}}=122{,}52\ \text{cm}^3+16{,}76\ \text{cm}^3$

$V_{\text{Rotationsköper}}=139{,}28\ \text{cm}^3$