In der analytischen Geometrie wird eine Strecke im Raum zwischen den Punkten A und B durch eine Vektorgleichung dargestellt.
Die Gerade durch die beiden Punkte A und B ist die Punktmenge
Durchläuft der Parameter r alle Zahlen von 0 bis 1, so durchläuft der zum Ortsvektor X gehörende Punkt X die Strecke [AB]. Für r=0 liegt der Punkt X auf dem Eckpunkt A der Strecke und für r=1 liegt der Punkt X auf dem Eckpunkt B der Strecke.
Unter welchen Bedingungen liegt ein beliebiger Punkt P auf der Strecke [AB]?
Der Punkt P liegt dann auf der Strecke [AB], wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.
I.P∈gAB (der Punkt P liegt für einen Parameterwert r auf der Geraden gAB).
II.0≤r≤1 (der unter I. berechnete Parameterwert r muss größer gleich 0 und kleiner gleich 1 sein).
Anmerkung: Die obigen Ausführungen gelten entsprechend auch im R2.
Vorgehensweise
Fall 1: Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. es gibt einen Wert für den Parameter r. Dann ist die Bedingung I.P∈gAB ist erfüllt, der Punkt P liegt der Geraden gAB.
Fall 1 a): Der berechnete Parameterwert erfüllt auch die oben genannte Bedingung II. Dann liegt der Punkt Pauf der Strecke, P∈[AB].
Fall 1 b): Die Bedingung II. ist nicht erfüllt. Dann liegt der Punkt zwar auf der Geraden durch A und B, aber nicht auf der Strecke.
Fall 2: Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Dann liegt der Punkt P nicht der Geraden gAB und auch nicht auf der Strecke, P∈/[AB].
Beispiel P∈[AB] (der Punkt P liegt auf der Strecke [AB])
Gegeben sind die Strecke [AB] mit A(1∣2∣3) und B(2∣2∣4) und der Punkt P(1,5∣2∣3,5). Liegt der Punkt P auf der Strecke [AB]?
Erstelle die Geradengleichung gAB:
gAB:X=OA+r⋅AB
gAB:X=123+r⋅224−123=123+r⋅101
Führe eine Punktprobe durch. Setze für X den Vektor OP ein:
1,523,5=123+r⋅101⇒0,500,5=r⋅101
Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten erhalten.
(I)0,5=r
(II)0=0 Diese Gleichung ist eine wahre Aussage.
(III)0,5=r
Damit hat das Gleichungssystem die Lösung r=0,5. Die Bedingung I.P∈gAB ist erfüllt.
Der Parameter r hat den Wert r=0,5. d.h. der Parameter erfüllt auch die Bedingung II.0≤r≤1.
Beide Bedingungen sind erfüllt:⇒P∈[AB]
Beispiel P∈/[AB] (der Punkt P liegt nicht auf der Strecke [AB])
Gegeben sind die Strecke [AB] mit A(2∣2∣−3)∣ und B(1∣−1∣4) und der Punkt P(−1∣−7∣18). Liegt der Punkt P auf der Strecke [AB]?