Lagebeziehung Punkt-Strecke (Inzidenz)

In der analytischen Geometrie wird eine Strecke im Raum zwischen den Punkten $A$ und $B$ durch eine Vektorgleichung dargestellt.

Die Gerade durch die beiden Punkte $A$ und $B$ ist die Punktmenge

g_{A B} : \vec{X} = \vec{O A} + r \cdot \vec{A B} .

Durchläuft der Parameter $r$ alle Zahlen von $0$ bis $1$ , so durchläuft der zum Ortsvektor $\vec{X}$ gehörende Punkt $X$ die Strecke $[A B]$ . Für $r = 0$ liegt der Punkt $X$ auf dem Eckpunkt $A$ der Strecke und für $r = 1$ liegt der Punkt $X$ auf dem Eckpunkt $B$ der Strecke.

Unter welchen Bedingungen liegt ein beliebiger Punkt $P$ auf der Strecke $[A B]$ ?

Der Punkt $P$ liegt dann auf der Strecke $[A B]$ , wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.

$I . P \in g_{A B}$ (der Punkt $P$ liegt für einen Parameterwert $r$ auf der Geraden $g_{A B}$ ).

$I I . 0 \leq r \leq 1$ (der unter $I .$ berechnete Parameterwert $r$ muss größer gleich 0 und kleiner gleich $1$ sein).

Anmerkung: Die obigen Ausführungen gelten entsprechend auch im $ℝ^{2}$ .

Vorgehensweise

Vorgehen

Gegeben ist eine Strecke $[A B]$ durch die beiden Punkte $A$ und $B$ und ein beliebiger Punkt $P$ . Erstelle die Geradengleichung $g_{A B}$ :

g_{A B} : \vec{X} = \vec{O A} + r \cdot \vec{A B}

Führe eine Punktprobe durch. Setze für $\vec{X}$ den Vektor $\vec{O P}$ ein:

\vec{O P} = \vec{O A} + r \cdot \vec{A B}

Löse das Gleichungssystem.

Fall 1: Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. es gibt einen Wert für den Parameter $r$ . Dann ist die Bedingung $I . P \in g_{A B}$ ist erfüllt, der Punkt $P$ liegt der Geraden $g_{A B}$ .
Fall 1 a): Der berechnete Parameterwert erfüllt auch die oben genannte Bedingung $I I .$ Dann liegt der Punkt $P$ auf der Strecke, $P \in [A B]$ .
Fall 1 b): Die Bedingung $I I .$ ist nicht erfüllt. Dann liegt der Punkt zwar auf der Geraden durch $A$ und $B$ , aber nicht auf der Strecke.
Fall 2: Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Dann liegt der Punkt $P$ nicht der Geraden $g_{A B}$ und auch nicht auf der Strecke, $P \notin [A B]$ .

Beispiel $P \in [A B]$ (der Punkt $P$ liegt auf der Strecke $[A B]$ )

Gegeben sind die Strecke $[A B]$ mit $A (1 | 2 | 3)$ und $B (2 | 2 | 4)$ und der Punkt $P (1,5 | 2 | 3,5)$ . Liegt der Punkt $P$ auf der Strecke $[A B]$ ?

Erstelle die Geradengleichung $g_{A B}$ :

$g_{A B} : \vec{X} = \vec{O A} + r \cdot \vec{A B}$

$g_{A B} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + r \cdot ((\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array})) = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})$

Führe eine Punktprobe durch. Setze für $\vec{X}$ den Vektor $\vec{O P}$ ein:

$(\begin{array}{c} 1,5 \\ 2 \\ 3,5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}) \Rightarrow (\begin{array}{c} 0,5 \\ 0 \\ 0,5 \end{array}) = r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})$

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten erhalten.

$(I) 0,5 = r$

$(I I) 0 = 0$ Diese Gleichung ist eine wahre Aussage.

$(I I I) 0,5 = r$

Damit hat das Gleichungssystem die Lösung $r = 0,5$ . Die Bedingung $I . P \in g_{A B}$ ist erfüllt.

Der Parameter $r$ hat den Wert $r = 0,5$ . d.h. der Parameter erfüllt auch die Bedingung $I I . 0 \leq r \leq 1$ .

Beide Bedingungen sind erfüllt: $\Rightarrow P \in [A B]$

Beispiel $P \notin [A B]$ (der Punkt $P$ liegt nicht auf der Strecke $[A B]$ )

Gegeben sind die Strecke $[A B]$ mit $A (2 | 2 | - 3) |$ und $B (1 | - 1 | 4)$ und der Punkt $P (- 1 | - 7 | 18)$ . Liegt der Punkt $P$ auf der Strecke $[A B]$ ?

Erstelle die Geradengleichung $g_{A B}$ :

$g_{A B} : \vec{X} = \vec{O A} + r \cdot \vec{A B}$

$g_{A B} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot ((\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ - 3 \end{array})) = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ - 3 \\ 7 \end{array})$

Führe eine Punktprobe durch. Setze für $\vec{X}$ den Vektor $\vec{O P}$ ein:

$(\begin{array}{c} - 1 \\ - 7 \\ 18 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ - 3 \\ 7 \end{array}) \Rightarrow (\begin{array}{c} - 3 \\ - 9 \\ 21 \end{array}) = r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ - 3 \\ 7 \end{array})$

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten erhalten.

$(I) - 3 = - r \Rightarrow r = 3$

$(I I) - 9 = - 3 r \Rightarrow r = 3$

$(I I I) 21 = 7 r \Rightarrow r = 3$

Damit hat das Gleichungssystem die Lösung $r = 3$ . Bedingung $I . P \in g_{A B}$ ist erfüllt.

Der Parameter $r$ hat aber den Wert $r = 3$ , d.h. der Parameter erfüllt nicht die Bedingung $I I . 0 \leq r \leq 1$ .

Da nicht beide Bedingungen erfüllt sind: $\Rightarrow P \notin [A B]$

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Beispiel P∈[AB] (der Punkt P liegt auf der Strecke [AB])

Beispiel P∉[AB] (der Punkt P liegt nicht auf der Strecke [AB])

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Beispiel $P \notin [A B]$ (der Punkt $P$ liegt nicht auf der Strecke $[A B]$ )