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Lagebeziehung Punkt-Strecke (Inzidenz)

Punkt P auf Strecke

In der analytischen Geometrie wird eine Strecke im Raum zwischen den Punkten AA und BB durch eine Vektorgleichung dargestellt.

Die Gerade durch die beiden Punkte AA und BB ist die Punktmenge

Durchläuft der Parameter rr alle Zahlen von 00 bis 11, so durchläuft der zum Ortsvektor X\vec X gehörende Punkt XX die Strecke [AB][AB]. Für r=0r=0 liegt der Punkt XX auf dem Eckpunkt AA der Strecke und für r=1r=1 liegt der Punkt X X auf dem Eckpunkt BB der Strecke.

Unter welchen Bedingungen liegt ein beliebiger Punkt PP auf der Strecke [AB][AB]?

Der Punkt PP liegt dann auf der Strecke [AB][AB], wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.

I.  PgAB\mathrm{I.}\;P \in g_{AB} (der Punkt PP liegt für einen Parameterwert rr auf der Geraden gABg_{AB} ).

II.  0r1\mathrm{II.}\;0\leq r\leq 1 (der unter I.\mathrm{I.} berechnete Parameterwert rr muss größer gleich 0 und kleiner gleich 11 sein).

Anmerkung: Die obigen Ausführungen gelten entsprechend auch im R2\mathbb{R}^2.

Vorgehensweise

Vorgehen

Gegeben ist eine Strecke [AB][AB] durch die beiden Punkte AA und B B und ein beliebiger Punkt PP. Erstelle die Geradengleichung gABg_{AB}:

Führe eine Punktprobe durch. Setze für X\vec X den Vektor OP\overrightarrow{OP} ein:

Löse das Gleichungssystem.

  • Fall 1: Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. es gibt einen Wert für den Parameter rr. Dann ist die Bedingung I.  PgAB\mathrm{I.}\;P\in g_{AB} ist erfüllt, der Punkt PP liegt der Geraden gABg_{AB}.

  • Fall 1 a): Der berechnete Parameterwert erfüllt auch die oben genannte Bedingung II.\mathrm{II.} Dann liegt der Punkt PPauf der Strecke, P[AB]P \in [AB] .

  • Fall 1 b): Die Bedingung II.\mathrm{II.} ist nicht erfüllt. Dann liegt der Punkt zwar auf der Geraden durch AA und BB, aber nicht auf der Strecke.

  • Fall 2: Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Dann liegt der Punkt PP nicht der Geraden gABg_{AB} und auch nicht auf der Strecke, P[AB]P\notin[AB] .

Beispiel P[AB]P\in[AB] (der Punkt PP liegt auf der Strecke [AB][AB])

Gegeben sind die Strecke [AB][AB] mit A(123)A(1|2|3) und B(224)B(2|2|4) und der Punkt P(1,523,5)P(1{,}5|2|3{,}5). Liegt der Punkt P P auf der Strecke [AB][AB]?

Erstelle die Geradengleichung gABg_{AB}:

gAB:X=OA+rABg_{AB}: \vec X=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AB}

gAB:X=(123)+r((224)(123))=(123)+r(101)g_{AB}: \vec X=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+r\cdot\left(\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}

Führe eine Punktprobe durch. Setze für X\vec X den Vektor OP\overrightarrow{OP} ein:

(1,523,5)=(123)+r(101)    (0,500,5)=r(101)\begin{pmatrix}1{,}5\\2\\3{,}5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}0{,}5\\0\\0{,}5\end{pmatrix}=r\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten erhalten.

(I)      0,5=r\mathrm{(I)}\;\;\; 0{,}5=r

(II)          0=0\mathrm{(II)}\;\;\;\;\; 0=0 Diese Gleichung ist eine wahre Aussage.

(III)  0,5=r\mathrm{(III)}\; 0{,}5=r

Damit hat das Gleichungssystem die Lösung r=0,5r=0{,}5. Die Bedingung I.  PgAB\mathrm{I.}\;P \in g_{AB} ist erfüllt.

Der Parameter rr hat den Wert r=0,5r=0{,}5. d.h. der Parameter erfüllt auch die Bedingung II.  0r1\mathrm{II.}\;0\leq r\leq 1 .

Beide Bedingungen sind erfüllt:    P[AB]\;\Rightarrow\;P\in[AB]

Beispiel P[AB]P\notin[AB] (der Punkt PP liegt nicht auf der Strecke [AB][AB])

Gegeben sind die Strecke [AB][AB] mit A(223)A(2\left|2|-3)\right| und B(114)B(1|-1|4) und der Punkt P(1718)P(-1|-7|18). Liegt der Punkt P P auf der Strecke [AB][AB]?

Erstelle die Geradengleichung gABg_{AB}:

gAB:X=OA+rABg_{AB}: \vec X=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AB}

gAB:X=(223)+r((114)(223))=(223)+r(137)g_{AB}: \vec X=\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}+r\cdot\left(\begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\-3\\7\end{pmatrix}

Führe eine Punktprobe durch. Setze für X\vec X den Vektor OP\overrightarrow{OP} ein:

(1718)=(223)+r(137)    (3921)=r(137)\begin{pmatrix}-1\\-7\\18\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\-3\\7\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}-3\\-9\\21\end{pmatrix}=r\cdot\begin{pmatrix}-1\\-3\\7\end{pmatrix}

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten erhalten.

(I)      3=r          r=3\mathrm{(I)}\;\;\; -3=-r\;\;\;\;\Rightarrow\;r=3

(II)    9=3r      r=3\mathrm{(II)}\;\; -9=-3r\;\;\Rightarrow\;r=3

(III)      21=7r            r=3\mathrm{(III)}\;\;\;21=7r\;\;\;\;\;\Rightarrow\;r=3

Damit hat das Gleichungssystem die Lösung r=3r=3. Bedingung I.  PgAB\mathrm{I.}\;P \in g_{AB} ist erfüllt.

Der Parameter rr hat aber den Wert r=3r=3, d.h. der Parameter erfüllt nicht die Bedingung II.  0r1\mathrm{II.}\;0\leq r\leq 1.

Da nicht beide Bedingungen erfüllt sind:    P[AB]\;\Rightarrow\;P\notin[AB]

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