Lagebeziehung Punkt-Strecke (Inzidenz)

In der analytischen Geometrie wird eine Strecke im Raum zwischen den Punkten $A$ und $B$ durch eine Vektorgleichung dargestellt.

Die Gerade durch die beiden Punkte $A$ und $B$ ist die Punktmenge

\displaystyle g_{AB}:\vec{X}=\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}.

Durchläuft der Parameter $r$ alle Zahlen von $0$ bis $1$ , so durchläuft der zum Ortsvektor $\vec X$ gehörende Punkt $X$ die Strecke $[A B]$ . Für $r = 0$ liegt der Punkt $X$ auf dem Eckpunkt $A$ der Strecke und für $r = 1$ liegt der Punkt $X$ auf dem Eckpunkt $B$ der Strecke.

Unter welchen Bedingungen liegt ein beliebiger Punkt $P$ auf der Strecke $[A B]$ ?

Der Punkt $P$ liegt dann auf der Strecke $[A B]$ , wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.

$\mathrm{I.}\;P \in g_{AB}$ (der Punkt $P$ liegt für einen Parameterwert $r$ auf der Geraden $g_{AB}$ ).

$\mathrm{II.}\;0\leq r\leq 1$ (der unter $\mathrm{I.}$ berechnete Parameterwert $r$ muss größer gleich 0 und kleiner gleich $1$ sein).

Anmerkung: Die obigen Ausführungen gelten entsprechend auch im $\mathbb{R}^2$ .

Vorgehensweise

Vorgehen

Gegeben ist eine Strecke $[A B]$ durch die beiden Punkte $A$ und $B$ und ein beliebiger Punkt $P$ . Erstelle die Geradengleichung $g_{AB}$ :

\displaystyle g_{AB}:\vec{X}=\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}

Führe eine Punktprobe durch. Setze für $\vec X$ den Vektor $\overrightarrow{OP}$ ein:

\displaystyle \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}

Löse das Gleichungssystem.

Fall 1: Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. es gibt einen Wert für den Parameter $r$ . Dann ist die Bedingung $\mathrm{I.}\;P\in g_{AB}$ ist erfüllt, der Punkt $P$ liegt der Geraden $g_{AB}$ .
Fall 1 a): Der berechnete Parameterwert erfüllt auch die oben genannte Bedingung $\mathrm{II.}$ Dann liegt der Punkt $P$ auf der Strecke, $P \in [AB]$ .
Fall 1 b): Die Bedingung $\mathrm{II.}$ ist nicht erfüllt. Dann liegt der Punkt zwar auf der Geraden durch $A$ und $B$ , aber nicht auf der Strecke.
Fall 2: Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Dann liegt der Punkt $P$ nicht der Geraden $g_{AB}$ und auch nicht auf der Strecke, $P\notin[AB]$ .

Beispiel $P\in[AB]$ (der Punkt $P$ liegt auf der Strecke $[A B]$ )

Gegeben sind die Strecke $[A B]$ mit $A (1 ∣ 2 ∣ 3)$ und $B (2 ∣ 2 ∣ 4)$ und der Punkt $P (1,5 ∣ 2 ∣ 3,5)$ . Liegt der Punkt $P$ auf der Strecke $[A B]$ ?

Erstelle die Geradengleichung $g_{AB}$ :

$g_{AB}: \vec X=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AB}$

$g_{AB}: \vec X=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+r\cdot\left(\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$

Führe eine Punktprobe durch. Setze für $\vec X$ den Vektor $\overrightarrow{OP}$ ein:

$\begin{pmatrix}1{,}5\\2\\3{,}5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}0{,}5\\0\\0{,}5\end{pmatrix}=r\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten erhalten.

$\mathrm{(I)}\;\;\; 0{,}5=r$

$\mathrm{(II)}\;\;\;\;\; 0=0$ Diese Gleichung ist eine wahre Aussage.

$\mathrm{(III)}\; 0{,}5=r$

Damit hat das Gleichungssystem die Lösung $r = 0,5$ . Die Bedingung $\mathrm{I.}\;P \in g_{AB}$ ist erfüllt.

Der Parameter $r$ hat den Wert $r = 0,5$ . d.h. der Parameter erfüllt auch die Bedingung $\mathrm{II.}\;0\leq r\leq 1$ .

Beide Bedingungen sind erfüllt: $\;\Rightarrow\;P\in[AB]$

Beispiel $P\notin[AB]$ (der Punkt $P$ liegt nicht auf der Strecke $[A B]$ )

Gegeben sind die Strecke $[A B]$ mit $A(2\left|2|-3)\right|$ und $B (1 ∣ - 1 ∣ 4)$ und der Punkt $P (- 1 ∣ - 7 ∣ 18)$ . Liegt der Punkt $P$ auf der Strecke $[A B]$ ?

Erstelle die Geradengleichung $g_{AB}$ :

$g_{AB}: \vec X=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AB}$

$g_{AB}: \vec X=\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}+r\cdot\left(\begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\-3\\7\end{pmatrix}$

Führe eine Punktprobe durch. Setze für $\vec X$ den Vektor $\overrightarrow{OP}$ ein:

$\begin{pmatrix}-1\\-7\\18\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\-3\\7\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}-3\\-9\\21\end{pmatrix}=r\cdot\begin{pmatrix}-1\\-3\\7\end{pmatrix}$

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten erhalten.

$\mathrm{(I)}\;\;\; -3=-r\;\;\;\;\Rightarrow\;r=3$

$\mathrm{(II)}\;\; -9=-3r\;\;\Rightarrow\;r=3$

$\mathrm{(III)}\;\;\;21=7r\;\;\;\;\;\Rightarrow\;r=3$

Damit hat das Gleichungssystem die Lösung $r = 3$ . Bedingung $\mathrm{I.}\;P \in g_{AB}$ ist erfüllt.

Der Parameter $r$ hat aber den Wert $r = 3$ , d.h. der Parameter erfüllt nicht die Bedingung $\mathrm{II.}\;0\leq r\leq 1$ .

Da nicht beide Bedingungen erfüllt sind: $\;\Rightarrow\;P\notin[AB]$

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Beispiel P∈[AB]P\in[AB]P∈[AB] (der Punkt PPP liegt auf der Strecke [AB][AB][AB])

Beispiel P∉[AB]P\notin[AB]P∈/[AB] (der Punkt PPP liegt nicht auf der Strecke [AB][AB][AB])

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Beispiel $P\in[AB]$ (der Punkt $P$ liegt auf der Strecke $[A B]$ )

Beispiel $P\notin[AB]$ (der Punkt $P$ liegt nicht auf der Strecke $[A B]$ )