Lagebeziehung Punkt-Strecke (Inzidenz)

Vorgehensweise

• Fall 1: Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. es gibt einen Wert für den Parameter $r$. Dann ist die Bedingung $\mathrm{I.}\;P\in g_{AB}$ ist erfüllt, der Punkt $P$ liegt der Geraden $g_{AB}$.

• Fall 1 a): Der berechnete Parameterwert erfüllt auch die oben genannte Bedingung $\mathrm{II.}$ Dann liegt der Punkt $P$auf der Strecke, $P \in [AB]$.

• Fall 1 b): Die Bedingung $\mathrm{II.}$ ist nicht erfüllt. Dann liegt der Punkt zwar auf der Geraden durch $A$ und $B$, aber nicht auf der Strecke.

• Fall 2: Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Dann liegt der Punkt $P$ nicht der Geraden $g_{AB}$ und auch nicht auf der Strecke, $P\notin[AB]$.

Beispiel $P\in[AB]$ (der Punkt $P$ liegt auf der Strecke $[AB]$)

Gegeben sind die Strecke $[AB]$ mit $A(1|2|3)$ und $B(2|2|4)$ und der Punkt $P(1{,}5|2|3{,}5)$. Liegt der Punkt $P$ auf der Strecke $[AB]$?

Erstelle die Geradengleichung $g_{AB}$:

$g_{AB}: \vec X=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AB}$

$g_{AB}: \vec X=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+r\cdot\left(\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$

Führe eine Punktprobe durch. Setze für $\vec X$ den Vektor $\overrightarrow{OP}$ ein:

$\begin{pmatrix}1{,}5\\2\\3{,}5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}0{,}5\\0\\0{,}5\end{pmatrix}=r\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten erhalten.

$\mathrm{(I)}\;\;\; 0{,}5=r$

$\mathrm{(II)}\;\;\;\;\; 0=0$ Diese Gleichung ist eine wahre Aussage.

$\mathrm{(III)}\; 0{,}5=r$

Damit hat das Gleichungssystem die Lösung $r=0{,}5$. Die Bedingung $\mathrm{I.}\;P \in g_{AB}$ ist erfüllt.

Der Parameter $r$ hat den Wert $r=0{,}5$. d.h. der Parameter erfüllt auch die Bedingung $\mathrm{II.}\;0\leq r\leq 1$.

Beide Bedingungen sind erfüllt:$\;\Rightarrow\;P\in[AB]$

Beispiel $P\notin[AB]$ (der Punkt $P$ liegt nicht auf der Strecke $[AB]$)

Gegeben sind die Strecke $[AB]$ mit $A(2\left|2|-3)\right|$ und $B(1|-1|4)$ und der Punkt $P(-1|-7|18)$. Liegt der Punkt $P$ auf der Strecke $[AB]$?

Erstelle die Geradengleichung $g_{AB}$:

$g_{AB}: \vec X=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AB}$

$g_{AB}: \vec X=\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}+r\cdot\left(\begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\-3\\7\end{pmatrix}$

Führe eine Punktprobe durch. Setze für $\vec X$ den Vektor $\overrightarrow{OP}$ ein:

$\begin{pmatrix}-1\\-7\\18\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\-3\\7\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}-3\\-9\\21\end{pmatrix}=r\cdot\begin{pmatrix}-1\\-3\\7\end{pmatrix}$

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten erhalten.

$\mathrm{(I)}\;\;\; -3=-r\;\;\;\;\Rightarrow\;r=3$

$\mathrm{(II)}\;\; -9=-3r\;\;\Rightarrow\;r=3$

$\mathrm{(III)}\;\;\;21=7r\;\;\;\;\;\Rightarrow\;r=3$

Damit hat das Gleichungssystem die Lösung $r=3$. Bedingung $\mathrm{I.}\;P \in g_{AB}$ ist erfüllt.

Der Parameter $r$ hat aber den Wert $r=3$, d.h. der Parameter erfüllt nicht die Bedingung $\mathrm{II.}\;0\leq r\leq 1$.

Da nicht beide Bedingungen erfüllt sind:$\;\Rightarrow\;P\notin[AB]$