Lagebeziehung Punkt-Dreieck (Inzidenz)

Vorgehensweise

Von einem Dreieck sind die Punkte $A$, $B$ und $C$ gegeben und ein weiterer Punkt $P$. Erstelle mit den $3$ Punkten die Parameterform der Ebenengleichung.

Führe eine Punktprobe durch:

Setze für $\overrightarrow{X}$ den Vektor $\overrightarrow{OP}$ ein:

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

• Fall 1: Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. es gibt Werte für die Parameter $r$ und $s$. Dann ist die Bedingung $\mathrm{I}.P\in E_{ABC}$ ist erfüllt, der Punkt $P$ liegt in der Ebene $E_{ABC}$.

• Fall 1 a): Die berechneten Parameterwerte erfüllen auch die oben genannten Bedingungen $\mathrm{I}\mathrm{I}.$ und $\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}.$ Dann liegt der Punkt $P$ im Dreieck.

• Fall 1 b): Eine (oder beide) der Bedingungen $\mathrm{I}\mathrm{I}.$ oder $\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}.$ ist nicht erfüllt. Dann liegt der Punkt zwar in der Ebene durch $A$, $B$ und $C$, aber nicht im Dreieck.

• Fall 2: Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Dann liegt der Punkt $P$ nicht in der Ebene $E_{ABC}$ und auch nicht im Dreieck.

Beispiel der Punkt P liegt im Dreieck

Gegeben sind die Punkte $A(1|2|2)$, $B(3|1|4)$ und $C(-2|1|1)$ und der Punkt $P(0|\frac{5}{4}|2)$. Liegt der Punkt $P$ in dem Dreieck $ABC$?

Erstelle mit den $3$ Punkten die Parameterform der Ebenengleichung.

$E_{ABC}:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ -1\end{array}\right)$

Führe eine Punktprobe durch. Setze für $\overrightarrow{X}$ den Vektor $\overrightarrow{OP}$ ein:

$\left(\begin{array}{c}0\\ \frac{5}{4}\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ -1\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{c}-1\\ -\frac{3}{4}\\ 0\end{array}\right)=r\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ -1\end{array}\right)$

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

$\begin{array}{rrrrrcrr}& (\mathrm{I}):& & -1& =& 2\cdot r& -& 3\cdot s\\ & (\mathrm{I}\mathrm{I}):& & -\frac{3}{4}& =& -1\cdot r& -& 1\cdot s\\ & (\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}):& & 0& =& 2\cdot r& -& 1\cdot s\end{array}$

Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.

Rechne z.B. $(\mathrm{I})-(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}):-1=-2s\Rightarrow s={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Aus Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})$folgt: $0=2\cdot r-{\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow r={\displaystyle \frac{1}{4}}$

Probe in Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I}):-{\displaystyle \frac{3}{4}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}=-{\displaystyle \frac{3}{4}}✓$

Du hast bei der Lösung des Gleichungssystems die Werte $r={\displaystyle \frac{1}{4}}$ und $s={\displaystyle \frac{1}{2}}$ erhalten.

Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. die Bedingung $\mathrm{I}.P\in E_{ABC}$ ist erfüllt. Der Punkt $P$ liegt in der Ebene $E_{ABC}$. Die beiden Parameter müssen die Bedingungen $\mathrm{I}\mathrm{I}.$ und $\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}.$ erfüllen, damit der Punkt $P$ im Dreieck liegt.

Die Bedingung $\mathrm{I}\mathrm{I}.$ ist erfüllt. Beide Parameterwerte sind größer gleich $0$ und kleiner gleich $1$.

Die Bedingung $\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}.$ ist auch erfüllt.

Ergebnis: Der Punkt $P$ liegt im Dreieck.

Beispiel der Punkt P liegt nicht im Dreieck

Gegeben sind die Punkte $A(1|2|2)$, $B(3|1|4)$ und $C(-2|1|1)$ und der Punkt $P(-\frac{1}{4}|\frac{3}{4}|\frac{9}{4})$. Liegt der Punkt $P$ in dem Dreieck $ABC$?

Erstelle mit diesen $3$ Punkten die Parameterform der Ebenengleichung.

Führe eine Punktprobe durch. Setze für $\overrightarrow{X}$ den Vektor $\overrightarrow{OP}$ ein:

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

$\begin{array}{rrrrrcrr}& (\mathrm{I}):& & -\frac{5}{4}& =& 2\cdot r& -& 3\cdot s\\ & (\mathrm{I}\mathrm{I}):& & -\frac{5}{4}& =& -1\cdot r& -& 1\cdot s\\ & (\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}):& & \frac{1}{4}& =& 2\cdot r& -& 1\cdot s\end{array}$

Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.

Rechne z.B. $(\mathrm{I})-(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}):-{\displaystyle \frac{6}{4}}=-2s\Rightarrow s={\displaystyle \frac{3}{4}}$

Aus Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})$folgt: ${\displaystyle \frac{1}{4}}=2\cdot r-{\displaystyle \frac{3}{4}}\Rightarrow r={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Probe in Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I}):-{\displaystyle \frac{5}{4}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{4}}=-{\displaystyle \frac{5}{4}}✓$

Du hast bei der Lösung des Gleichungssystems die Werte $r={\displaystyle \frac{1}{2}}$ und $s={\displaystyle \frac{3}{4}}$ erhalten.

Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. die Bedingung $\mathrm{I}.P\in E_{ABC}$ ist erfüllt. Der Punkt $P$ liegt in der Ebene $E_{ABC}$. Die beiden Parameter müssen die Bedingungen $\mathrm{I}\mathrm{I}.$ und $\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}.$ erfüllen, damit der Punkt $P$ im Dreieck liegt.

Die Bedingung $\mathrm{I}\mathrm{I}.$ ist erfüllt. Beide Parameterwerte sind größer gleich $0$ und kleiner gleich $1$.

Die Bedingung $\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}.$ ist nicht erfüllt.

und somit ist $\frac{5}{4}\ge 1$.

Ergebnis: Der Punkt $P$ liegt zwar in der Ebene $E_{ABC}$, in der sich das Dreieck befindet, aber nicht im Dreieck.