Lagebeziehung Punkt-Dreieck (Inzidenz)

Vorgehensweise

Von einem Dreieck sind die Punkte $A$, $B$ und $C$ gegeben und ein weiterer Punkt $P$. Erstelle mit den $3$ Punkten die Parameterform der Ebenengleichung.

Führe eine Punktprobe durch:

Setze für $\vec X$ den Vektor $\overrightarrow{OP}$ ein:

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

• Fall 1: Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. es gibt Werte für die Parameter $r$ und $s$. Dann ist die Bedingung $\mathrm{I.}\;P\in E_{ABC}$ ist erfüllt, der Punkt $P$ liegt in der Ebene $E_{ABC}$.

• Fall 1 a): Die berechneten Parameterwerte erfüllen auch die oben genannten Bedingungen $\mathrm{II.}$ und $\mathrm{III.}$ Dann liegt der Punkt $P$ im Dreieck.

• Fall 1 b): Eine (oder beide) der Bedingungen $\mathrm{II.}$ oder $\mathrm{III.}$ ist nicht erfüllt. Dann liegt der Punkt zwar in der Ebene durch $A$, $B$ und $C$, aber nicht im Dreieck.

• Fall 2: Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Dann liegt der Punkt $P$ nicht in der Ebene $E_{ABC}$ und auch nicht im Dreieck.

Beispiel der Punkt P liegt im Dreieck

Gegeben sind die Punkte $A(1|2|2)$, $B(3|1|4)$ und $C(-2|1|1)$ und der Punkt $P(0|\frac{5}{4}|2)$. Liegt der Punkt $P$ in dem Dreieck $ABC$?

Erstelle mit den $3$ Punkten die Parameterform der Ebenengleichung.

$E_{ABC}:\;\vec X=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$

Führe eine Punktprobe durch. Setze für $\vec X$ den Vektor $\overrightarrow{OP}$ ein:

$\begin{pmatrix}0 \\ \frac{5}{4} \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}-1 \\ -\frac{3}{4} \\ 0 \end{pmatrix}=r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrcrr}&\mathrm{(I)}:&\;\;&-1&=&2\cdot r&-&3\cdot s\\&\mathrm{(II)}:& &-\frac{3}{4}&=&-1\cdot r&-&1 \cdot s\\&\mathrm{(III)}:& &0&=&2\cdot r&-&1 \cdot s\end{array}$

Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.

Rechne z.B. $\mathrm{(I)}-\mathrm{(III)}:\;-1=-2s\;\Rightarrow\;s=\dfrac{1}{2}$

Aus Gleichung $\mathrm{(III)}\;$folgt: $0=2\cdot r-\dfrac{1}{2}\;\Rightarrow\;r=\dfrac{1}{4}$

Probe in Gleichung $\mathrm{(II)}:\;-\dfrac{3}{4}=-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{3}{4}\;\checkmark$

Du hast bei der Lösung des Gleichungssystems die Werte $r=\dfrac{1}{4}$ und $s=\dfrac{1}{2}$ erhalten.

Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. die Bedingung $\mathrm{I.}\;P\in E_{ABC}$ ist erfüllt. Der Punkt $P$ liegt in der Ebene $E_{ABC}$. Die beiden Parameter müssen die Bedingungen $\mathrm{II.}$ und $\mathrm{III.}$ erfüllen, damit der Punkt $P$ im Dreieck liegt.

Die Bedingung $\mathrm{II.}$ ist erfüllt. Beide Parameterwerte sind größer gleich $0$ und kleiner gleich $1$.

Die Bedingung $\mathrm{III.}$ ist auch erfüllt.

Ergebnis: Der Punkt $P$ liegt im Dreieck.

Beispiel der Punkt P liegt nicht im Dreieck

Gegeben sind die Punkte $A(1|2|2)$, $B(3|1|4)$ und $C(-2|1|1)$ und der Punkt $P(-\frac{1}{4}|\frac{3}{4}|\frac{9}{4})$. Liegt der Punkt $P$ in dem Dreieck $ABC$?

Erstelle mit diesen $3$ Punkten die Parameterform der Ebenengleichung.

Führe eine Punktprobe durch. Setze für $\vec X$ den Vektor $\overrightarrow{OP}$ ein:

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrcrr}&\mathrm{(I)}:&\;\;&-\frac{5}{4}&=&2\cdot r&-&3\cdot s\\&\mathrm{(II)}:& &-\frac{5}{4}&=&-1\cdot r&-&1 \cdot s\\&\mathrm{(III)}:& &\frac{1}{4}&=&2\cdot r&-&1 \cdot s\end{array}$

Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.

Rechne z.B. $\mathrm{(I)}-\mathrm{(III)}:\;-\dfrac{6}{4}=-2s\;\Rightarrow\;s=\dfrac{3}{4}$

Aus Gleichung $\mathrm{(III)}\;$folgt: $\dfrac{1}{4}=2\cdot r-\dfrac{3}{4}\;\Rightarrow\;r=\dfrac{1}{2}$

Probe in Gleichung $\mathrm{(II)}:\;-\dfrac{5}{4}=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{4}=-\dfrac{5}{4}\;\checkmark$

Du hast bei der Lösung des Gleichungssystems die Werte $r=\dfrac{1}{2}$ und $s=\dfrac{3}{4}$ erhalten.

Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. die Bedingung $\mathrm{I.}\;P\in E_{ABC}$ ist erfüllt. Der Punkt $P$ liegt in der Ebene $E_{ABC}$. Die beiden Parameter müssen die Bedingungen $\mathrm{II.}$ und $\mathrm{III.}$ erfüllen, damit der Punkt $P$ im Dreieck liegt.

Die Bedingung $\mathrm{II.}$ ist erfüllt. Beide Parameterwerte sind größer gleich $0$ und kleiner gleich $1$.

Die Bedingung $\mathrm{III.}$ ist nicht erfüllt.

und somit ist $\frac{5}{4}\ge1$.

Ergebnis: Der Punkt $P$ liegt zwar in der Ebene $E_{ABC}$, in der sich das Dreieck befindet, aber nicht im Dreieck.