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Lagebeziehung Punkt-Dreieck (Inzidenz)

Aus drei Punkten A, B und C, die nicht auf einer Geraden liegen, kann ein Dreieck im Raum gebildet werden.

Die drei Punkte liegen in einer Ebene EABC.

EABC:X=OA+rAB+sAC

Wann liegt ein beliebiger Punkt P im Dreieck?

Der Punkt P liegt dann im Dreieck, wenn drei Bedingungen erfüllt sind:

I.PEABC

II.0r,s1

III.0r+s1

Punkt im Dreieck

Vorgehensweise

Von einem Dreieck sind die Punkte A, B und C gegeben und ein weiterer Punkt P. Erstelle mit den 3 Punkten die Parameterform der Ebenengleichung.

EABC:X=OA+rAB+sAC

Führe eine Punktprobe durch:

Setze für X den Vektor OP ein:

OP=OA+rAB+sAC

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

  • Fall 1: Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. es gibt Werte für die Parameter r und s. Dann ist die Bedingung I.PEABC ist erfüllt, der Punkt P liegt in der Ebene EABC.

  • Fall 1 a): Die berechneten Parameterwerte erfüllen auch die oben genannten Bedingungen II. und III. Dann liegt der Punkt P im Dreieck.

  • Fall 1 b): Eine (oder beide) der Bedingungen II. oder III. ist nicht erfüllt. Dann liegt der Punkt zwar in der Ebene durch A, B und C, aber nicht im Dreieck.

  • Fall 2: Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Dann liegt der Punkt P nicht in der Ebene EABC und auch nicht im Dreieck.

Beispiel der Punkt P liegt im Dreieck

Gegeben sind die Punkte A(1|2|2), B(3|1|4) und C(2|1|1) und der Punkt P(0|54|2). Liegt der Punkt P in dem Dreieck ABC?

Erstelle mit den 3 Punkten die Parameterform der Ebenengleichung.

EABC:X=(122)+r(212)+s(311)

Führe eine Punktprobe durch. Setze für X den Vektor OP ein:

(0542)=(122)+r(212)+s(311)(1340)=r(212)+s(311)

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

(I):1=2r3s(II):34=1r1s(III):0=2r1s

Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.

Rechne z.B. (I)(III):1=2ss=12

Aus Gleichung (III)folgt: 0=2r12r=14

Probe in Gleichung (II):34=1412=34

Du hast bei der Lösung des Gleichungssystems die Werte r=14 und s=12 erhalten.

Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. die Bedingung I.PEABC ist erfüllt. Der Punkt P liegt in der Ebene EABC. Die beiden Parameter müssen die Bedingungen II. und III. erfüllen, damit der Punkt P im Dreieck liegt.

II.0r,s1

Die Bedingung II. ist erfüllt. Beide Parameterwerte sind größer gleich 0 und kleiner gleich 1.

Die Bedingung III. ist auch erfüllt.

III.014+1210341

Ergebnis: Der Punkt P liegt im Dreieck.

Beispiel der Punkt P liegt nicht im Dreieck

Gegeben sind die Punkte A(1|2|2), B(3|1|4) und C(2|1|1) und der Punkt P(14|34|94). Liegt der Punkt P in dem Dreieck ABC?

Erstelle mit diesen 3 Punkten die Parameterform der Ebenengleichung.

EABC:X=(122)+r(212)+s(311)

Führe eine Punktprobe durch. Setze für X den Vektor OP ein:

(143494)=(122)+r(212)+s(311)(545414)=r(212)+s(311)

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

(I):54=2r3s(II):54=1r1s(III):14=2r1s

Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.

Rechne z.B. (I)(III):64=2ss=34

Aus Gleichung (III)folgt: 14=2r34r=12

Probe in Gleichung (II):54=1234=54

Du hast bei der Lösung des Gleichungssystems die Werte r=12 und s=34 erhalten.

Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. die Bedingung I.PEABC ist erfüllt. Der Punkt P liegt in der Ebene EABC. Die beiden Parameter müssen die Bedingungen II. und III. erfüllen, damit der Punkt P im Dreieck liegt.

II.0r,s1

Die Bedingung II. ist erfüllt. Beide Parameterwerte sind größer gleich 0 und kleiner gleich 1.

Die Bedingung III. ist nicht erfüllt.

III.012+341r+s=54

und somit ist 541.

Ergebnis: Der Punkt P liegt zwar in der Ebene EABC, in der sich das Dreieck befindet, aber nicht im Dreieck.

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