Aus drei Punkten A, B und C, die nicht auf einer Geraden liegen, kann ein Dreieck im Raum gebildet werden.
Die drei Punkte liegen in einer Ebene EABC.
EABC:X=OA+r⋅AB+s⋅AC
Wann liegt ein beliebiger Punkt P im Dreieck?
Der Punkt P liegt dann im Dreieck, wenn drei Bedingungen erfüllt sind:
I.P∈EABC
II.0≤r,s≤1
III.0≤r+s≤1
Vorgehensweise
Von einem Dreieck sind die Punkte A, B und C gegeben und ein weiterer Punkt P. Erstelle mit den 3 Punkten die Parameterform der Ebenengleichung.
Führe eine Punktprobe durch:
Setze für X den Vektor OP ein:
Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.
Fall 1: Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. es gibt Werte für die Parameter r und s. Dann ist die Bedingung I.P∈EABC ist erfüllt, der Punkt P liegt in der Ebene EABC.
Fall 1 a): Die berechneten Parameterwerte erfüllen auch die oben genannten Bedingungen II. und III. Dann liegt der Punkt P im Dreieck.
Fall 1 b): Eine (oder beide) der Bedingungen II. oder III. ist nicht erfüllt. Dann liegt der Punkt zwar in der Ebene durch A, B und C, aber nicht im Dreieck.
Fall 2: Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Dann liegt der Punkt P nicht in der Ebene EABC und auch nicht im Dreieck.
Beispiel der Punkt P liegt im Dreieck
Gegeben sind die Punkte A(1∣2∣2), B(3∣1∣4) und C(−2∣1∣1) und der Punkt P(0∣45∣2). Liegt der Punkt P in dem Dreieck ABC?
Erstelle mit den 3 Punkten die Parameterform der Ebenengleichung.
EABC:X=122+r⋅2−12+s⋅−3−1−1
Führe eine Punktprobe durch. Setze für X den Vektor OP ein:
Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.
Rechne z.B. (I)−(III):−1=−2s⇒s=21
Aus Gleichung (III)folgt: 0=2⋅r−21⇒r=41
Probe in Gleichung (II):−43=−41−21=−43✓
Du hast bei der Lösung des Gleichungssystems die Werte r=41 und s=21 erhalten.
Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. die Bedingung I.P∈EABC ist erfüllt. Der Punkt P liegt in der Ebene EABC. Die beiden Parameter müssen die Bedingungen II. und III. erfüllen, damit der Punkt P im Dreieck liegt.
Die Bedingung II. ist erfüllt. Beide Parameterwerte sind größer gleich 0 und kleiner gleich 1.
Die Bedingung III. ist auch erfüllt.
Ergebnis: Der Punkt P liegt im Dreieck.
Beispiel der Punkt P liegt nicht im Dreieck
Gegeben sind die Punkte A(1∣2∣2), B(3∣1∣4) und C(−2∣1∣1) und der Punkt P(−41∣43∣49). Liegt der Punkt P in dem Dreieck ABC?
Erstelle mit diesen 3 Punkten die Parameterform der Ebenengleichung.
Führe eine Punktprobe durch. Setze für X den Vektor OP ein:
Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.
Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.
Rechne z.B. (I)−(III):−46=−2s⇒s=43
Aus Gleichung (III)folgt: 41=2⋅r−43⇒r=21
Probe in Gleichung (II):−45=−21−43=−45✓
Du hast bei der Lösung des Gleichungssystems die Werte r=21 und s=43 erhalten.
Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. die Bedingung I.P∈EABC ist erfüllt. Der Punkt P liegt in der Ebene EABC. Die beiden Parameter müssen die Bedingungen II. und III. erfüllen, damit der Punkt P im Dreieck liegt.
Die Bedingung II. ist erfüllt. Beide Parameterwerte sind größer gleich 0 und kleiner gleich 1.
Die Bedingung III. ist nicht erfüllt.
und somit ist 45≥1.
Ergebnis: Der Punkt P liegt zwar in der Ebene EABC, in der sich das Dreieck befindet, aber nicht im Dreieck.
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