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Lagebeziehung Punkt-Dreieck (Inzidenz)

Punkt im Dreieck

Aus drei Punkten AA, BB und CC, die nicht auf einer Geraden liegen, kann ein Dreieck im Raum gebildet werden.

Die drei Punkte liegen in einer Ebene EABCE_{ABC}.

EABC:  X=OA+rAB+sACE_{ABC}:\;\vec X=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AB} +s\cdot \overrightarrow{AC}

Wann liegt ein beliebiger Punkt PP im Dreieck?

Der Punkt PP liegt dann im Dreieck, wenn drei Bedingungen erfüllt sind:

I.    PEABC\mathrm{I.}\;\;P\in E_{ABC}

II.    0r,s1\mathrm{II.}\;\;0\leq r,s\leq 1

III.  0r+s1\mathrm{III.}\;0\leq r+s\leq 1

Vorgehensweise

Von einem Dreieck sind die Punkte AA, BB und CC gegeben und ein weiterer Punkt PP. Erstelle mit den 33 Punkten die Parameterform der Ebenengleichung.

Führe eine Punktprobe durch:

Setze für X\vec X den Vektor OP\overrightarrow{OP} ein:

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

  • Fall 1: Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. es gibt Werte für die Parameter rr und ss. Dann ist die Bedingung I.  PEABC\mathrm{I.}\;P\in E_{ABC} ist erfüllt, der Punkt PP liegt in der Ebene EABCE_{ABC}.

  • Fall 1 a): Die berechneten Parameterwerte erfüllen auch die oben genannten Bedingungen II.\mathrm{II.} und III.\mathrm{III.} Dann liegt der Punkt PP im Dreieck.

  • Fall 1 b): Eine (oder beide) der Bedingungen II.\mathrm{II.} oder III.\mathrm{III.} ist nicht erfüllt. Dann liegt der Punkt zwar in der Ebene durch AA, BB und CC, aber nicht im Dreieck.

  • Fall 2: Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Dann liegt der Punkt PP nicht in der Ebene EABCE_{ABC} und auch nicht im Dreieck.

Beispiel der Punkt P liegt im Dreieck

Gegeben sind die Punkte A(122)A(1|2|2), B(314)B(3|1|4) und C(211)C(-2|1|1) und der Punkt P(0542)P(0|\frac{5}{4}|2). Liegt der Punkt PP in dem Dreieck ABCABC?

Erstelle mit den 33 Punkten die Parameterform der Ebenengleichung.

EABC:  X=(122)+r(212)+s(311)E_{ABC}:\;\vec X=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}

Führe eine Punktprobe durch. Setze für X\vec X den Vektor OP\overrightarrow{OP} ein:

(0542)=(122)+r(212)+s(311)    (1340)=r(212)+s(311)\begin{pmatrix}0 \\ \frac{5}{4} \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}-1 \\ -\frac{3}{4} \\ 0 \end{pmatrix}=r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

(I):    1=2r3s(II):34=1r1s(III):0=2r1s\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrcrr}&\mathrm{(I)}:&\;\;&-1&=&2\cdot r&-&3\cdot s\\&\mathrm{(II)}:& &-\frac{3}{4}&=&-1\cdot r&-&1 \cdot s\\&\mathrm{(III)}:& &0&=&2\cdot r&-&1 \cdot s\end{array}

Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.

Rechne z.B. (I)(III):  1=2s    s=12 \mathrm{(I)}-\mathrm{(III)}:\;-1=-2s\;\Rightarrow\;s=\dfrac{1}{2}

Aus Gleichung (III)  \mathrm{(III)}\;folgt: 0=2r12    r=14 0=2\cdot r-\dfrac{1}{2}\;\Rightarrow\;r=\dfrac{1}{4}

Probe in Gleichung (II):  34=1412=34   \mathrm{(II)}:\;-\dfrac{3}{4}=-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{3}{4}\;\checkmark

Du hast bei der Lösung des Gleichungssystems die Werte r=14r=\dfrac{1}{4} und s=12s=\dfrac{1}{2} erhalten.

Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. die Bedingung I.  PEABC\mathrm{I.}\;P\in E_{ABC} ist erfüllt. Der Punkt PP liegt in der Ebene EABCE_{ABC}. Die beiden Parameter müssen die Bedingungen II.\mathrm{II.} und III.\mathrm{III.} erfüllen, damit der Punkt PP im Dreieck liegt.

Die Bedingung II. \mathrm{II.} ist erfüllt. Beide Parameterwerte sind größer gleich 00 und kleiner gleich 11.

Die Bedingung III.\mathrm{III.} ist auch erfüllt.

Ergebnis: Der Punkt PP liegt im Dreieck.

Beispiel der Punkt P liegt nicht im Dreieck

Gegeben sind die Punkte A(122)A(1|2|2), B(314)B(3|1|4) und C(211)C(-2|1|1) und der Punkt P(143494)P(-\frac{1}{4}|\frac{3}{4}|\frac{9}{4}). Liegt der Punkt PP in dem Dreieck ABCABC?

Erstelle mit diesen 33 Punkten die Parameterform der Ebenengleichung.

Führe eine Punktprobe durch. Setze für X\vec X den Vektor OP\overrightarrow{OP} ein:

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

(I):    54=2r3s(II):54=1r1s(III):14=2r1s\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrcrr}&\mathrm{(I)}:&\;\;&-\frac{5}{4}&=&2\cdot r&-&3\cdot s\\&\mathrm{(II)}:& &-\frac{5}{4}&=&-1\cdot r&-&1 \cdot s\\&\mathrm{(III)}:& &\frac{1}{4}&=&2\cdot r&-&1 \cdot s\end{array}

Dieses Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Additionsverfahren lösen.

Rechne z.B. (I)(III):  64=2s    s=34 \mathrm{(I)}-\mathrm{(III)}:\;-\dfrac{6}{4}=-2s\;\Rightarrow\;s=\dfrac{3}{4}

Aus Gleichung (III)  \mathrm{(III)}\;folgt: 14=2r34    r=12 \dfrac{1}{4}=2\cdot r-\dfrac{3}{4}\;\Rightarrow\;r=\dfrac{1}{2}

Probe in Gleichung (II):  54=1234=54   \mathrm{(II)}:\;-\dfrac{5}{4}=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{4}=-\dfrac{5}{4}\;\checkmark

Du hast bei der Lösung des Gleichungssystems die Werte r=12r=\dfrac{1}{2} und s=34s=\dfrac{3}{4} erhalten.

Das Gleichungssystem hat eine Lösung, d.h. die Bedingung I.  PEABC\mathrm{I.}\;P\in E_{ABC} ist erfüllt. Der Punkt PP liegt in der Ebene EABCE_{ABC}. Die beiden Parameter müssen die Bedingungen II.\mathrm{II.} und III.\mathrm{III.} erfüllen, damit der Punkt PP im Dreieck liegt.

Die Bedingung II. \mathrm{II.} ist erfüllt. Beide Parameterwerte sind größer gleich 00 und kleiner gleich 11.

Die Bedingung III.\mathrm{III.} ist nicht erfüllt.

und somit ist 541\frac{5}{4}\ge1.

Ergebnis: Der Punkt PP liegt zwar in der Ebene EABCE_{ABC}, in der sich das Dreieck befindet, aber nicht im Dreieck.

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