Aufgaben zur Betragsfunktion - lernen mit Serlo!

Untersuchen einer Betragsfunktion

Gegeben ist die Funktion $f (x) = (3 - | x |) (x + 1)$ .

Untersuche $f$ auf Stetigkeit.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stetigkeit
Beginnen wir mit der Fallunterscheidung.
$x \geq 0$ bedeutet, $x$ nimmt einen positiven Wert an. Der Betrag ist damit überflüssig und der Funktionsterm ergibt sich zu:
$f_{x > 0} (x) = (3 - x) (x + 1) = - x^{2} + 2 x + 3$
$x < 0$ bedeutet, $x$ nimmt einen negativen Wert an. Der Betrag kann dann nur entfernt werden, wenn das Vorzeichen davor wechselt:
$f_{x < 0} (x) = (3 + x) (x + 1) = x^{2} + 4 x + 3$
Auf dem Intervall $(- \infty, 0)$ ist $f_{x < 0}$ eine stetige Polynomfunktion. Auf $(0, \infty)$ ist $f_{x > 0}$ ebenfalls stetig. Die Frage ist, was ist mit der Stelle zwischendrin, $x = 0$ ?
Hierzu betrachte den Grenzwert von links (Welchen Funktionswert hat die Funktion $f_{x < 0}$ in dieser Stelle?):
$\lim_{x < 0} f_{x < 0} (0) = 0^{2} + 4 \cdot 0 + 3 = 3$
Hierzu betrachte den Grenzwert von rechts (Welchen Funktionswert hat die Funktion $f_{x > 0}$ in dieser Stelle?):
$\lim_{x > 0} f_{x > 0} (0) = - 0^{2} + 2 \cdot 0 + 3 = 3$
Der Funktionswert von $f$ ist:
$f (0) = (3 - | 0 |) (0 + 1) = 3$
Alle Werte stimmen überein und die Funktion $f$ ist damit in der Stelle $x = 0$ stetig und sogar insgesamt auf dem ganzen Definitionsbereich.
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Mache eine Fallunterscheidung für $x < 0$ und $x > 0$ , wie sieht der Funktionsterm für diese Abschnitte aus? Für die Stetigkeit müssen rechtsseitige und linksseitige Grenzwerte gleich dem Funktionswert sein. Wie sieht das für die Stelle $x = 0$ aus?
Untersuche $f$ auf Differenzierbarkeit.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Differenzierbarkeit
Aus dem ersten Aufgabenteil werden die Funktionen
$f_{x < 0} (x) = x^{2} + 4 x + 3$

und
$f_{x > 0} (x) = - x^{2} + 2 x + 3$

aufgegriffen. Die Ableitungen ergeben sich zu:
$f_{x < 0}^{'} (x) = 2 x + 4$
$f_{x > 0}^{'} (x) = - 2 x + 2,$
Diese sind differenzierbar auf ihrem Definitionsbereich, der Knackpunkt ist hier also wieder die Stelle $x_{0} = 0$ . Die linksseitige bzw. rechtsseitige Ableitung in $x_{0} = 0$ ergibt sich zu:
$\lim_{x < 0} f_{x < 0}^{'} (0) = \lim_{x < 0} 2 \cdot 0 + 4 = 4$
$\lim_{x > 0} f_{x > 0}^{'} (0) = \lim_{x > 0} - 2 \cdot 0 + 2 = 2$
Diese Werte stimmen nicht überein, womit die Funktion nicht differenzierbar in $x_{0} = 0$ ist.
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In welcher Stelle könnte die Funktion nicht differenzierbar sein? Eine Funktion heißt in einer Stelle $x_{0}$ differenzierbar, wenn ihre linksseitige bzw. rechtsseitige Ableitung gleich ist:
$\lim_{x < 0} f_{x < 0}^{'} (x_{0}) = \lim_{x > 0} f_{x > 0}^{'} (x_{0})$
Berechne die Nullstellen und Extrempunkte der Funktion $f$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Nullstellen
Der Funktionsterm wird $0$ gesetzt: $0 = (3 - | x |) (x + 1)$ , wobei der Term auf der rechten Seite als Produkt formuliert ist. Hier lässt sich direkt der Satz des Nullprodukts anwenden:
$3 - | x | = 0 \Leftrightarrow x_{1 / 2} = \pm 3 x + 1 = 0 \Leftrightarrow x_{3} = - 1$
Das Schaubild der Funktion hat drei Nullstellen $N_{1} (- 3 | 0), N_{2} (- 1 | 0), N_{3} (3 | 0)$ .
Extrema
Die Funktionen $f_{x < 0} (x), f_{x > 0} (x)$ werden jeweils auf Extrema untersucht, indem die Ableitung $0$ gesetzt wird und die hinreichenden Bedingungen (zweite Ableitung) hinzugezogen werden.
$f_{x < 0} (x) :$
$f_{x < 0}^{'} (x) = 2 x + 4$
$0 = 2 x + 4 \Leftrightarrow x = - 2$
Da die zweite Ableitung an jeder Stelle $f_{x < 0}^{''} (x) = 2 > 0$ ist, liegt ein Tiefpunkt an dieser Stelle vor. Dieser besitzt die $y$ -Koordinate:
$f_{x < 0} (- 2) = (- 2)^{2} + 4 \cdot (- 2) + 3 = - 1 \Rightarrow T P (- 2 | - 1)$
Mehr Extrema kann diese Funktion nicht besitzen.
$f_{x > 0} (x) :$
$f_{x > 0}^{'} (x) = - 2 x + 2$
$0 = - 2 x + 2 \Leftrightarrow x = 1$
Da die zweite Ableitung an jeder Stelle $f_{x > 0}^{''} (x) = - 2 < 0$ ist, liegt ein Hochpunkt an dieser Stelle vor. Dieser besitzt die $y$ -Koordinate:
$f_{x > 0} (1) = - 1^{2} + 2 \cdot 1 + 3 = 4 \Rightarrow H P (1 | 4)$
Mehr Extrema kann diese Funktion nicht besitzen.
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Die Funktionen auf den Teilabschnitten $(- \infty, 0)$ und $(0, \infty)$ können einzeln jeweils auf Extrema untersucht werden. Für die Nullstelle lässt sich der Satz des Nullprodukts mit $f$ direkt anwenden.
Skizziere das Schaubild $G_{f}$ .

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Mithilfe des Aufgabenteils (c) können Punkte in das Koordinatensystem übertragen werden, durch die das Schaubild der Funktion verläuft. Hierbei ist darauf zu achten, dass die Kurve in $x_{0} = 0$ einen Knick aufweist, da sie nach Teil (b) nicht differenzierbar ist.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

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