Aufgaben zur Betragsfunktion
Wie gut kennst du dich mit der Betragsfunktion aus? Vertiefe dein Wissen mit diesen gemischten Ăbungsaufgaben!
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Untersuche  auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktion betragsfrei machen
Um den Betrag zu eliminieren muss eine Fallunterscheidung ( fĂŒr x 0 und x < 0 durchgefĂŒhrt werden.
Fall x 0
Da x 0 ist, kann der Betrag weggelassen werden.
â Fall x<0
Da x < 0 ist wird -x fĂŒr eingesetzt.
â FĂŒr x>0 und x<0 ist f(x) stetig.
Untersucht werden muss nur der Fall x=0.
f(0) berechnen mit Fall x 0
AnnÀherung an 0 von links
â Es muss der Term ausgewĂ€hlt werden, der fĂŒr x<0 gilt.
â 0 einsetzen.
AnnÀherung an 0 von rechts
â Es muss der Term ausgewĂ€hlt werden, der fĂŒr x>0 gilt.
â 0 einsetzen.
f ist bei 0 stetig .
Differenzierbarkeit
Es muss eine Fallunterscheidung fĂŒr x durchgefĂŒhrt werden.
Fall: x 0
Siehe Teilaufgabe a.
â Erste Ableitung bilden.
Fall: x<0
Siehe Teilaufgabe a.
â Erste Ableitung bilden.
Das Verhalten der Steigung an der Stelle x=0 muss wegen des Betrages gesondert untersucht werden. Hierzu muss man fĂŒr diesen Punkt die Ableitung durch AnnĂ€herung von links und rechts betrachten.
Bei AnnÀherung von links, muss  betrachtet werden, da x<0.
â Bei AnnĂ€herung von rechts, muss betrachtet werden, da x>0.
Nicht differenzierbar, da
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Bestimme die Nullstellen der Funktion.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Fall: x 0
Betragsfreie Darstellung aus Teilaufgabe a verwenden und gleich 0 setzen.
â Benutze die 3. Binomische Formel um aufzulösen.
â Lies die Nullstellen aus den Linearfaktoren ab.
â Nur ist hier eine gĂŒltige Lösung, da >0.
Fall: x<0
Betragsfreie Darstellung aus Teilaufgabe a verwenden und gleich 0 setzen.
â Benutze die 3. Binomische Formel um aufzulösen.
â Lies die Nullstellen aus den Linearfaktoren ab.
â Nur ist hier eine gĂŒltige Lösung, da <0.
Die Nullstelle der Funktion sind die Nullstellen der beiden FĂ€lle miteinander vereinigt:
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Bestimme die Wendepunkte und Art und Lage der Extrempunkte der Funktion.
Untersuche das Symmetrieverhalten des Graphen.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie von Graphen
â -x fĂŒr x einsetzen.
Achsensymmetrie zur y-Achse
Alle weiteren Informationen findest Du linksoben unter "Was muss ich beachten?"
Hilfe zu den Funktionen des Editors findest Du oben rechts.
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Untersuchen einer Betragsfunktion
Gegeben ist die Funktion .
Untersuche auf Stetigkeit.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stetigkeit
Beginnen wir mit der Fallunterscheidung.
bedeutet, nimmt einen positiven Wert an. Der Betrag ist damit ĂŒberflĂŒssig und der Funktionsterm ergibt sich zu:
bedeutet, nimmt einen negativen Wert an. Der Betrag kann dann nur entfernt werden, wenn das Vorzeichen davor wechselt:
Auf dem Intervall ist eine stetige Polynomfunktion. Auf ist ebenfalls stetig. Die Frage ist, was ist mit der Stelle zwischendrin, ?
Hierzu betrachte den Grenzwert von links (Welchen Funktionswert hat die Funktion in dieser Stelle?):
Hierzu betrachte den Grenzwert von rechts (Welchen Funktionswert hat die Funktion in dieser Stelle?):
Der Funktionswert von ist:
Alle Werte stimmen ĂŒberein und die Funktion ist damit in der Stelle stetig und sogar insgesamt auf dem ganzen Definitionsbereich.
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Mache eine Fallunterscheidung fĂŒr und , wie sieht der Funktionsterm fĂŒr diese Abschnitte aus? FĂŒr die Stetigkeit mĂŒssen rechtsseitige und linksseitige Grenzwerte gleich dem Funktionswert sein. Wie sieht das fĂŒr die Stelle aus?
Untersuche auf Differenzierbarkeit.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Differenzierbarkeit
Aus dem ersten Aufgabenteil werden die Funktionen
und
aufgegriffen. Die Ableitungen ergeben sich zu:
Diese sind differenzierbar auf ihrem Definitionsbereich, der Knackpunkt ist hier also wieder die Stelle . Die linksseitige bzw. rechtsseitige Ableitung in ergibt sich zu:
Diese Werte stimmen nicht ĂŒberein, womit die Funktion nicht differenzierbar in ist.
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In welcher Stelle könnte die Funktion nicht differenzierbar sein? Eine Funktion heiĂt in einer Stelle differenzierbar, wenn ihre linksseitige bzw. rechtsseitige Ableitung gleich ist:
Berechne die Nullstellen und Extrempunkte der Funktion .
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Nullstellen
Der Funktionsterm wird gesetzt: , wobei der Term auf der rechten Seite als Produkt formuliert ist. Hier lÀsst sich direkt der Satz des Nullprodukts anwenden:
Das Schaubild der Funktion hat drei Nullstellen .
Extrema
Die Funktionen werden jeweils auf Extrema untersucht, indem die Ableitung gesetzt wird und die hinreichenden Bedingungen (zweite Ableitung) hinzugezogen werden.
Da die zweite Ableitung an jeder Stelle ist, liegt ein Tiefpunkt an dieser Stelle vor. Dieser besitzt die -Koordinate:
Mehr Extrema kann diese Funktion nicht besitzen.
Da die zweite Ableitung an jeder Stelle ist, liegt ein Hochpunkt an dieser Stelle vor. Dieser besitzt die -Koordinate:
Mehr Extrema kann diese Funktion nicht besitzen.
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Die Funktionen auf den Teilabschnitten und können einzeln jeweils auf Extrema untersucht werden. FĂŒr die Nullstelle lĂ€sst sich der Satz des Nullprodukts mit direkt anwenden.
Skizziere das Schaubild .
Mithilfe des Aufgabenteils (c) können Punkte in das Koordinatensystem ĂŒbertragen werden, durch die das Schaubild der Funktion verlĂ€uft. Hierbei ist darauf zu achten, dass die Kurve in einen Knick aufweist, da sie nach Teil (b) nicht differenzierbar ist.
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CC BY-SA 4.0 â Was bedeutet das?