Beginnen wir mit der Fallunterscheidung.

• $x\ge0$ bedeutet, $x$ nimmt einen positiven Wert an. Der Betrag ist damit überflüssig und der Funktionsterm ergibt sich zu:

• $x<0$ bedeutet, $x$ nimmt einen negativen Wert an. Der Betrag kann dann nur entfernt werden, wenn das Vorzeichen davor wechselt:

Auf dem Intervall $(-\infty,0)$ ist $f_{x<0}$ eine stetige Polynomfunktion. Auf $(0,\infty)$ ist $f_{x>0}$ ebenfalls stetig. Die Frage ist, was ist mit der Stelle zwischendrin, $x=0$?

• Hierzu betrachte den Grenzwert von links (Welchen Funktionswert hat die Funktion $f_{x<0}$ in dieser Stelle?):

• Hierzu betrachte den Grenzwert von rechts (Welchen Funktionswert hat die Funktion $f_{x>0}$ in dieser Stelle?):

• Der Funktionswert von $f$ ist:

Alle Werte stimmen überein und die Funktion $f$ ist damit in der Stelle $x=0$ stetig und sogar insgesamt auf dem ganzen Definitionsbereich.

Aus dem ersten Aufgabenteil werden die Funktionen

und

aufgegriffen. Die Ableitungen ergeben sich zu:

Diese sind differenzierbar auf ihrem Definitionsbereich, der Knackpunkt ist hier also wieder die Stelle $x_0=0$. Die linksseitige bzw. rechtsseitige Ableitung in $x_0=0$ ergibt sich zu:

Diese Werte stimmen nicht überein, womit die Funktion nicht differenzierbar in $x_0=0$ ist.

Nullstellen

Der Funktionsterm wird $0$ gesetzt: $0=\left(3-\left|x\right|\right)\left(x+1\right)$, wobei der Term auf der rechten Seite als Produkt formuliert ist. Hier lässt sich direkt der Satz des Nullprodukts anwenden:

Das Schaubild der Funktion hat drei Nullstellen $N_1(-3|0),N_2(-1|0),N_3(3|0)$.

Extrema

Die Funktionen $f_{x< 0}\left(x\right),~f_{x> 0}\left(x\right)$ werden jeweils auf Extrema untersucht, indem die Ableitung $0$ gesetzt wird und die hinreichenden Bedingungen (zweite Ableitung) hinzugezogen werden.

• $f_{x< 0}(x):$

Da die zweite Ableitung an jeder Stelle $f''_{x<0}(x)=2>0$ ist, liegt ein Tiefpunkt an dieser Stelle vor. Dieser besitzt die $y$-Koordinate:

Mehr Extrema kann diese Funktion nicht besitzen.

• $f_{x> 0}\left(x\right):$

Da die zweite Ableitung an jeder Stelle $f''_{x>0}(x)=-2<0$ ist, liegt ein Hochpunkt an dieser Stelle vor. Dieser besitzt die $y$-Koordinate:

Mehr Extrema kann diese Funktion nicht besitzen.