Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1 - lernen mit Serlo!

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Abbildung 1

Gegeben ist die in $\mathbb R^+$ definierte Funktion

$g: x\mapsto \dfrac{4}{x}$ .

Abbildung $1$ zeigt den Graphen von $g$ .

Berechnen Sie den Wert des Integrals $\displaystyle\int_1^eg(x)\mathrm{d}x$ . (2P)

Ermitteln Sie grafisch diejenige Stelle $x_0\in \mathbb R^+$ , für die gilt: Die lokale Änderungsrate von $g$ an der Stelle $x_0$ stimmt mit der mittleren Änderungsrate von $g$ im Intervall $[1;4]$ überein. (3P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Differenzierbarkeit
Betrachte zunächst die mittlere Änderungsrate von $g(x)$ im Intervall $[1;4]$ .
Die mittlere Änderungsrate im Intervall $[1;4]$ entspricht der Steigung der Geraden (Sekante) zwischen den Funktionswerten am Intervallanfang und am Intervallende.
In der Abbildung ist diese Sekante durch die Punkte $P(1|4)$ und $Q(4|1)$ eingezeichnet.
Betrachte nun die lokale Änderungsrate für die Funktion $g(x)$ an einer Stelle $x_0$ .
Die lokale Änderungsrate von $g(x)$ ist die Steigung der Tangente, die den Graphen an der Stelle $x_0$ berührt.
Diese lokale Änderungsrate soll mit der Steigung der Sekante übereinstimmen.
Verschiebe also die Sekante solange parallel, bis sie nur noch einen Punkt mit $g(x)$ gemeinsam hat. Die Sekante ist zur Tangente geworden.
Die Stelle $x_0\in \mathbb R^+$ , für die gilt, dass die lokale Änderungsrate von $g$ an dieser Stelle mit der mittleren Änderungsrate von $g(x)$ im Intervall $[1;4]$ übereinstimmt, ist $x_0=2$ .
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