Allgemein gilt nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung: ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={[F(x)]}_a^b=F(b)-F(a)}\backslash displaystyle\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}x=\backslash left[F(x)\backslash right]\_a^b=F(b)-F(a)$.

Nach Aufgabenstellung muss folgendes Integral berechnet werden:

${\displaystyle {\int }_1^{7}f(x)\mathrm{d}x={[F(x)]}_1^7=F(7)-F(1)}\backslash displaystyle\backslash int\_\{1\}^\{7\}f(x)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}x=\backslash left[F(x)\backslash right]\_1^7=F(7)-F(1)$

Die Werte $F(7)F(7)$ und $F(1)F(1)$ können aus der Abbildung $11$ abgelesen werden:

$F(7)=5F(7)=5$ und $F(1)=1F(1)\; =1$

Eingesetzt folgt:

${\displaystyle {\int }_1^{7}f(x)\mathrm{d}x={[F(x)]}_1^7=F(7)-F(1)=5-1=4}\backslash displaystyle\backslash int\_\{1\}^\{7\}f(x)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}x=\backslash left[F(x)\backslash right]\_1^7=F(7)-F(1)=5-1=4$

Das Integral ${\displaystyle {\int }_1^{7}f(x)\mathrm{d}x}\backslash displaystyle\backslash int\_\{1\}^\{7\}f(x)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}x$ hat den Wert $44$.

In der Abbildung $11$ ist der Graph der Stammfunktion $F(x)F(x)$ gezeichnet.

Allgemein gilt: $F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)F\text{'}(x)=f(x)$

Wenn der Funktionswert von $ff$ an der Stelle $11$ bestimmt werden soll, muss der Wert von $F^{\mathrm{\prime }}(x)F\text{'}(x)$ an der Stelle $11$ bestimmt werden, denn es gilt $F^{\mathrm{\prime }}(1)=f(1)F\text{'}(1)=f(1)$.

Gesucht ist also die Steigung der Tangente an den Graphen von $FF$ im Punkt $(1\mathrm{\mid }1)(1|1)$.

(zur Stelle $x=1x=1$ des Graphen gehört $y=1y=1$)

Der Funktionswert von $ff$ an der Stelle $11$ hat der Wert 4$\Rightarrow f(1)=4\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\; f(1)=4$.