Allgemein gilt nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung: $\displaystyle\int_a^b f(x)\;\mathrm{d}x=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a)$.

Nach Aufgabenstellung muss folgendes Integral berechnet werden:

$\displaystyle\int_{1}^{7}f(x)\;\mathrm{d}x=\left[F(x)\right]_1^7=F(7)-F(1)$

Die Werte $F(7)$ und $F(1)$ können aus der Abbildung $1$ abgelesen werden:

$F(7)=5$ und $F(1) =1$

Eingesetzt folgt:

$\displaystyle\int_{1}^{7}f(x)\;\mathrm{d}x=\left[F(x)\right]_1^7=F(7)-F(1)=5-1=4$

Das Integral $\displaystyle\int_{1}^{7}f(x)\;\mathrm{d}x$ hat den Wert $4$.

In der Abbildung $1$ ist der Graph der Stammfunktion $F(x)$ gezeichnet.

Allgemein gilt: $F'(x)=f(x)$

Wenn der Funktionswert von $f$ an der Stelle $1$ bestimmt werden soll, muss der Wert von $F'(x)$ an der Stelle $1$ bestimmt werden, denn es gilt $F'(1)=f(1)$.

Gesucht ist also die Steigung der Tangente an den Graphen von $F$ im Punkt $(1|1)$.

(zur Stelle $x=1$ des Graphen gehört $y=1$)

Der Funktionswert von $f$ an der Stelle $1$ hat der Wert 4$\;\Rightarrow\; f(1)=4$.