Aufgaben zu Spurpunkten und Spurgeraden einer Ebene

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Eine Ebene $E$ hat die Spurgeraden $g_{12} : \vec{X} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array})$ und $g_{23} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0,5 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ 2 \end{array})$ :

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene $E$ und die Gleichung der fehlenden Spurgeraden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene aus 2 Geraden

Ebenengleichung in Parameterform aufstellen

Für die Parameterform der Ebene wird ein Stützvektor gewählt, entweder der von $g_{12}$ oder von $g_{23}$ und beide Richtungsvektoren der Spurgeraden als Spannvektoren.

Die Ebene ist damit direkt gegeben durch:

E : \vec{X} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ 2 \end{array})

Umwandlung der Parameterform in die Normalenform

Berechne den Normalenvektor $\vec{n}$ als Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene.

$\vec{n} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ - 6 \end{array}) = 2 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 3 \end{array})$

Für die Ebene in Normalenform $E : (\vec{X} - \vec{A}) \circ \vec{n} = 0$ wird noch ein Punkt der Ebene benötigt. Setze $\vec{A} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})$ und den "gekürzten" Normalenvektor $\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 3 \end{array})$ in die Normalenform ein.

$E : (\vec{X} - (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 3 \end{array}) = 0$

Umwandlung der Normalenform in die Koordinatenform

Berechne das Skalarprodukt:

$E : ((\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 3 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$1 \cdot x_{1} - 2 \cdot x_{2} - 3 \cdot x_{3} - ((- 1) \cdot 1 + 0 \cdot (- 2) + 0 \cdot (- 3)$	$=$	$0$
$1 \cdot x_{1} - 2 \cdot x_{2} - 3 \cdot x_{3} + 1$	$=$	$0$

Die Ebenengleichung $E$ in Koordinatenform lautet: $1 \cdot x_{1} - 2 \cdot x_{2} - 3 \cdot x_{3} = - 1$

Berechnung der fehlenden Spurgeraden

Die fehlende Spurgerade ist die Gerade $g_{13}$ . Diese Gerade liegt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene, die die Gleichung $x_{2} = 0$ hat.

Setze $x_{2} = 0$ in der Parameterform der Ebene $E$ und löse die erhaltene Gleichung z.B. nach dem Parameter $r$ auf.

$E : (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array})$	$=$	$(\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ 2 \end{array})$
$x_{2}$	$=$	$0 + r - 3 s$
	↓	Setze $x_{2} = 0$ .
$0$	$=$	$r - 3 s$	$+ 3 s$
	↓	Löse nach r auf.
$3 s$	$=$	$r$

Setze $r = 3 s$ in die Ebenengleichung ein, um die Gleichung der Spurgeraden $g_{13}$ zu erhalten.

$E : \vec{X}$	$=$	$(\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ 2 \end{array})$
	↓	Setze $r = 3 s$ ein.
$g_{13} : \vec{X}$	$=$	$(\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + 3 s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ 2 \end{array})$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$(\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 6 + 0 \\ 3 - 3 \\ 0 + 2 \end{array})$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$(\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 2 \end{array})$

Die fehlende Spurgerade hat die Gleichung $g_{13} : \vec{X} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 2 \end{array})$

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