Aufgaben zu Spurpunkten und Spurgeraden einer Ebene

Eine Ebene $E$ hat die Spurgeraden $g_{12}:\;\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $g_{23}:\;\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix}0 \\ 0{,}5 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}$ :

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene $E$ und die Gleichung der fehlenden Spurgeraden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene aus 2 Geraden

Ebenengleichung in Parameterform aufstellen

Für die Parameterform der Ebene wird ein Stützvektor gewählt, entweder der von $g_{12}$ oder von $g_{23}$ und beide Richtungsvektoren der Spurgeraden als Spannvektoren.

Die Ebene ist damit direkt gegeben durch:

\displaystyle E:\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}

Umwandlung der Parameterform in die Normalenform

Berechne den Normalenvektor $\vec{n}$ als Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene.

$\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 0\\ -3 \\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\-4\\ -6 \end{pmatrix}=2\cdot\begin{pmatrix} 1 \\-2\\ -3 \end{pmatrix}$

Für die Ebene in Normalenform $E: \;\left(\overrightarrow{X}-\overrightarrow{A}\right)\circ\vec n =0$ wird noch ein Punkt der Ebene benötigt. Setze $\vec A =\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}$ und den "gekürzten" Normalenvektor $\vec n =\begin{pmatrix} 1 \\-2\\ -3 \end{pmatrix}$ in die Normalenform ein.

$E: \;\left(\overrightarrow{X}-\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}\right)\circ\begin{pmatrix} 1 \\-2\\ -3 \end{pmatrix}=0$

Umwandlung der Normalenform in die Koordinatenform

Berechne das Skalarprodukt:

$\displaystyle E: \;\left(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}\right)\circ\begin{pmatrix} 1 \\-2\\ -3 \end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\displaystyle 1\cdot x_1-2\cdot x_2-3\cdot x_3-((-1)\cdot 1 +0\cdot(-2)+0\cdot(-3)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 1\cdot x_1-2\cdot x_2-3\cdot x_3+1$	$=$	$\displaystyle 0$

Die Ebenengleichung $E$ in Koordinatenform lautet: $1\cdot x_1-2\cdot x_2-3\cdot x_3=-1$

Berechnung der fehlenden Spurgeraden

Die fehlende Spurgerade ist die Gerade $g_{13}$ . Diese Gerade liegt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene, die die Gleichung $x_{2} = 0$ hat.

Setze $x_{2} = 0$ in der Parameterform der Ebene $E$ und löse die erhaltene Gleichung z.B. nach dem Parameter $r$ auf.

$\displaystyle E:\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle 0+r-3s$
	↓	Setze $x_{2} = 0$ .
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle r-3s$	$\displaystyle +3s$
	↓	Löse nach r auf.
$\displaystyle 3s$	$=$	$\displaystyle r$

Setze $r = 3 s$ in die Ebenengleichung ein, um die Gleichung der Spurgeraden $g_{13}$ zu erhalten.

$\displaystyle E:\overrightarrow{X}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}$
	↓	Setze $r = 3 s$ ein.
$\displaystyle g_{13}:\;\overrightarrow{X}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+3s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}6+0 \\ 3-3 \\ 0 +2\end{pmatrix}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}6 \\0 \\2\end{pmatrix}$

Die fehlende Spurgerade hat die Gleichung $g_{13}:\;\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}6 \\0 \\2\end{pmatrix}$

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