Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene aus 2 Geraden
Ebenengleichung in Parameterform aufstellen Für die Parameterform der Ebene wird ein Stützvektor gewählt, entweder der von g 12 g_{12} g 12 g 23 g_{23} g 23
Die Ebene ist damit direkt gegeben durch:
E : X → = ( − 1 0 0 ) + r ⋅ ( 2 1 0 ) + s ⋅ ( 0 − 3 2 ) \displaystyle E:\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} E : X = − 1 0 0 + r ⋅ 2 1 0 + s ⋅ 0 − 3 2
Umwandlung der Parameterform in die Normalenform n ⃗ = ( 2 1 0 ) × ( 0 − 3 2 ) = ( 2 − 4 − 6 ) = 2 ⋅ ( 1 − 2 − 3 ) \vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 0\\ -3 \\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\-4\\ -6 \end{pmatrix}=2\cdot\begin{pmatrix} 1 \\-2\\ -3 \end{pmatrix} n = 2 1 0 × 0 − 3 2 = 2 − 4 − 6 = 2 ⋅ 1 − 2 − 3
Für die Ebene in Normalenform E : ( X → − A → ) ∘ n ⃗ = 0 E: \;\left(\overrightarrow{X}-\overrightarrow{A}\right)\circ\vec n =0 E : ( X − A ) ∘ n = 0 A ⃗ = ( − 1 0 0 ) \vec A =\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix} A = − 1 0 0 n ⃗ = ( 1 − 2 − 3 ) \vec n =\begin{pmatrix} 1 \\-2\\ -3 \end{pmatrix} n = 1 − 2 − 3
E : ( X → − ( − 1 0 0 ) ) ∘ ( 1 − 2 − 3 ) = 0 E: \;\left(\overrightarrow{X}-\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}\right)\circ\begin{pmatrix} 1 \\-2\\ -3 \end{pmatrix}=0 E : X − − 1 0 0 ∘ 1 − 2 − 3 = 0
Umwandlung der Normalenform in die Koordinatenform Berechne das Skalarprodukt :
E : ( ( x 1 x 2 x 3 ) − ( − 1 0 0 ) ) ∘ ( 1 − 2 − 3 ) \displaystyle E: \;\left(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}\right)\circ\begin{pmatrix} 1 \\-2\\ -3 \end{pmatrix} E : x 1 x 2 x 3 − − 1 0 0 ∘ 1 − 2 − 3 = = = 0 \displaystyle 0 0 ↓ Berechne das Skalarprodukt.
1 ⋅ x 1 − 2 ⋅ x 2 − 3 ⋅ x 3 − ( ( − 1 ) ⋅ 1 + 0 ⋅ ( − 2 ) + 0 ⋅ ( − 3 ) \displaystyle 1\cdot x_1-2\cdot x_2-3\cdot x_3-((-1)\cdot 1 +0\cdot(-2)+0\cdot(-3) 1 ⋅ x 1 − 2 ⋅ x 2 − 3 ⋅ x 3 − (( − 1 ) ⋅ 1 + 0 ⋅ ( − 2 ) + 0 ⋅ ( − 3 ) = = = 0 \displaystyle 0 0 1 ⋅ x 1 − 2 ⋅ x 2 − 3 ⋅ x 3 + 1 \displaystyle 1\cdot x_1-2\cdot x_2-3\cdot x_3+1 1 ⋅ x 1 − 2 ⋅ x 2 − 3 ⋅ x 3 + 1 = = = 0 \displaystyle 0 0
Die Ebenengleichung E E E 1 ⋅ x 1 − 2 ⋅ x 2 − 3 ⋅ x 3 = − 1 1\cdot x_1-2\cdot x_2-3\cdot x_3=-1 1 ⋅ x 1 − 2 ⋅ x 2 − 3 ⋅ x 3 = − 1
Berechnung der fehlenden Spurgeraden Die fehlende Spurgerade ist die Gerade g 13 g_{13} g 13 x 1 x 3 x_1x_3 x 1 x 3 x 2 = 0 x_2=0 x 2 = 0
Setze x 2 = 0 x_2=0 x 2 = 0 E E E r r r
E : ( x 1 x 2 x 3 ) \displaystyle E:\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} E : x 1 x 2 x 3 = = = ( − 1 0 0 ) + r ⋅ ( 2 1 0 ) + s ⋅ ( 0 − 3 2 ) \displaystyle \begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} − 1 0 0 + r ⋅ 2 1 0 + s ⋅ 0 − 3 2 x 2 \displaystyle x_2 x 2 = = = 0 + r − 3 s \displaystyle 0+r-3s 0 + r − 3 s ↓ Setze x 2 = 0 x_2=0 x 2 = 0
0 \displaystyle 0 0 = = = r − 3 s \displaystyle r-3s r − 3 s + 3 s \displaystyle +3s + 3 s ↓ Löse nach r auf.
3 s \displaystyle 3s 3 s = = = r \displaystyle r r
Setze r = 3 s r=3s r = 3 s g 13 g_{13} g 13
E : X → \displaystyle E:\overrightarrow{X} E : X = = = ( − 1 0 0 ) + r ⋅ ( 2 1 0 ) + s ⋅ ( 0 − 3 2 ) \displaystyle \begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} − 1 0 0 + r ⋅ 2 1 0 + s ⋅ 0 − 3 2 ↓ Setze r = 3 s r=3s r = 3 s
g 13 : X → \displaystyle g_{13}:\;\overrightarrow{X} g 13 : X = = = ( − 1 0 0 ) + 3 s ⋅ ( 2 1 0 ) + s ⋅ ( 0 − 3 2 ) \displaystyle \begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+3s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} − 1 0 0 + 3 s ⋅ 2 1 0 + s ⋅ 0 − 3 2 ↓ Fasse zusammen.
= = = ( − 1 0 0 ) + s ⋅ ( 6 + 0 3 − 3 0 + 2 ) \displaystyle \begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}6+0 \\ 3-3 \\ 0 +2\end{pmatrix} − 1 0 0 + s ⋅ 6 + 0 3 − 3 0 + 2 ↓ Vereinfache.
= = = ( − 1 0 0 ) + s ⋅ ( 6 0 2 ) \displaystyle \begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}6 \\0 \\2\end{pmatrix} − 1 0 0 + s ⋅ 6 0 2
Die fehlende Spurgerade hat die Gleichung g 13 : X → = ( − 1 0 0 ) + s ⋅ ( 6 0 2 ) g_{13}:\;\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}6 \\0 \\2\end{pmatrix} g 13 : X = − 1 0 0 + s ⋅ 6 0 2
▸ Zusätzliche graphische Darstellung
