Teilaufgabe 1

Vorüberlegung und Lösungsplan:

Betrachtest du die Zeichnung, dann siehst du:

Berechnung der Länge der Strecke $\left[\mathrm{E}\mathrm{T}\right]\backslash left[\backslash mathrm\{ET\}\backslash right]$

${\overline{\mathrm{E}\mathrm{T}}}^2={\overline{\mathrm{E}\mathrm{H}}}^2+{\overline{\mathrm{H}\mathrm{T}}}^2\backslash overline\{\backslash mathrm\{ET\}\}^2=\backslash overline\{\backslash mathrm\{EH\}\}^2+\backslash overline\{\backslash mathrm\{HT\}\}^2$

Die Streckenlänge $\overline{\mathrm{H}\mathrm{T}}=\mathrm{2,03}\mathrm{m}\backslash overline\{\backslash mathrm\{HT\}\}=2\{,\}03\backslash ,\backslash mathrm\; m$ ist in der Aufgabenstellung angegeben (denn die Strecke $\left[\mathrm{H}\mathrm{T}\right]\backslash left[\backslash mathrm\{HT\}\backslash right]$ ist natürlich genauso lang wie $\left[\mathrm{S}\mathrm{G}\right]\backslash left[\backslash mathrm\{SG\}\backslash right]$.

$\overline{\mathrm{H}\mathrm{T}}=\mathrm{2,03}\mathrm{m}\backslash overline\{\backslash mathrm\{HT\}\}=2\{,\}03\backslash ,\backslash mathrm\; m$ kannst du daher einfach in die Gleichung einsetzen,

${\overline{\mathrm{E}\mathrm{T}}}^2={\overline{\mathrm{E}\mathrm{H}}}^2+{\left(\mathrm{2,03}\mathrm{m}\right)}^2\backslash overline\{\backslash mathrm\{ET\}\}^2=\backslash overline\{\backslash mathrm\{EH\}\}^2+\backslash left(2\{,\}03\backslash ,\; \backslash mathrm\; m\; \backslash right)^2$

aber die Länge $\overline{\mathrm{E}\mathrm{H}}\backslash overline\{\backslash mathrm\{EH\}\}$ musst du noch gesondert berechnen.

Berechnung von $\overline{\mathrm{E}\mathrm{H}}\backslash overline\{\backslash mathrm\{EH\}\}$:

${\overline{\mathrm{E}\mathrm{H}}}^2={\overline{\mathrm{E}\mathrm{G}}}^2+{\overline{\mathrm{G}\mathrm{H}}}^2\backslash overline\{\backslash mathrm\{EH\}\}^2=\backslash overline\{\backslash mathrm\{EG\}\}^2+\backslash overline\{\backslash mathrm\{GH\}\}^2$

$\overline{\mathrm{E}\mathrm{G}}=\mathrm{3,40}\mathrm{m}\backslash overline\{\backslash mathrm\{EG\}\}=3\{,\}40\backslash ,\backslash mathrm\; m$ und $\overline{\mathrm{G}\mathrm{H}}=\mathrm{2,50}\mathrm{m}\backslash overline\{\backslash mathrm\{GH\}\}=2\{,\}50\backslash ,\backslash mathrm\; m$ sind in der Aufgabe gegeben; setze sie ein

${\overline{\mathrm{E}\mathrm{H}}}^2={\left(\mathrm{3,40}\mathrm{m}\right)}^2+{\left(\mathrm{2,50}\mathrm{m}\right)}^2\backslash overline\{\backslash mathrm\{EH\}\}^2=\backslash left(3\{,\}40\backslash mathrm\; m\backslash right)^2+\backslash left(2\{,\}50\backslash mathrm\; m\backslash right)^2$

und rechne aus.

${\overline{\mathrm{E}\mathrm{H}}}^2=\mathrm{17,81}{\mathrm{m}}^2\backslash overline\{\backslash mathrm\{EH\}\}^2=17\{,\}81\backslash mathrm\; m^2$

Um von ${\overline{\mathrm{E}\mathrm{H}}}^2\backslash overline\{\backslash mathrm\{EH\}\}^2$ zu $\overline{\mathrm{E}\mathrm{H}}\backslash overline\{\backslash mathrm\{EH\}\}$ zu kommen, kannst du nun die Wurzel anwenden.

$\overline{\mathrm{E}\mathrm{H}}=\sqrt{\mathrm{17,81}}\mathrm{m}\backslash overline\{\backslash mathrm\{EH\}\}=\backslash sqrt\{17\{,\}81\}\backslash ,\backslash mathrm\; m$

Wenn du einen ungefähren Wert für $\overline{\mathrm{E}\mathrm{H}}\backslash overline\{\backslash mathrm\{EH\}\}$ wissen willst, kannst du diesen jetzt mit dem Taschenrechner ausrechnen:

$\overline{\mathrm{E}\mathrm{H}}\approx \mathrm{4,22}\mathrm{m}\backslash overline\{\backslash mathrm\{EH\}\}\backslash approx4\{,\}22\backslash ;\backslash mathrm\; m$

(Du musst diesen Schritt aber auch nicht machen, da ohnehin mit ${\overline{\mathrm{E}\mathrm{H}}}^2\backslash overline\{\backslash mathrm\{EH\}\}^2$ weitergerechnet wird.)

Berechnung der Streckenlänge $\overline{\mathrm{E}\mathrm{T}}\backslash overline\; \{\backslash mathrm\{ET\}\}$ mithilfe des errechneten $\overline{\mathrm{E}\mathrm{H}}\backslash overline\; \{\backslash mathrm\{EH\}\}$:

Berechnung der Länge der Strecke $\left[\mathrm{E}\mathrm{F}\right]\backslash left[\backslash mathrm\{EF\}\backslash right]$

${\overline{\mathrm{E}\mathrm{F}}}^2={\overline{\mathrm{E}\mathrm{N}}}^2+{\overline{\mathrm{N}\mathrm{F}}}^2\backslash overline\{\backslash mathrm\{EF\}\}^2=\backslash overline\{\backslash mathrm\{EN\}\}^2+\backslash overline\{\backslash mathrm\{NF\}\}^2$

Die Streckenlänge $\overline{\mathrm{N}\mathrm{F}}=\mathrm{2,55}\mathrm{m}\backslash overline\{\backslash mathrm\{NF\}\}=2\{,\}55\backslash ,\backslash mathrm\; m$ ist in der Aufgabenstellung angegeben (denn die Strecke $\left[\mathrm{N}\mathrm{F}\right]\backslash left[\backslash mathrm\{NF\}\backslash right]$ ist natürlich genauso lang wie $\left[\mathrm{M}\mathrm{D}\right]\backslash left[\backslash mathrm\{MD\}\backslash right]$.

$\overline{\mathrm{N}\mathrm{F}}=\mathrm{2,55}\mathrm{m}\backslash overline\{\backslash mathrm\{NF\}\}=2\{,\}55\backslash ,\backslash mathrm\; m$ kannst du daher einfach in die Gleichung einsetzen,

${\overline{\mathrm{E}\mathrm{F}}}^2={\overline{\mathrm{E}\mathrm{N}}}^2+{\left(\mathrm{2,55}\mathrm{m}\right)}^2\backslash overline\{\backslash mathrm\{EF\}\}^2=\backslash overline\{\backslash mathrm\{EN\}\}^2+\backslash left(2\{,\}55\backslash ,\; \backslash mathrm\; m\; \backslash right)^2$

aber die Länge $\overline{\mathrm{E}\mathrm{N}}\backslash overline\{\backslash mathrm\{EN\}\}$ musst du wieder gesondert berechnen.

Berechnung von $\overline{\mathrm{E}\mathrm{N}}\backslash overline\{\backslash mathrm\{EN\}\}$:

${\overline{\mathrm{E}\mathrm{N}}}^2={\overline{\mathrm{E}\mathrm{M}}}^2+{\overline{\mathrm{M}\mathrm{N}}}^2\backslash overline\{\backslash mathrm\{EN\}\}^2=\backslash overline\{\backslash mathrm\{EM\}\}^2+\backslash overline\{\backslash mathrm\{MN\}\}^2$

Die Streckenlänge $\overline{\mathrm{M}\mathrm{N}}=\mathrm{2,50}\mathrm{m}\backslash overline\{\backslash mathrm\{MN\}\}=2\{,\}50\backslash ,\backslash mathrm\; m$ ist angegeben und du kannst sie einsetzen (denn die Strecke $\left[\mathrm{M}\mathrm{N}\right]\backslash left[\backslash mathrm\{MN\}\backslash right]$ ist natürlich genauso lang wie $\left[\mathrm{G}\mathrm{H}\right]\backslash left[\backslash mathrm\{GH\}\backslash right]$).

$\left[\mathrm{E}\mathrm{M}\right]\backslash left[\backslash mathrm\{EM\}\backslash right]$ ist halb so lang $\left[\mathrm{E}\mathrm{G}\right]\backslash left[\backslash mathrm\{EG\}\backslash right]$, und $\overline{\mathrm{E}\mathrm{G}}=\mathrm{3,40}\mathrm{m}\backslash overline\{\backslash mathrm\{EG\}\}=3\{,\}40\backslash ,\backslash mathrm\; m$ ist ebenfalls in der Aufgabenstellung angegeben.

(Du musst diesen Schritt aber auch nicht machen, da ohnehin mit ${\overline{\mathrm{E}\mathrm{N}}}^2\backslash overline\{\backslash mathrm\{EN\}\}^2$ weitergerechnet wird.)

Berechnung der Streckenlänge $\overline{\mathrm{E}\mathrm{F}}\backslash overline\; \{\backslash mathrm\{EF\}\}$ mithilfe des errechneten $\overline{\mathrm{E}\mathrm{N}}\backslash overline\; \{\backslash mathrm\{EN\}\}$:

Ergebnis

Die Strecke $\left[\mathrm{E}\mathrm{T}\right]\backslash left[\backslash mathrm\{ET\}\backslash right]$ mit einer Streckenlänge von ca. $\mathrm{4,68}\mathrm{m}4\{,\}68\backslash ,\backslash mathrm\; m$ ist größer als die Strecke $\left[\mathrm{E}\mathrm{F}\right]\backslash left[\backslash mathrm\{EF\}\backslash right]$.

Damit ist die Strecke $\left[\mathrm{E}\mathrm{T}\right]\backslash left[\backslash mathrm\{ET\}\backslash right]$der längste Faden, den die Spinne geradlinig spannen kann.

Teilaufgabe 2

Berechnung der Fläche der Dachhälfte $\mathrm{D}\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{F}\backslash mathrm\; \{DSTF\}$

$A_{\mathrm{D}\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{F}}=?A\_\backslash mathrm\; \{DSTF\}=?$

Das Viereck $\mathrm{D}\mathrm{S}\mathrm{F}\mathrm{T}\backslash mathrm\; \{DSFT\}$ ist ein Rechteck. Seine Fläche berechnet man daher, indem man zwei aneinander liegende Seiten multipliziert:

$A_{\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=L\ddot{a}nge\cdot BreiteA\_\backslash mathrm\; \{Rechteck\}\; =\; Länge\; \backslash cdot\; Breite$

$A_{\mathrm{D}\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{F}}=\overline{\mathrm{D}\mathrm{S}}\cdot \overline{\mathrm{S}\mathrm{T}}A\_\backslash mathrm\; \{DSTF\}=\; \backslash overline\{\backslash mathrm\; \{DS\}\}\; \backslash cdot\; \backslash overline\{\backslash mathrm\; \{ST\}\}$

Die Streckenlänge $\overline{\mathrm{S}\mathrm{T}}=\mathrm{2,50}\mathrm{m}\backslash overline\{\backslash mathrm\; \{ST\}\}=2\{,\}50\; \backslash ,\; \backslash mathrm\; m$ ist angegeben, aber $\overline{\mathrm{D}\mathrm{S}}\backslash overline\{\backslash mathrm\; \{DS\}\}$ musst du noch gesondert berechnen.

Berechnung von $\overline{\mathrm{D}\mathrm{S}}\backslash overline\{\backslash mathrm\{DS\}\}$:

${\overline{\mathrm{D}\mathrm{S}}}^2={\overline{\mathrm{K}\mathrm{S}}}^2+{\overline{\mathrm{D}\mathrm{K}}}^2\backslash overline\{\backslash mathrm\{DS\}\}^2=\backslash overline\{\backslash mathrm\{KS\}\}^2+\backslash overline\{\backslash mathrm\{DK\}\}^2$

$\left[\mathrm{K}\mathrm{S}\right]\backslash left[\backslash mathrm\{KS\}\backslash right]$ ist halb so lang $\left[\mathrm{E}\mathrm{G}\right]\backslash left[\backslash mathrm\{EG\}\backslash right]$, und $\overline{\mathrm{E}\mathrm{G}}=\mathrm{3,40}\mathrm{m}\backslash overline\{\backslash mathrm\{EG\}\}=3\{,\}40\backslash ,\backslash mathrm\; m$ ist in der Aufgabenstellung angegeben.

${\overline{\mathrm{D}\mathrm{S}}}^2={\left(\frac{\mathrm{3,40}\mathrm{m}}{2}\right)}^2+{\overline{\mathrm{D}\mathrm{K}}}^2\backslash overline\{\backslash mathrm\{DS\}\}^2=\backslash left(\backslash frac\{3\{,\}40\backslash ;\backslash mathrm\; m\}2\backslash right)^2+\backslash overline\{\backslash mathrm\{DK\}\}^2$

$\overline{\mathrm{D}\mathrm{K}}\backslash overline\{\backslash mathrm\; \{DK\}\}$ kannst du ausrechnen als Differenz der Strecken $\left[\mathrm{D}\mathrm{M}\right]\backslash left[\backslash mathrm\{DM\}\backslash right]$ und $\left[\mathrm{K}\mathrm{M}\right]\backslash left[\backslash mathrm\{KM\}\backslash right]$:

$\overline{\mathrm{D}\mathrm{K}}=\overline{\mathrm{D}\mathrm{M}}-\overline{\mathrm{K}\mathrm{M}}\backslash overline\{\backslash mathrm\{DK\}\}=\backslash overline\{\backslash mathrm\{DM\}\}-\backslash overline\{\backslash mathrm\{KM\}\}$

$\overline{\mathrm{D}\mathrm{M}}=\mathrm{2,55}\mathrm{m}\backslash overline\{\backslash mathrm\{DM\}\}=2\{,\}55\; \backslash ,\; \backslash mathrm\; m$ ist angegeben.

$\overline{\mathrm{K}\mathrm{M}}=\mathrm{2,03}\mathrm{m}\backslash overline\{\backslash mathrm\{KM\}\}=2\{,\}03\; \backslash ,\; \backslash mathrm\; m$ kannst du ebenfalls der Aufgabenstellung entnehmen (denn die Strecke $\left[\mathrm{K}\mathrm{M}\right]\backslash left[\backslash mathrm\{KM\}\backslash right]$ ist natürlich genauso lang wie $\left[\mathrm{S}\mathrm{G}\right]\backslash left[\backslash mathrm\{SG\}\backslash right]$.

$\overline{\mathrm{D}\mathrm{K}}=\mathrm{2,55}\mathrm{m}-\mathrm{2,03}\mathrm{m}=\mathrm{0,52}\mathrm{m}\backslash overline\{\backslash mathrm\{DK\}\}=2\{,\}55\backslash ,\; \backslash mathrm\; m\; -\; 2\{,\}03\; \backslash ,\backslash mathrm\; m\; =\; 0\{,\}52\; \backslash ,\backslash mathrm\; m$

Setze dies nun ein.

Diesen gerundeten Wert für $\overline{\mathrm{D}\mathrm{S}}\backslash overline\{\backslash mathrm\{DS\}\}$ kannst du nun für die Berechnung der Dachfläche verwenden.

Berechnung der Dachfläche

$A_{\mathrm{D}\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{F}}=\overline{\mathrm{D}\mathrm{S}}\cdot \overline{\mathrm{S}\mathrm{T}}A\_\backslash mathrm\; \{DSTF\}=\; \backslash overline\{\backslash mathrm\; \{DS\}\}\; \backslash cdot\; \backslash overline\{\backslash mathrm\; \{ST\}\}$

Hier setzt du nun $\overline{\mathrm{D}\mathrm{S}}\approx \mathrm{1,78}\mathrm{m}\backslash overline\{\backslash mathrm\{DS\}\}\backslash approx1\{,\}78\backslash ;\backslash mathrm\; m$ und $\overline{\mathrm{S}\mathrm{T}}=\mathrm{2,50}\mathrm{m}\backslash overline\{\backslash mathrm\; \{ST\}\}=2\{,\}50\; \backslash ,\; \backslash mathrm\; m$ ein.

$A=2\cdot \mathrm{2,5}\mathrm{m}\cdot \mathrm{1,78}\mathrm{m}=\mathrm{8,9}{\mathrm{m}}^{2}A=2\backslash cdot2\{,\}5\backslash ,\backslash mathrm\; m\backslash cdot\; 1\{,\}78\backslash ,\backslash mathrm\; m=8\{,\}9\backslash ,\backslash mathrm\; m^2$

Der Flächeninhalt des Daches beträgt $\mathrm{8,9}{m}^{2}8\{,\}9\; \backslash \; m^2$.