Aufgaben zum Satz des Pythagoras

Betrachte folgendes Holzhäuschen (Maße in $\mathrm m$ ):

Gib das Ergebnis beider Teilaufgaben (auf zwei Nachkommastellen) mit einem Strichpunkt getrennt ein - in der Form "x Meter; x Quadratmeter".

Wie lang ist der längste Faden, den eine Spinne geradlinig im Holzhäuschen spannen könnte?

Teilaufgabe 1

Vorüberlegung und Lösungsplan:

Betrachtest du die Zeichnung, dann siehst du:

Der längste Faden ist entweder so lang wie

die Strecke $\left[\mathrm{ET}\right]$ (denn diese geht von der unteren Ecke des Raumes in die entgegengesetzt gelegene obere Ecke)

oder so lang wie

die Strecke $\left[\mathrm{EF}\right]$ (denn um von $\mathrm E$ zu $\mathrm F$ zu kommen, muss die Spinne zwar weniger weit nach rechts, als wenn sie zu $\mathrm T$ webt, aber dafür etwas weiter nach oben).

Berechnung der Länge der Strecke $\left[\mathrm{ET}\right]$

Die Strecke $\left[\mathrm{ET}\right]$ ist Seite im Dreieck $\triangle \mathrm{EHT}$ .

Dieses Dreieck hat bei $\mathrm H$ einen rechten Winkel.

Also kannst du im Dreieck $\triangle \mathrm{EHT}$ den Satz von Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist $\left[\mathrm{ET}\right]$ .

$\overline{\mathrm{ET}}^2=\overline{\mathrm{EH}}^2+\overline{\mathrm{HT}}^2$

Die Streckenlänge $\overline{\mathrm{HT}}=2{,}03\,\mathrm m$ ist in der Aufgabenstellung angegeben (denn die Strecke $\left[\mathrm{HT}\right]$ ist natürlich genauso lang wie $\left[\mathrm{SG}\right]$ .

$\overline{\mathrm{HT}}=2{,}03\,\mathrm m$ kannst du daher einfach in die Gleichung einsetzen,

$\overline{\mathrm{ET}}^2=\overline{\mathrm{EH}}^2+\left(2{,}03\, \mathrm m \right)^2$

aber die Länge $\overline{\mathrm{EH}}$ musst du noch gesondert berechnen.

Berechnung von $\overline{\mathrm{EH}}$ :

Die Strecke $\lbrack \mathrm{EH}\rbrack$ ist Seite im Dreieck $\triangle\mathrm{EGH}$ am Boden des Holzhäuschens.

Dieses Dreieck ist bei $\mathrm G$ rechtwinklig. Also kannst du auch in ihm den Satz von Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist $\lbrack\mathrm{EH}\rbrack$ .

$\overline{\mathrm{EH}}^2=\overline{\mathrm{EG}}^2+\overline{\mathrm{GH}}^2$

$\overline{\mathrm{EG}}=3{,}40\,\mathrm m$ und $\overline{\mathrm{GH}}=2{,}50\,\mathrm m$ sind in der Aufgabe gegeben; setze sie ein

$\overline{\mathrm{EH}}^2=\left(3{,}40\mathrm m\right)^2+\left(2{,}50\mathrm m\right)^2$

und rechne aus.

$\overline{\mathrm{EH}}^2=17{,}81\mathrm m^2$

Um von $\overline{\mathrm{EH}}^2$ zu $\overline{\mathrm{EH}}$ zu kommen, kannst du nun die Wurzel anwenden.

$\overline{\mathrm{EH}}=\sqrt{17{,}81}\,\mathrm m$

Wenn du einen ungefähren Wert für $\overline{\mathrm{EH}}$ wissen willst, kannst du diesen jetzt mit dem Taschenrechner ausrechnen:

$\overline{\mathrm{EH}}\approx4{,}22\;\mathrm m$

(Du musst diesen Schritt aber auch nicht machen, da ohnehin mit $\overline{\mathrm{EH}}^2$ weitergerechnet wird.)

Berechnung der Streckenlänge $\overline {\mathrm{ET}}$ mithilfe des errechneten $\overline {\mathrm{EH}}$ :

Du hast bislang erhalten:

$\overline{\mathrm{ET}}^2=\overline{\mathrm{EH}}^2+\left(2{,}03\, \mathrm m \right)^2$

und

$\overline{\mathrm{EH}}=\sqrt{17{,}81}\,\mathrm m$ .

Setze nun $\overline{\mathrm{EH}}=\sqrt{17{,}81}\,\mathrm m$ in die obere Gleichung ein.

$\displaystyle \overline{\mathrm{ET}}^2$	$=$	$\displaystyle \left( \sqrt{17{,}81} \, \mathrm m \right)^2 +\left(2{,}03\, \mathrm m \right)^2$
	$=$	$\displaystyle 21{,}9309\, \mathrm m ^2$
	↓	$\overline{\mathrm{ET}}$ erhältst du aus $\overline{\mathrm{ET}}^2$ , indem du die Wurzel ziehst.
$\displaystyle \overline{\mathrm{ET}}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{21{,}9309}\, \mathrm m$
	↓	Gib $\sqrt{21{,}9309}$ in den Taschenrechner ein und runde das Ergebnis auf 2 Stellen hinter dem Komma (das ist sinnvoll, denn in der Angabe sind die Maße auch nur auf $\mathrm {cm}$ genau angegeben.)
	$≈$	$\displaystyle 4{,}68 \, \mathrm m$

Berechnung der Länge der Strecke $\left[\mathrm{EF}\right]$

Die Strecke $\left[\mathrm{EF}\right]$ ist Seite im Dreieck $\triangle \mathrm{ENF}$ .

Dieses Dreieck hat bei $\mathrm N$ einen rechten Winkel.

Also kannst du im Dreieck $\triangle \mathrm{ENF}$ den Satz des Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist $\left[\mathrm{EF}\right]$ .

$\overline{\mathrm{EF}}^2=\overline{\mathrm{EN}}^2+\overline{\mathrm{NF}}^2$

Die Streckenlänge $\overline{\mathrm{NF}}=2{,}55\,\mathrm m$ ist in der Aufgabenstellung angegeben (denn die Strecke $\left[\mathrm{NF}\right]$ ist natürlich genauso lang wie $\left[\mathrm{MD}\right]$ .

$\overline{\mathrm{NF}}=2{,}55\,\mathrm m$ kannst du daher einfach in die Gleichung einsetzen,

$\overline{\mathrm{EF}}^2=\overline{\mathrm{EN}}^2+\left(2{,}55\, \mathrm m \right)^2$

aber die Länge $\overline{\mathrm{EN}}$ musst du wieder gesondert berechnen.

Berechnung von $\overline{\mathrm{EN}}$ :

Die Strecke $\lbrack \mathrm{EN}\rbrack$ ist Seite im Dreieck $\triangle\mathrm{EMN}$ am Boden des Holzhäuschens.

Dieses Dreieck ist bei $\mathrm M$ rechtwinklig. Also kannst du auch in ihm den Satz von Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist $\lbrack\mathrm{EH}\rbrack$ .

$\overline{\mathrm{EN}}^2=\overline{\mathrm{EM}}^2+\overline{\mathrm{MN}}^2$

Die Streckenlänge $\overline{\mathrm{MN}}=2{,}50\,\mathrm m$ ist angegeben und du kannst sie einsetzen (denn die Strecke $\left[\mathrm{MN}\right]$ ist natürlich genauso lang wie $\left[\mathrm{GH}\right]$ ).

$\left[\mathrm{EM}\right]$ ist halb so lang $\left[\mathrm{EG}\right]$ , und $\overline{\mathrm{EG}}=3{,}40\,\mathrm m$ ist ebenfalls in der Aufgabenstellung angegeben.

$\displaystyle \overline{\mathrm{EN}}^2$	$=$	$\displaystyle \left(\dfrac{3{,}40}{2}\,\mathrm m\right)^2+\left(2{,}50\mathrm m\right)^2$
	$=$	$\displaystyle 9{,}14\, \mathrm m ^2$
	↓	Um von $\overline{\mathrm{EN}}^2$ zu $\overline{\mathrm{EN}}$ zu kommen, kannst du nun die Wurzel anwenden.
$\displaystyle \overline{\mathrm{EN}}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{9{,}14}\, \mathrm m$
	↓	Wenn du einen ungefähren Wert für $\overline{\mathrm{EN}}$ wissen willst, kannst du diesen jetzt mit dem Taschenrechner ausrechnen:
	$≈$	$\displaystyle 3{,}02\, \mathrm m$

(Du musst diesen Schritt aber auch nicht machen, da ohnehin mit $\overline{\mathrm{EN}}^2$ weitergerechnet wird.)

Berechnung der Streckenlänge $\overline {\mathrm{EF}}$ mithilfe des errechneten $\overline {\mathrm{EN}}$ :

Du hast bislang erhalten:

$\overline{\mathrm{EF}}^2=\overline{\mathrm{EN}}^2+\left(2{,}55\, \mathrm m \right)^2$

und

$\overline{\mathrm{EN}}=\sqrt{9{,}14}\,\mathrm m$ .

Setze nun $\overline{\mathrm{EN}}=\sqrt{9{,}14}\,\mathrm m$ in die obere Gleichung ein.

$\displaystyle \overline{\mathrm{EF}}^2$	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt{9{,}14}\,\mathrm m \right)^2+\left(2{,}55\, \mathrm m \right)^2$
	$=$	$\displaystyle 15{,}6425 \, \mathrm m^2$
	↓	$\overline{\mathrm{EF}}$ erhältst du aus $\overline{\mathrm{EF}}^2$ , indem du die Wurzel ziehst.
$\displaystyle \overline{\mathrm{EF}}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{15{,}6425}\, \mathrm m$
	↓	Gib $\sqrt{15{,}6425}$ in den Taschenrechner ein und runde das Ergebnis auf 2 Stellen hinter dem Komma (das ist sinnvoll, denn in der Angabe sind die Maße auch nur auf $\mathrm {cm}$ genau angegeben.)
	$≈$	$\displaystyle 3{,}96 \, \mathrm m$

Ergebnis

Die Strecke $\left[\mathrm{ET}\right]$ mit einer Streckenlänge von ca. $4{,}68\,\mathrm m$ ist größer als die Strecke $\left[\mathrm{EF}\right]$ .

Damit ist die Strecke $\left[\mathrm{ET}\right]$ der längste Faden, den die Spinne geradlinig spannen kann.

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Wie viel $\mathrm m^2$ Dachfläche hat das Holzhäuschen?

Teilaufgabe 2

Vorüberlegung und Lösungsplan:

Betrachtest du die Zeichnung, dann siehst du:

Die Dachfläche besteht aus zwei Rechtecken, die beide gleich groß sind.

Plan zur Lösung der Aufgabe:

Berechne die Fläche des Rechtecks $\mathrm {DSTF}$ und
multipliziere das Ergebnis anschließend mit 2.

Berechnung der Fläche der Dachhälfte $\mathrm {DSTF}$

$A_\mathrm {DSTF}=?$

Das Viereck $\mathrm {DSFT}$ ist ein Rechteck. Seine Fläche berechnet man daher, indem man zwei aneinander liegende Seiten multipliziert:

$A_\mathrm {Rechteck} = Länge \cdot Breite$

$A_\mathrm {DSTF}= \overline{\mathrm {DS}} \cdot \overline{\mathrm {ST}}$

Die Streckenlänge $\overline{\mathrm {ST}}=2{,}50 \, \mathrm m$ ist angegeben, aber $\overline{\mathrm {DS}}$ musst du noch gesondert berechnen.

Berechnung von $\overline{\mathrm{DS}}$ :

Die Strecke $\lbrack \mathrm{DS}\rbrack$ ist Seite im Dreieck $\triangle\mathrm{KSD}$ auf der Vorderfläche des Holzhäuschens.

Dieses Dreieck ist bei $\mathrm K$ rechtwinklig. Also kannst du auch in ihm den Satz von Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist $\lbrack\mathrm{DS}\rbrack$ .

$\overline{\mathrm{DS}}^2=\overline{\mathrm{KS}}^2+\overline{\mathrm{DK}}^2$

$\left[\mathrm{KS}\right]$ ist halb so lang $\left[\mathrm{EG}\right]$ , und $\overline{\mathrm{EG}}=3{,}40\,\mathrm m$ ist in der Aufgabenstellung angegeben.

$\overline{\mathrm{DS}}^2=\left(\frac{3{,}40\;\mathrm m}2\right)^2+\overline{\mathrm{DK}}^2$

$\overline{\mathrm {DK}}$ kannst du ausrechnen als Differenz der Strecken $\left[\mathrm{DM}\right]$ und $\left[\mathrm{KM}\right]$ :

$\overline{\mathrm{DK}}=\overline{\mathrm{DM}}-\overline{\mathrm{KM}}$

$\overline{\mathrm{DM}}=2{,}55 \, \mathrm m$ ist angegeben.

$\overline{\mathrm{KM}}=2{,}03 \, \mathrm m$ kannst du ebenfalls der Aufgabenstellung entnehmen (denn die Strecke $\left[\mathrm{KM}\right]$ ist natürlich genauso lang wie $\left[\mathrm{SG}\right]$ .

$\overline{\mathrm{DK}}=2{,}55\, \mathrm m - 2{,}03 \,\mathrm m = 0{,}52 \,\mathrm m$

Setze dies nun ein.

$\displaystyle \overline{\mathrm{DS}}^2$	$=$	$\displaystyle \left(\frac{3{,}40\;\mathrm m}2\right)^2+ \left(0{,}52\, \mathrm m\right)^2$
	↓	Das kannst du jetzt ausrechnen.
	$=$	$\displaystyle 3{,}1604 \, \mathrm m^2$
	↓	$\overline{\mathrm{DS}}$ erhältst du aus $\overline{\mathrm{DS}}^2$ , indem du die Wurzel ziehst.
$\displaystyle \overline{\mathrm{DS}}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{3{,}1604}\, \mathrm m$
	↓	Gib $\sqrt{3{,}1604}$ in den Taschenrechner ein und runde das Ergebnis auf 2 Stellen hinter dem Komma (das ist sinnvoll, denn in der Angabe sind die Maße auch nur auf $\mathrm {cm}$ genau angegeben.)
	$≈$	$\displaystyle 1{,}78\;\mathrm m$

Diesen gerundeten Wert für $\overline{\mathrm{DS}}$ kannst du nun für die Berechnung der Dachfläche verwenden.

Berechnung der Dachfläche

$A_\mathrm {DSTF}= \overline{\mathrm {DS}} \cdot \overline{\mathrm {ST}}$

Hier setzt du nun $\overline{\mathrm{DS}}\approx1{,}78\;\mathrm m$ und $\overline{\mathrm {ST}}=2{,}50 \, \mathrm m$ ein.

$A=2\cdot2{,}5\,\mathrm m\cdot 1{,}78\,\mathrm m=8{,}9\,\mathrm m^2$

Der Flächeninhalt des Daches beträgt $8{,}9 \ m^2$ .

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Teilaufgabe 1

Vorüberlegung und Lösungsplan:

Berechnung der Länge der Strecke [ET]\left[\mathrm{ET}\right][ET]

Berechnung von EH‾\overline{\mathrm{EH}}EH:

Berechnung der Streckenlänge ET‾\overline {\mathrm{ET}}ET mithilfe des errechneten EH‾\overline {\mathrm{EH}}EH:

Berechnung der Länge der Strecke [EF]\left[\mathrm{EF}\right][EF]

Berechnung von EN‾\overline{\mathrm{EN}}EN:

Berechnung der Streckenlänge EF‾\overline {\mathrm{EF}}EF mithilfe des errechneten EN‾\overline {\mathrm{EN}}EN:

Ergebnis

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Teilaufgabe 2

Vorüberlegung und Lösungsplan:

Berechnung der Fläche der Dachhälfte DSTF\mathrm {DSTF}DSTF

Berechnung von DS‾\overline{\mathrm{DS}}DS:

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Berechnung der Länge der Strecke $\left[\mathrm{ET}\right]$

Berechnung von $\overline{\mathrm{EH}}$ :

Berechnung der Streckenlänge $\overline {\mathrm{ET}}$ mithilfe des errechneten $\overline {\mathrm{EH}}$ :

Berechnung der Länge der Strecke $\left[\mathrm{EF}\right]$

Berechnung von $\overline{\mathrm{EN}}$ :

Berechnung der Streckenlänge $\overline {\mathrm{EF}}$ mithilfe des errechneten $\overline {\mathrm{EN}}$ :

Berechnung der Fläche der Dachhälfte $\mathrm {DSTF}$

Berechnung von $\overline{\mathrm{DS}}$ :