![Bild](https://assets.serlo.org/legacy/7664_1dHc78l5oT.png)
Betrachte folgendes Holzhäuschen (Maße in m):
Gib das Ergebnis beider Teilaufgaben (auf zwei Nachkommastellen) mit einem Strichpunkt getrennt ein - in der Form "x Meter; x Quadratmeter".
Wie lang ist der längste Faden, den eine Spinne geradlinig im Holzhäuschen spannen könnte?
Teilaufgabe 1
Vorüberlegung und Lösungsplan:
Betrachtest du die Zeichnung, dann siehst du:
Der längste Faden ist entweder so lang wie
die Strecke [ET] (denn diese geht von der unteren Ecke des Raumes in die entgegengesetzt gelegene obere Ecke)
oder so lang wie
die Strecke [EF] (denn um von E zu F zu kommen, muss die Spinne zwar weniger weit nach rechts, als wenn sie zu T webt, aber dafür etwas weiter nach oben).
Berechnung der Länge der Strecke [ET]
Die Strecke [ET] ist Seite im Dreieck △EHT.
Dieses Dreieck hat bei H einen rechten Winkel.
Also kannst du im Dreieck △EHT den Satz von Pythagoras anwenden.
Die Hypotenuse ist [ET].
ET2=EH2+HT2
Die Streckenlänge HT=2,03m ist in der Aufgabenstellung angegeben (denn die Strecke [HT] ist natürlich genauso lang wie [SG].
HT=2,03m kannst du daher einfach in die Gleichung einsetzen,
ET2=EH2+(2,03m)2
aber die Länge EH musst du noch gesondert berechnen.
Berechnung von EH:
Die Strecke [EH] ist Seite im Dreieck △EGH am Boden des Holzhäuschens.
Dieses Dreieck ist bei G rechtwinklig. Also kannst du auch in ihm den Satz von Pythagoras anwenden.
Die Hypotenuse ist [EH].
EH2=EG2+GH2
EG=3,40m und GH=2,50m sind in der Aufgabe gegeben; setze sie ein
EH2=(3,40m)2+(2,50m)2
und rechne aus.
EH2=17,81m2
Um von EH2 zu EH zu kommen, kannst du nun die Wurzel anwenden.
EH=17,81m
Wenn du einen ungefähren Wert für EH wissen willst, kannst du diesen jetzt mit dem Taschenrechner ausrechnen:
EH≈4,22m
(Du musst diesen Schritt aber auch nicht machen, da ohnehin mit EH2 weitergerechnet wird.)
Berechnung der Streckenlänge ET mithilfe des errechneten EH:
Du hast bislang erhalten:
ET2=EH2+(2,03m)2
und
EH=17,81m.
Setze nun EH=17,81m in die obere Gleichung ein.
Berechnung der Länge der Strecke [EF]
Die Strecke [EF] ist Seite im Dreieck △ENF.
Dieses Dreieck hat bei N einen rechten Winkel.
Also kannst du im Dreieck △ENF den Satz des Pythagoras anwenden.
Die Hypotenuse ist [EF].
EF2=EN2+NF2
Die Streckenlänge NF=2,55m ist in der Aufgabenstellung angegeben (denn die Strecke [NF] ist natürlich genauso lang wie [MD].
NF=2,55m kannst du daher einfach in die Gleichung einsetzen,
EF2=EN2+(2,55m)2
aber die Länge EN musst du wieder gesondert berechnen.
Berechnung von EN:
Die Strecke [EN] ist Seite im Dreieck △EMN am Boden des Holzhäuschens.
Dieses Dreieck ist bei M rechtwinklig. Also kannst du auch in ihm den Satz von Pythagoras anwenden.
Die Hypotenuse ist [EH].
EN2=EM2+MN2
Die Streckenlänge MN=2,50m ist angegeben und du kannst sie einsetzen (denn die Strecke [MN] ist natürlich genauso lang wie [GH]).
[EM] ist halb so lang [EG], und EG=3,40m ist ebenfalls in der Aufgabenstellung angegeben.
EN2 = (23,40m)2+(2,50m)2 = 9,14m2 ↓ Um von EN2 zu EN zu kommen, kannst du nun die Wurzel anwenden.
EN = 9,14m ↓ Wenn du einen ungefähren Wert für EN wissen willst, kannst du diesen jetzt mit dem Taschenrechner ausrechnen:
≈ 3,02m (Du musst diesen Schritt aber auch nicht machen, da ohnehin mit EN2 weitergerechnet wird.)
Berechnung der Streckenlänge EF mithilfe des errechneten EN:
Du hast bislang erhalten:
EF2=EN2+(2,55m)2
und
EN=9,14m.
Setze nun EN=9,14m in die obere Gleichung ein.
Ergebnis
Die Strecke [ET] mit einer Streckenlänge von ca. 4,68m ist größer als die Strecke [EF].
Damit ist die Strecke [ET]der längste Faden, den die Spinne geradlinig spannen kann.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Plan zur Lösung der Aufgabe:
Berechne zuerst die Längen der beiden Strecken [ET] und [EF],
und prüfe dann, welche von beiden die längere ist.
Wie viel m2 Dachfläche hat das Holzhäuschen?
Teilaufgabe 2
Vorüberlegung und Lösungsplan:
Betrachtest du die Zeichnung, dann siehst du:
Die Dachfläche besteht aus zwei Rechtecken, die beide gleich groß sind.
Plan zur Lösung der Aufgabe:
Berechne die Fläche des Rechtecks DSTF und
multipliziere das Ergebnis anschließend mit 2.
Berechnung der Fläche der Dachhälfte DSTF
ADSTF=?
Das Viereck DSFT ist ein Rechteck. Seine Fläche berechnet man daher, indem man zwei aneinander liegende Seiten multipliziert:
ARechteck=La¨nge⋅Breite
ADSTF=DS⋅ST
Die Streckenlänge ST=2,50m ist angegeben, aber DS musst du noch gesondert berechnen.
Berechnung von DS:
Die Strecke [DS] ist Seite im Dreieck △KSD auf der Vorderfläche des Holzhäuschens.
Dieses Dreieck ist bei K rechtwinklig. Also kannst du auch in ihm den Satz von Pythagoras anwenden.
Die Hypotenuse ist [DS].
DS2=KS2+DK2
[KS] ist halb so lang [EG], und EG=3,40m ist in der Aufgabenstellung angegeben.
DS2=(23,40m)2+DK2
DK kannst du ausrechnen als Differenz der Strecken [DM] und [KM]:
DK=DM−KM
DM=2,55m ist angegeben.
KM=2,03m kannst du ebenfalls der Aufgabenstellung entnehmen (denn die Strecke [KM] ist natürlich genauso lang wie [SG].
DK=2,55m−2,03m=0,52m
Setze dies nun ein.
DS2 = (23,40m)2+(0,52m)2 ↓ Das kannst du jetzt ausrechnen.
= 3,1604m2 ↓ DS erhältst du aus DS2, indem du die Wurzel ziehst.
DS = 3,1604m ↓ Gib 3,1604 in den Taschenrechner ein und runde das Ergebnis auf 2 Stellen hinter dem Komma (das ist sinnvoll, denn in der Angabe sind die Maße auch nur auf cm genau angegeben.)
≈ 1,78m Diesen gerundeten Wert für DS kannst du nun für die Berechnung der Dachfläche verwenden.
Berechnung der Dachfläche
ADSTF=DS⋅ST
Hier setzt du nun DS≈1,78m und ST=2,50m ein.
A=2⋅2,5m⋅1,78m=8,9m2
Der Flächeninhalt des Daches beträgt 8,9 m2.
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