Lösung zur 1. Frage der Aufgabe:

gegeben:

• Grundkreisdurchmesser des Kreiskegels $\text{d=h}\backslash text\{d=h\}$

• Volumen $V=1\text{l}V=1\backslash ;\backslash text\{l\}$

gesucht:

• Höhe des Kreiskegels $hh$

Darstellen des Grundkreisradius mit $hh$

Um die Höhe $\text{h}\backslash text\{h\}$ zu berechnen, kannst du zuerst den Radius $\text{r}\backslash text\{r\}$ als $\text{h}\backslash text\{h\}$ geteilt durch zwei darstellen, denn $\text{d}\backslash text\{d\}$ gleicht $\text{h}\backslash text\{h\}$ und ist außerdem doppelt so lang wie $\text{r}\backslash text\{r\}$.

$\text{r=}\frac{d}{2}\backslash text\{r=\}\backslash frac\; d2$

$\mathrm{r}=\frac{\mathrm{h}}{2}\backslash mathrm\; r=\backslash frac\{\backslash mathrm\; h\}2$

Aufstellen eines Gleichungssystemes:

$\mathrm{r}=\frac{\mathrm{h}}{2}\backslash mathrm\; r=\backslash frac\{\backslash mathrm\; h\}2$ ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen auf.

Gleichung (I) ist die Darstellung von $rr$ mit $hh$.

Gleichung (II) ist die Formel für die Berechnung des Volumens von einem Kreiskegel mit den eingesetzten Wert von $\text{r=}\frac{\mathrm{h}}{2}\backslash text\{r=\}\backslash frac\{\backslash mathrm\; h\}2$

(I): $\text{r=}\frac{\mathrm{h}}{2}\backslash text\{r=\}\backslash frac\{\backslash mathrm\; h\}2$

(II): $\frac{1}{3}\cdot {\text{r}}^2\cdot \pi \cdot \text{h}=1\text{l}\backslash frac13\backslash cdot\backslash text\{r\}^2\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\backslash text\{h\}=1\backslash ;\backslash text\{l\}$

Nun löst du das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren, wobei du die Gleichung (I) ind (II) einsetzst.

(I) in (II):

$\frac{1}{3}\cdot \frac{{\mathrm{h}}^2}{2^2}\cdot \pi \cdot \mathrm{h}=1\mathrm{l}\backslash frac13\backslash cdot\backslash frac\{\backslash mathrm\; h^2\}\{2^2\}\backslash cdot\backslash mathrm\backslash pi\backslash cdot\backslash mathrm\; h=1\backslash ;\backslash mathrm\; l$

Du kannst $\mathrm{r}\backslash mathrm\; r$ ausrechnen, indem du $\mathrm{h}\backslash mathrm\; h$ in Gleichung (I) einsetzst. Du benötigst den Radius $\mathrm{r}\backslash mathrm\; r$, um die 2 Frage der Aufgabenstellung zu beantworten.

$\mathrm{h}\backslash mathrm\{h\}$ in (I):

Antwort zur 1. Frage der Aufgabe:

Der Kreiskegel ist etwa $\mathrm{1,56}dm1\{,\}56\backslash \; dm$ hoch.

Lösung zur 2. Frage der Aufgabe:

Berechnung der Mantellinie s:

Um den Mittelpunktswinkel α des Kreissektors, aus dem der Kegel gefertigt werden kann, zu bestimmen, musst du zuerst die Mantellinie $\mathrm{s}\backslash mathrm\; s$ des Kegels ausrechnen. Du musst dazu dir ein rechtwinkliges Dreieck vorstellen, welches den Grundkreismittelpunkt, irgendeinen Punkt auf der Kreislinie der Höhe und die Spitze des Kreiskegels verbindet. Der Grundkreismittelpunkt und der Punkt auf der Kreislinie verbinden sich zu einer Kathete und dem Grundkreisradius r. Der Punkt auf der Kreislinie verbindet sich mit der Kegelspitze zur Hypotenuse und der Mantellinie s. Die Kegelspitze verbindet sich mit dem Grundkreismittelpunkt zu der zweiten Kathete und der Höhe h. Da h und r bereits bekannt sind, kannst du s mit dem Satz des Pythagoras berechnen.

Anmerkung:

Die Lösungen der Gleichung wären:

Da s eine Länge ist, wäre eine negative Lösung nicht sinnvoll, weshalb du diese nicht weiter beachten musst.

Berechnung des Mittelpunktswinkels $\alpha \backslash alpha$

Nun kannst du $\alpha \backslash alpha$ berechnen, indem du dir bereits bekannte Werte in eine nach $\alpha \backslash alpha$ umgeformte Version von dieser Formel

einsetzst.

Du multiplizierst auf beiden Seiten der Gleichung mit $360\mathrm{°}360°$.

Antwort:

Der Mittelpunktswinkel α des Sektors, aus dem der Kegel gefertigt werden kann, ist $162\mathrm{°}162°$ groß.