Gemischte Aufgaben - lernen mit Serlo!

Überlege und begründe, ob die vier Ebenen ein Volumen einschließen, und berechne dieses gegebenenfalls.

$E_{1}:\;\dfrac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\right]=0$
$E_{2}:\;\dfrac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\right]=0$
$E_{3}:\;\dfrac{1}{\sqrt{101}}\begin{pmatrix}6\\7\\4\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\right]=0$
$E_{4}:\;\dfrac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\right]=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hessesche Normalenform
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Ebene 2 und Ebene 4 sind parallel zueinander. Man kann sich überlegen, dass man dann mindestens drei weitere Ebenen braucht, um ein Volumen einzuschließen.
Wenn wir ein Zimmer mit einer Decke und einem Boden haben (die parallel zueinander sind), braucht man ja auch mindestens 3 (ebene) Wände, um ein richtiges Zimmer zu haben.
$E_{1}:\;\frac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\right]=0$
$E_{2}:\;\frac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}-1\\2\\3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\right]=0$
$E_{3}:\;\frac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\right]=0$
$E_{4}:\;\frac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\right]=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hessesche Normalenform
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Der Punkt $\mathrm A\left(1\;\left|\;2\;\left|\;3\right.\right.\right)$ liegt in allen vier Ebenen. Man kann sich bildlich überlegen, dass die Ebenen dann kein Volumen einschließen können.
Eine Beweisidee ginge zum Beispiel so:
Wenn wir ein eingeschlossenes Volumen hätten und der Punkt $\mathrm B\left(e\;\left|\;f\;\left|\;g\right.\right.\right)$ eingeschlossen wäre, würde jede Gerade, die durch den Punkt B geht, mindesten zwei unterschiedliche Schnittpunkte mit den Ebenen haben. Da die Gerade durch die Ränder des eingeschlossenen Volumens geht. Betrachten wir die Gerade, die durch die Punkte A und B geht.
$g:\;\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix}e-1\\f-2\\g-3\end{pmatrix}$
Die Gerade schneidet alle Ebenen in dem Punkt A. Wir wissen, dass jede Gerade eine Ebene nur ein mal schneiden kann (oder Teil von ihr ist). Also gibt es keinen anderen Schnittpunkt mit den Ebenen und der Geraden $g$ . Also gibt es keinen anderen Rand vom eingeschlossen Volumen, also kann B in keinem eingeschlossenen Volumen sein, was ein Widerspruch ist.
$E_{1}:\;\frac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\right]=0$
$E_{2}:\;\frac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}-1\\2\\3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\right]=0$
$E_{3}:\;\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}7\\8\\9\end{pmatrix}\right]=0$
$E_{4}:\;\frac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right]=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen zwischen 3 Ebenen
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Man sieht, dass die Normalenvektoren der ersten drei Ebenen linear abhängig voneinander sind.
$\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}$
Das bedeutet insbesondere, dass die drei Normalenvektoren in einer Ebenen liegen. Bestimmen wir von dieser Ebene jetzt wiederum den Normalenvektor:
$\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}-1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\cdot3-6\cdot2\\6\cdot(-1)-0\cdot3\\0\cdot2-0\cdot(-1)\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-12\\-6\\0\end{pmatrix}$
Dieser Vektor ist für unser Problem entscheidend!
Betrachten wir die Geradenschar $g$ , die von diesem Vektor aufgespannt wird:
$g:\;\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e\\f\\g\end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix}-12\\-6\\0\end{pmatrix}$
Jede dieser Geraden ist parallel zu den ersten drei Ebenen dieser Teilaufgabe (oder Teil von mindesten einer der Ebenen). Denn die Geradenschar ist ja grade so festgelegt, dass der Span-Vektor senkrecht auf den Normalenvektoren der ersten drei Ebenen steht. Was die Bedingung für Parallelität von Gerade und Ebene ist.
Wenn jetzt der Punkt $\mathrm P\left(a\;\left|\;b\;\left|\;c\right.\right.\right)$ Teil eines eingeschlossenen Gebiets ist, muss jede Gerade, die durch den Punkt P geht, mindesten zwei Ebenen der vier gegebenen Ebenen schneiden, da es jede Gerade sein muss, können wir auch eine aus der Geradenschar $g$ nehmen.
$g_P:\;\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix}-12\\-6\\0\end{pmatrix}$
Diese Gerade schneidet jedoch die Ebenen $E_{1}$ , $E_{2}$ und $E_{3}$ nicht. Also kann sie nur die Ebene 4 schneiden. Diese kann sie jedoch nur ein mal schneiden. Also kann der allgemeine Punkt nicht Teil eines eingeschlossenen Volumens sein. Also gibt es keine eingeschlossenen Volumen.
Räumlich kann man sich vorstellen, dass die Ebenen $E_{1}$ , $E_{2}$ und $E_{3}$ einen unendlich langen geraden Tunnel erzeugen, diesen kann man nicht mit einer Wand (Ebenen) zu einem Zimmer machen.
$E_{1}:\;\frac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\right]=0$
$E_{2}:\;\frac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}-1\\2\\3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\right]=0$
$E_{3}:\;\frac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}7\\8\\9\end{pmatrix}\right]=0$
$E_{4}:\;\frac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\right]=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenberechnung in der analytischen Geometrie
Um die Schnittpunkte der Ebenen zu bestimmen, bringst du zunächst die Ebenen in Koordinatenform:
$E_{1}:\;\frac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\right]=0$
$E_{1}:\;\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1-1\\x_2-2\\x_3-3\end{pmatrix}\right]=0 \newline E_{1}:\;1\cdot(x_1-1)+(-2)\cdot(x_2-2)+3\cdot(x_3-3)=0 \newline E_{1}:\;(x_1-1)+(-2x_2+4)+(3x_3-9)=0 \newline E_{1}:\;x_1-2x_2+3x_3=6$
Analog:
$E_{2}:\;-x_1+2x_2+3x_3=24$
$E_{3}:\;x_1+2x_2-3x_3=-4$
$ E_{4}:\;x_1+2x_2+3x_3=0$
Jetzt bestimmst du $\mathrm A\left(x_1\;\left|\;x_2\;\left|\;x_3\right.\right.\right)$ als Schnittpunkt der Ebenen $E_{1}$ , $E_{2}$ und $E_{3}$ .
Diese geschieht, indem du die drei Ebenen als Gleichungen eines linearen Gleichungssystems auffasst. In diesem Beispiel kann man sie addieren, um die Unbekannten zu bestimmen.
$E_1+E_2\Rightarrow6x_3=30\Rightarrow x_3=5$
$E_1+E_3 \Rightarrow 2x_1=2 \Rightarrow x_1=1$
$E_2+E_3 \Rightarrow 4x_2=20 \Rightarrow x_2=5$
Somit ist der Punkt $\mathrm A\left(1\;\left|\;5\;\left|\;5\right.\right.\right)$ eindeutig bestimmt.
Analog lassen sich
$\mathrm B\left(-12\;\left|\;5\;\left|\;\frac{2}{3}\right.\right.\right)$ als Schnittpunkt der Ebenen $E_{2}$ , $E_{3}$ und $E_{4}$ ,
$\mathrm C\left(-12\;\left|\;-\frac{3}{2}\;\left|\;5\right.\right.\right)$ als Schnittpunkt der Ebenen $E_{1}$ , $E_{2}$ und $E_{4}$ und
$\mathrm D\left(1\;\left|\;-\frac{3}{2}\;\left|\;\frac{2}{3}\right.\right.\right)$ als Schnittpunkt der Ebenen $E_{1}$ , $E_{3}$ und $E_{4}$ bestimmen.
Setze jetzt in die Volumenformel ein:
$V=\frac{1}{6}\left| \det\left(\overrightarrow{ A B},\;\overrightarrow{ A C},\;\overrightarrow{ A D}\right)\right|\\[2ex] \phantom{V}= \frac{1}{6}\left| \det\left(\begin{pmatrix}-12\\5\\\frac{2}{3}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\5\\5\end{pmatrix},\;{ \begin{pmatrix}-12\\-\frac{3}{2}\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\5\\5\end{pmatrix} },\;\begin{pmatrix}1\\-\frac{3}{2}\\\frac{2}{3}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\5\\5\end{pmatrix}\right)\right|$
$\phantom{V}= \frac{1}{6}\left| \det\left(\begin{pmatrix}-13\\[2ex]0\\[2ex]-\dfrac{13}{3}\end{pmatrix},\; { \begin{pmatrix}-13\\[2ex]-\dfrac{13}{2}\\[2ex]0\end{pmatrix}},\; \begin{pmatrix}0\\[2ex]-\dfrac{13}{2}\\[2ex]-\dfrac{13}{3}\end{pmatrix} \right)\right|$
$\phantom{V}= \frac{1}{6}\left|-13 \cdot (-\frac{13}{2})\cdot (-\frac{13}{3})+(-13) \cdot (-\frac{13}{2})\cdot(- \frac{13}{3})+0-0-0-0 \right|$
$\phantom{V}= \frac{1}{6}\left|-13^3 \cdot\frac{1}{3} \right|$
$\phantom{V}=\dfrac{2197}{18}$
$\phantom{V}\approx 122$
Das eingeschlossene Volumen ist etwa $122$ $\text{VE}$ groß.
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Der Körper, der entsteht, wenn wir vier Ebenen schneiden, ist eine Pyramide mit vier Seiten, also ein Tetraeder.
Das Volumen eines Tetraeders berechnet man in der analytischen Geometrie am einfachsten über die Determinante der aufspannenden Vektoren:
$\displaystyle V=\frac{1}{6}\left| \det\left(\overrightarrow{ A B},\;\overrightarrow{ A C},\;\overrightarrow{ A D}\right)\right|,$
wobei die Punkte $A$ , $B$ , $C$ und $D$ die Eckpunkte des Tetraeders sind. Diese sind in unserem Fall auch die Punkte an denen sich jeweils drei Ebenen schneiden.

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