Aufgaben zum Thema Unabhängigkeit von Ereignissen

1

An Freitagen fehlen David und Clara oft in der Schule, und zwar David mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,3 und Clara mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,45. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide anwesend sind, beträgt nur 0,4. Sind die Abwesenheit von David und Clara unabhängige Ereignisse?

2

In einer Urne sind 9 schwarze, 5 blaue und 3 rote Kugeln. Viermal wird mit Zurücklegen gezogen. Beweise, dass die Ereignisse A: "Blau beim ersten Zug" und B:"Kein Schwarz bei 4. Zug" unabhängig sind.

3

Bei einem Preisausschreiben gibt es 6 Gewinner, auf die 3 Laptops und 3 Fernseher verteilt werden sollen. Dies soll durch das Werfen einer Münze geschehen, wobei Kopf einem Fernseher und Zahl einem Laptop entspricht. Nacheinander wird für die Gewinner geworfen, bis keine Auswahlmöglichkeit mehr besteht, da nur noch entweder Laptops oder Fernseher verfügbar sind.

  1. Hat nach diesem System jeder Gewinner die gleichen Chancen auf einen Laptop?

  2. Ist es für je zwei der Gewinner gleichwahrscheinlich, einen Fernseher zu erhalten?

4

Eine Urne enthält 4 grüne und 7 gelbe Kugeln, eine andere 2 grüne und 9 gelbe Kugeln.

  1. Aus jeder der beiden Urnen wird eine Kugel gezogen. Wie lautet eine Unabhängigkeitsannahme und wie ist diese zu begründen?

  2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln grün sind?

  3. Die Urneninhalte werden zusammengefügt und mit Zurücklegen wird dreimal gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind alle drei Kugeln grün?

5

Kim, Alex und Charlie versuchen einen Trick auf dem Skateboard. Da sie unterschiedlich lang skaten, ist ihre Wahrscheinlichkeit, den Trick zu schaffen, nicht gleich hoch. Sie schaffen ihn, unabhängig voneinander, mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4 (Kim); 0,6 (Alex) und 0,8 (Charlie). Wie wahrscheinlich ist es, dass

  1. keiner ihn schafft?

  2. mindestens einer ihn schafft?

  3. genau einer den Trick schafft?

6

Als Zufallsexperiment wird ein Laplace-Würfel ein Mal geworfen und als zugehöriger Ergebnisraum Ω={;;;;;}\Omega = \{{\Large ⚀}; {\Large ⚁}; {\Large ⚂}; {\Large ⚃}; {\Large ⚄}; {\Large ⚅}\} betrachtet.

Gib die Ereignisse AA: "Würfel zeigt gerade Augenzahl" und BB: "Würfel zeigt durch 3 teilbare Augenzahl", ihre Gegenereignisse Aˉ\bar{A} und Bˉ\bar{B} sowie die Verknüpfungen ABA\cap B, ABA\cup B und ABA\setminus B in Mengenschreibweise an!

Prüfe die Ereignisse AA und BB anschließend auf (stochastische) Unabhängigkeit!

7

Herr Müller kommt im Durchschnitt an 8 von 100 Tagen zu spät zur Arbeit. Zu seiner Arbeitsstätte fährt er manchmal mit dem eigenen Auto, an 60% aller Arbeitstage nimmt er jedoch öffentliche Verkehrsmittel. Er hat beobachtet, dass er durchschnittlich in 5% aller Fälle mit dem Auto unterwegs ist und zu spät zur Arbeit kommt.

Sind das Zu-Spät-Kommen und die Nutzung des eigenen Autos voneinander stochastisch unabhängig?

8

Eine Urne enthält 44 grüne und 77 gelbe Kugeln, eine andere 22 grüne und 99 gelbe Kugeln.

  1. Aus jeder der beiden Urnen wird eine Kugel gezogen. Wie lautet eine Unabhängigkeitsannahme und wie ist diese zu begründen?

  2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln grün sind?

  3. Die Urneninhalte werden zusammengefügt und mit Zurücklegen wird dreimal gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind alle drei Kugeln grün?

9

Kim, Alex und Charlie versuchen einen Trick auf dem Skateboard. Da sie unterschiedlich lang skaten, ist ihre Wahrscheinlichkeit, den Trick zu schaffen, nicht gleich hoch. Sie schaffen ihn, unabhängig voneinander, mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4 (Kim); 0,6 (Alex) und 0,8 (Charlie). Wie wahrscheinlich ist es, dass

  1. keiner den Trick schafft?

  2. mindestens einer ihn schafft?

  3. genau einer den Trick schafft?


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