Aufgaben zur Primfaktorzerlegung

Hier lernst du die Primfaktorzerlegung besser kennen. Du zerlegst kleine und große Zahlen in ihre Primfaktoren.

1
Zerlege in Primfaktoren: 377208

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Primfaktorzerlegung
Erster möglicher Primfaktor von $377208$ ist $2$ .
$377208 : 2 = 188604$
Erster möglicher Primafktor von $188604$ ist $2$ .
$188604 : 2 = 94302$
Möglicher Primfaktor von $94302$ ist $2$ .
$94302 : 2 = 47151$
Möglicher Primfaktor von $47151$ ist $3$ .
$47151 : 3 = 15717$
Möglicher Primfaktor von $15717$ ist $3$ .
$15717 : 3 = 5239$
Möglicher Primfaktor von $5239$ ist $13$ .
$5239 : 13 = 403$
Möglicher Primfaktor von $403$ ist $13$ .
$403 : 13 = 31$
$31$ ist Primzahl und somit nicht weiter zerlegbar.
$377208=2^3\cdot3^2\cdot13^2\cdot31$
Jetzt hast du $377208$ vollständig in Primfaktoren zerlegt.
2
Zerlege 931 in Primfaktoren und bestimme mit Hilfe dieser Primfaktoren die Teilermenge T(931).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Primfaktorzerlegung
Hier geht es um die Primfaktorzerlegung und die Teilermenge.
Erster möglicher von $931$ Primfaktor ist $7$ .
$931 : 7 = 133$
Nächster möglicher Primfaktor ist 7.
$133 : 7 = 19$
Die Primfaktorzerlegung ist abgeschlossen.
$\Rightarrow931=7\cdot7\cdot19$
Teilermenge
Multipliziere alle Primfaktoren untereinander:
$\displaystyle 7\cdot7=49$
$\displaystyle 7\cdot19=133$
$\displaystyle 7\cdot7\cdot19=931$
Stelle dann die Teilermenge auf. Nehme die 1, die Primfaktoren und die gerade errechneten Produkte auf.
$T(931)=\{1;7;19;49;133;931\}$
3
Zerlege 11011 in Primfaktoren und bestimme die Teilermenge T(11011).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Primfaktorzerlegung
Primfaktorzerlegung und Teilermenge
Primfaktorzerlegung
$11011$
Da 11011 weder durch 2, 3 noch durch 5 teilbar ist, ist der erste mögliche Primfaktor 7.
$11011 : 7 = 1573$
Der nächste mögliche Primfaktor ist 11.
$1573 : 11 = 143$
Der nächste mögliche Primfaktor ist wiederum 11.
$143 : 11 = 13$
Die Primfaktorzerlegung ist damit abgeschlosssen.
$\Rightarrow11011=7\cdot11\cdot11\cdot13$
Teilermenge
Multipliziere alle Primfaktoren untereinander:
$\displaystyle 7\cdot11=77$
$\displaystyle 7\cdot13=91$
$\displaystyle 11\cdot11=121$
$\displaystyle 11\cdot13=143$
$\displaystyle 7\cdot11\cdot11=847$
$\displaystyle 7\cdot11\cdot13=1001$
$\displaystyle 11\cdot11\cdot13=1573$
$\displaystyle 7\cdot11\cdot11\cdot13=11011$
Stelle dann die Teilermenge auf. Nimm die 1, die Primfaktoren und die gerade errechneten Produkte auf.
$T(11011)=\{1;7;11;13;77;91;121;143;847;1001;1573;11011\}$
4
Zerlege in Primfaktoren: 945252000

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Primfaktorzerlegung
Primfaktorzerlegung
$945252000$
Da es sich um eine gerade Zahl handelt ist der erste mögliche Primfaktor 2.
$945252000 : 2 = 472626000$
Wiederum ist 2 ein möglicher Primfaktor.
$472626000 : 2 = 236313000$
Auch hier ist 2 ein möglicher Primfaktor.
$236313000 : 2 = 118156500$
Nochmals ist 2 ein möglicher Primfaktor.
$118156500 : 2 = 59078250$
Hier ist 2 ebenfalls ein möglicher Primfaktor.
$59078250 : 2 = 29539125$
Hier ist 3 ein möglicher Primfaktor.
$29539125 : 3 = 9846375$
Auch hier ist 3 ein möglicher Primfaktor.
$9846375 : 3 = 3282125$
Hier ist 5 ein möglicher Primfaktor.
$3282125 : 5 = 656425$
Hier ist 5 ebenfalls ein möglicher Primfaktor.
$656425 : 5 = 131285$
Nochmals ist 5 ein möglicher Primfaktor.
$131285 : 5 = 26257$
Hier ist 7 ein möglicher Pimfaktor.
$26257 : 7 = 3751$
Ein möglicher Primfaktor ist 11.
$3751 : 11 = 341$
Hier ist nochmals 11 ein möglicher Primfaktor.
$341 : 11 = 31$
$\Rightarrow2^5\cdot3^2\cdot5^3\cdot7\cdot11^2\cdot31$
5
Zerlege 3059 in Primfaktoren und bilde die Teilermenge T(3059).

Hier geht es um die Primfaktorzerlegung und die Teilermenge.
Primfaktorzerlegung
Erster möglicher Primfaktor bei $3059$ ist 7.
$3059 : 7 = 437$
Nächster möglicher Primfaktor ist 19.
$437 : 19 = 23$
Die Primfaktorzerlegung ist damit abgeschlossen.
$3059=7\cdot19\cdot23$
Teilermenge
Multipliziere alle Primfaktoren untereinander:
$\displaystyle 7\cdot19=133$
$\displaystyle 7\cdot23=161$
$\displaystyle 19\cdot23=437$
$\displaystyle 7\cdot19\cdot23=3059$
Stelle dann die Teilermenge auf. Nimm die 1, die Primfaktoren und die gerade errechneten Produkte auf.
$T(3059)=\left\{1;7;19;23;133;161;437;3059\right\}$
6
Ermittle die Anzahl der Teiler der Zahl 425?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Primfaktorzerlegung
Um die Teiler von $425$ zu bestimmen, zerlege die Zahl in ihre Primfaktoren:
$425=5^2 \cdot 17 = 5\cdot5\cdot17$
Die Zahl $1$ , die Primfaktoren und deren Produkte sind dann Teiler der Zahl $425$ .
In der Primfaktorzerlegung der Teiler kann der Faktor 5 insgesamt 0,1 oder 2-mal verwendet werden. Das sind 3 Möglichkeiten. Für den Faktor 17 haben wir nur die Wahl, ob wir ihn 0 oder 1-mal benutzen (2 Möglichkeiten). Insgesamt sind das
$3 \cdot 2 = 6$
also 6 mögliche Teiler, die sich aus den Primfaktoren bilden lassen.
7
Wie viele Zahlen lassen sich als Summe oder Differenz aus jeweils zwei der Primfaktoren der Zahl 114 bilden?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
Zerlege $114$ in Primfaktoren.
$114\ =2\cdot3\cdot19$
Die Primfaktoren der Zahl $114$ sind $2$ , $3$ und $19$ .
Summen
Aus den $3$ Zahlen $2$ , $3$ und $19$ lassen sich folgende Summen bilden:
$2 + 3 = 5$
$2 + 19 = 21$
$3 + 2 = 5$
$3+19=22^{ }$
$19 + 2 = 21$
$19 + 3 = 22$
Da die Addition kommutativ ist, ergeben je zwei der Möglichkeiten das gleiche Ergebnis (z.B. $2 + 3 = 5$ und $3 + 2 = 5$ )
Also lassen sich so insgesamt $3$ Zahlen durch Summenbildung darstellen: $5$ , $21$ und $22$ .
Es gibt also drei Möglichkeiten die Primfaktoren zu Addieren.
Differenzen
Aus den Zahlen $2$ , $3$ und $19$ lassen sich folgende Differenzen bilden:
$2 - 3 = - 1$
$2 - 19 = - 17$
$3 - 2 = 1$
$3 - 19 = - 16$
$19 - 2 = 17$
$19-3=16^{ }$
Alle Ergebnisse sind voneinander verschieden.
Es gibt also sechs Möglichkeiten die Primfaktoren zu subtrahieren.
Alle Möglichkeiten
Somit gibt es insgesamt $9$ Möglichkeiten Summen und Differenzen aus den Primfaktoren der Zahl $114$ zu bilden.
Diese wären:
$2 + 3 = 5$
$2 + 19 = 21 $
$3 + 19 = 22$
$2 - 3 = - 1 $
$2 - 19 = - 17 $
$3 - 19 = - 16 $
$3 - 2 = 1 $
$19 - 2 = 17 $
$19-3=16^{ }$
Da keines der Ergebnisse der Addition oder Subtraktion doppelt vorkommt, lassen sich durch Summen- und Differenzbildung der Primfaktoren von $114$ auch $9$ Zahlen erzeugen.
8
Zerlege die Zahl in Primfaktoren.
1. 96
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Primfaktorzerlegung
  Da die gegebene Zahl 96 eine gerade Zahl ist, kannst du auf jeden Fall einmal mit 2 als erstem Primfaktor beginnen:
  $\displaystyle 96:2=48$
  Ein nächster passender Teiler ist die 4:
  $\displaystyle 48:4=12$
  Ein nächster passender Teiler ist die 6:
  $\displaystyle 12:6=2$
  So ergibt folgende Zerlegung für 96:
  $\displaystyle 96=2\cdot4\cdot2\cdot 6$
  Allerdings ist dies noch keine Primfaktorzerlegung, da 4 und 6 keine Primzahlen sind.
  Deshalb musst du die 4 und die 12 noch weiter zerlegen:
  $\displaystyle 4=2\cdot 2$
  und:
  $\displaystyle 6= 2\cdot 3$
  $\displaystyle$
  Damit erhältst du als Primfaktorzerlegung für 96:
  
  $\displaystyle 96=2\cdot(2\cdot 2)\cdot2\cdot(2 \cdot 3)= 2^5 \cdot 3$
  Natürlich gibt es noch mehr Möglichkeiten, die Teiler und Primfaktoren der Reihe nach zu bestimmen, aber das Endergebnis ist immer dasselbe.
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2. 126
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Primfaktorzerlegung
  Da die gegebene Zahl 126 eine gerade Zahl ist, kannst du auf jeden Fall einmal mit 2 als erstem Primfaktor beginnen:
  $\displaystyle 126 : 2=63$
  Ein nächster passender Teiler ist die 3:
  $\displaystyle 63:3=21$
  Ein nächster passender Teiler ist erneut die 3:
  $\displaystyle 21:3=7$
  Die Zahl 7 ist bereits eine Primzahl, die Primfaktorzerlegung ist damit abgeschlossen.
  $\displaystyle 126=2\cdot3^2\cdot7$
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3. 250
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Primfaktorzerlegung
  Da die gegebene Zahl 250 ist, kannst du auf jeden Fall einmal mit 5 als erstem Primfaktor beginnen denn die Zahl endet mit einer Null. Alle Zahlen die mit der Null enden kann man durch 5 rechnen, Aber du kannst auch mit deinem gewählten Faktor anfangen.
  $\displaystyle 250:5=50$
  Ein nächster passender Primfaktor ist erneut die 5:
  $\displaystyle 50:5=10$
  Ein nächster passender Primfaktor ist die 2:
  $\displaystyle 10:2=5$
  So ergibt sich folgende Primfaktorzerlegung für 250:
  $\displaystyle =>250=2\cdot 5\cdot5\cdot5=2\ \cdot\ 5^3$
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4. 36
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Primfaktorzerlegung
  Da die gegebene Zahl 36 eine gerade Zahl ist, kannst du auf jeden Fall einmal mit 2 als erstem Primfaktor beginnen:
  $\displaystyle 36:2=18$
  Ein nächster passender Primfaktor ist wieder die 2:
  $\displaystyle 18:2=9$
  Ein nächster passender Primfaktor ist die 3:
  $\displaystyle 9:3=3$
  So ergibt sich die folgende Primfaktorzerlegung.
  $\displaystyle \Rightarrow36=2\cdot2\cdot3\cdot3=2^{2\ }\cdot\ 3^2$
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5. 42
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Primfaktorzerlegung
  Ein erster möglicher Primfaktor ist 7:
  $\displaystyle 42:7=6$
  Ein nächster passender Primfaktor ist die 3:
  $\displaystyle 6:3=2$
  Damit erhälst du als Primfaktorzerlegung für 42:
  $\displaystyle \Rightarrow42=7\cdot3\cdot2$
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9
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Berechne die Primfaktorzerlegungen folgender Zahlen:
1. 57
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Primfaktorzerlegung
  Beachte die Quersumme von 57 ist 12. 12 ist durch 3 teilbar.
  $57 : 3 = 19$
  Die Primzahlzerlegung von 57 ist $3\cdot19$ .
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2. 225
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Primfaktorzerlegung
  Alle Zahlen, die auf 5 enden, sind durch 5 teilbar.
  $225 : 5 = 45$
  $45 : 5 = 9$
  $9 : 3 = 3$
  Die Primzahlzerlegung von lautet $225 = 3\cdot3\cdot5\cdot5$
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3. 13
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Primfaktorzerlegung
  Die 13 ist eine Primzahl.
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4. 24
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Primfaktorzerlegung
  $24$
  $\Rightarrow$ Erster möglicher Primfaktor ist 2.
  $24 : 2 = 12$
  $\Rightarrow$ Möglicher Primfaktor ist 2.
  $12 : 2 = 6$
  $\Rightarrow$ Möglicher Primfaktor 2.
  $6 : 2 = 3$
  $\Rightarrow24=2\cdot2\cdot2\cdot3$
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5. 238
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Primfaktorzerlegung
  $238$
  $\Rightarrow$ Erster möglicher Primfaktor ist 2.
  $238 : 2 = 119$
  $\Rightarrow$ Möglicher Primfaktor ist 7.
  $119 : 7 = 17$
  $\Rightarrow238=2\cdot7\cdot17$
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6. 456
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Primfaktorzerlegung
  $456$
  $\Rightarrow$ Erster möglicher Primfaktor ist 2.
  $456 : 2 = 228$
  $\Rightarrow$ Nächster möglicher Primfaktor ist 2.
  $228 : 2 = 114$
  $\Rightarrow$ Nächster möglicher Primfaktor ist 2.
  $114 : 2 = 57$
  $\Rightarrow$ Nächster möglicher Primfaktor ist 3.
  $57 : 3 = 19$
  $\Rightarrow$ Die Primfaktorzerlegung ist abgeschlossen.
  $\Rightarrow456=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot19$
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Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
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Aufgaben zur Primfaktorzerlegung

Teilermenge

Primfaktorzerlegung und Teilermenge

Primfaktorzerlegung

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Primfaktorzerlegung

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