Flächeninhalt und bestimmtes Integral

$f_t(x)=-\frac19(t-3)x^2+t,D_{f_t}=\mathbb{R},\;t\in\mathbb{R}$

Berechne den Inhalt der Fläche, die zwischen der x-Achse und $G_{f_t}$ liegt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen

$\displaystyle f_t(x)$	$=$	$\displaystyle -\frac19(t-3)x^2+t$
	↓	Setze die Funktion $f_t$ gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -\frac19(t-3)x^2+t$
	↓	Man löst die Klammer auf.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -\frac{t\cdot x^2}9+\frac{3\cdot x^2}9+t$	$\displaystyle -t;\;\cdot9$
$\displaystyle -9\cdot t$	$=$	$\displaystyle -t\cdot x^2+3\cdot x^2$
	↓	$x^2$ ausklammern.
$\displaystyle -9\cdot t$	$=$	$\displaystyle x^2\cdot\left(-t+3\right)$
	↓	$\vert:(-t+3)$ für alle $t\neq3.$ Sonderfall: $t=3$ $\Rightarrow$ $f_{3}=3$ konstant ohne Nullstelle.
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle \frac{-9\cdot t}{-t+3}$
	↓	Ziehe die Wurzel, um die Nullstellen zu bestimmen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}$
	↓	Die Wurzel ist nur für nicht negativen Radikanten definiert. Dieser ist positiv, wenn $t>3$ oder $t<0$ ist. Für diesen Fall existieren also zwei Nullstellen.

Falls $t=0$ ist, gibt es lediglich eine Nullstelle.

Eine Fläche wird also nur im Fall $t>3$ oder $t<0$ eingeschlossen. Diese wird dann mit einem bestimmten Integral bestimmt.

$\displaystyle A'$	$=$	$\displaystyle \int\limits_{-\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}}^{\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}}\left(-\frac{t\cdot x^2}9+\frac{3\cdot x^2}9+t\right)\mathrm{d}x$
	↓	Nun wird die gesuchte Fläche $A=\|A'\|$ mittels Integration bestimmt.
	$=$	$\displaystyle \left[-\frac{t\cdot x^3}{9\cdot3}+\frac{3\cdot x^3}{9\cdot3}+tx\right]_{-\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}}^{\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}}$
	$=$	$\displaystyle \left[-\frac{t\cdot x^3}{27}+\frac{x^3}9+tx\right]_{-\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}}^{\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}}$
	$=$	$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \begin{array}{l}\left(-\frac{t\cdot\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}^3}{27}+\frac{\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}^3}9+t\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}\right)\\-\left(-\frac{t\cdot\left(-\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}\right)^3}{27}+\frac{\left(-\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}\right)^3}9+t\left(-\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}\right)\right)\end{array}$
	↓	In den nächsten Schritten werden Klammern aufgelöst, Hauptnenner (27) gebildet und alle Elemente auf diesen erweitert.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-t\cdot\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}^3+3\cdot\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}^3+27\cdot t\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}-t\cdot\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}^3+3\cdot\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}^3+27\cdot t\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}}{27}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-2\cdot t\cdot\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}^3+6\cdot\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}^3+54\cdot t\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}}{27}$
	↓	Man fasst die Summanden, wenn möglich, zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-2\cdot t\cdot\left(\dfrac{9\cdot t}{t-3}\right) \sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}+6\cdot\left(\dfrac{9\cdot t}{t-3}\right) \sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}+54\cdot t\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}}{27}$
	↓	Klammere $\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}$ aus.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}\left(-2\cdot t\cdot\left(\dfrac{9\cdot t}{t-3}\right) +6\cdot\left(\dfrac{9\cdot t}{t-3}\right) +54\cdot t\right)}{27}$
	↓	Fasse zusammen und erweitere den letzten Term.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}\left(\dfrac{-18\cdot t^2}{t-3} +\dfrac{54\cdot t}{t-3} +\dfrac{54\cdot t\cdot(t-3}{t-3}\right)}{27}$
	↓	Fasse die Bruchterme zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}\left(\dfrac{-18\cdot t^2+54\cdot t+54\cdot t^2-162\cdot t}{t-3} \right)}{27}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}\left(\dfrac{36\cdot t^2-108\cdot t}{t-3} \right)}{27}$
	↓	Klammere $36\cdot t$ aus.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}\cdot36\cdot t\left(\dfrac{ t-3}{t-3} \right)}{27}$
	↓	Kürze.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4}{3}\cdot t\cdot\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}$

Die eingeschlossene Fläche beträgt $A(t)=\left|\dfrac{4}{3}\cdot t\cdot\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}\right|\;\text{FE}$

Diese eingeschlossene Fläche ist ein bestimmtes Integral, falls $t\in\mathbb{R}\backslash\lbrack0;3\rbrack$ .

Anschaulich schließen $f$ und die x-Achse für $t\in\lbrack0;3\rbrack$ keine Fläche ein.

Die folgenden zwei Abbildungen gehören nicht zur Aufgabenstellung, sie dienen nur zur Veranschaulichung.

Eine Fläche wird nur im Fall $t>3$ oder $t<0$ eingeschlossen.

Zum Beispiel erhält man für $t=4$ die Funktion $f_4(x)=-\frac19x^2+4$

Die eingeschlossene Fläche liegt oberhalb der x-Achse und ist somit positiv. Die Fläche beträgt dann:

$\displaystyle A(4)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{4}{3}\cdot 4\cdot\sqrt{\frac{9\cdot 4}{4-3}}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{16}{3}\cdot\sqrt{\dfrac{36}{1}}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{16\cdot6}{3}$
	$=$	$\displaystyle 32\;\text{FE}$

Für $t=-2{,}4$ erhält man die Funktion

$\displaystyle f_{-2{,}4}(x)$	$=$	$\displaystyle -\frac19(-2{,}4-3)x^2-2{,}4$
	$=$	$\displaystyle 0{,}6x^2-2{,}4$

Die eingeschlossene Fläche liegt unterhalb der x-Achse. Deshalb wird der Betrag verwendet. Die Fläche beträgt dann:

$\displaystyle A(-2{,}4)$	$=$	$\displaystyle \left\|\dfrac{4}{3}\cdot (-2{,}4)\cdot\sqrt{\frac{9\cdot(-2{,}4)}{-2{,}4-3}}\right\|$
	$=$	$\displaystyle \left\|-3{,}2\cdot \sqrt{\dfrac{-21{,}6}{-5{,}4}}\right\|$
	↓	Berechne den Bruch.
	$=$	$\displaystyle \left\|-3{,}2\cdot \sqrt{4}\right\|$
	↓	Ziehe die Wurzel und fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \|-6{,}4\|$
	$=$	$\displaystyle 6{,}4\;\text{FE}$

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