Flächeninhalt und bestimmtes Integral

$f_{t} (x) = - \frac{1}{9} (t - 3) x^{2} + t, D_{f_{t}} = ℝ, t \in ℝ$

Berechne den Inhalt der Fläche, die zwischen der x-Achse und $G_{f_{t}}$ liegt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen

$f_{t} (x)$	$=$	$- \frac{1}{9} (t - 3) x^{2} + t$
	↓	Setze die Funktion $f_{t}$ gleich 0.
$0$	$=$	$- \frac{1}{9} (t - 3) x^{2} + t$
	↓	Man löst die Klammer auf.
$0$	$=$	$- \frac{t \cdot x^{2}}{9} + \frac{3 \cdot x^{2}}{9} + t$	$- t; \cdot 9$
$- 9 \cdot t$	$=$	$- t \cdot x^{2} + 3 \cdot x^{2}$
	↓	$x^{2}$ ausklammern.
$- 9 \cdot t$	$=$	$x^{2} \cdot (- t + 3)$
	↓	$\| : (- t + 3)$ für alle $t \neq 3.$ Sonderfall: $t = 3$ $\Rightarrow$ $f_{3} = 3$ konstant ohne Nullstelle.
$x^{2}$	$=$	$\frac{- 9 \cdot t}{- t + 3}$
	↓	Ziehe die Wurzel, um die Nullstellen zu bestimmen.
$x$	$=$	$\pm \sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}$
	↓	Die Wurzel ist nur für nicht negativen Radikanten definiert. Dieser ist positiv, wenn $t > 3$ oder $t < 0$ ist. Für diesen Fall existieren also zwei Nullstellen.

Falls $t = 0$ ist, gibt es lediglich eine Nullstelle.

Eine Fläche wird also nur im Fall $t > 3$ oder $t < 0$ eingeschlossen. Diese wird dann mit einem bestimmten Integral bestimmt.

$A^{'}$	$=$	$\int_{- \sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}}^{\sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}} (- \frac{t \cdot x^{2}}{9} + \frac{3 \cdot x^{2}}{9} + t) d x$
	↓	Nun wird die gesuchte Fläche $A = \| A^{'} \|$ mittels Integration bestimmt.
	$=$	${[- \frac{t \cdot x^{3}}{9 \cdot 3} + \frac{3 \cdot x^{3}}{9 \cdot 3} + t x]}_{- \sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}}^{\sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}}$
	$=$	${[- \frac{t \cdot x^{3}}{27} + \frac{x^{3}}{9} + t x]}_{- \sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}}^{\sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}}$
	$=$	$\begin{array}{l} (- \frac{t \cdot {\sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}}^{3}}{27} + \frac{{\sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}}^{3}}{9} + t \sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}) \\ - (- \frac{t \cdot {(- \sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}})}^{3}}{27} + \frac{{(- \sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}})}^{3}}{9} + t (- \sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}})) \end{array}$
	↓	In den nächsten Schritten werden Klammern aufgelöst, Hauptnenner (27) gebildet und alle Elemente auf diesen erweitert.
	$=$	$\frac{- t \cdot {\sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}}^{3} + 3 \cdot {\sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}}^{3} + 27 \cdot t \sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}} - t \cdot {\sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}}^{3} + 3 \cdot {\sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}}^{3} + 27 \cdot t \sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}}{27}$
	$=$	$\frac{- 2 \cdot t \cdot {\sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}}^{3} + 6 \cdot {\sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}}^{3} + 54 \cdot t \sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}}{27}$
	↓	Man fasst die Summanden, wenn möglich, zusammen.
	$=$	$\frac{- 2 \cdot t \cdot (\frac{9 \cdot t}{t - 3}) \sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}} + 6 \cdot (\frac{9 \cdot t}{t - 3}) \sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}} + 54 \cdot t \sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}}{27}$
	↓	Klammere $\sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}$ aus.
	$=$	$\frac{\sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}} (- 2 \cdot t \cdot (\frac{9 \cdot t}{t - 3}) + 6 \cdot (\frac{9 \cdot t}{t - 3}) + 54 \cdot t)}{27}$
	↓	Fasse zusammen und erweitere den letzten Term.
	$=$	$\frac{\sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}} (\frac{- 18 \cdot t^{2}}{t - 3} + \frac{54 \cdot t}{t - 3} + \frac{54 \cdot t \cdot (t - 3}{t - 3})}{27}$
	↓	Fasse die Bruchterme zusammen.
	$=$	$\frac{\sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}} (\frac{- 18 \cdot t^{2} + 54 \cdot t + 54 \cdot t^{2} - 162 \cdot t}{t - 3})}{27}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{\sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}} (\frac{36 \cdot t^{2} - 108 \cdot t}{t - 3})}{27}$
	↓	Klammere $36 \cdot t$ aus.
	$=$	$\frac{\sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}} \cdot 36 \cdot t (\frac{t - 3}{t - 3})}{27}$
	↓	Kürze.
	$=$	$\frac{4}{3} \cdot t \cdot \sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}}$

Die eingeschlossene Fläche beträgt $A (t) = | \frac{4}{3} \cdot t \cdot \sqrt{\frac{9 \cdot t}{t - 3}} | FE$

Diese eingeschlossene Fläche ist ein bestimmtes Integral, falls $t \in ℝ \ [0; 3]$ .

Anschaulich schließen $f$ und die x-Achse für $t \in [0; 3]$ keine Fläche ein.

Die folgenden zwei Abbildungen gehören nicht zur Aufgabenstellung, sie dienen nur zur Veranschaulichung.

Eine Fläche wird nur im Fall $t > 3$ oder $t < 0$ eingeschlossen.

Zum Beispiel erhält man für $t = 4$ die Funktion $f_{4} (x) = - \frac{1}{9} x^{2} + 4$

Die eingeschlossene Fläche liegt oberhalb der x-Achse und ist somit positiv. Die Fläche beträgt dann:

$A (4)$	$=$	$\frac{4}{3} \cdot 4 \cdot \sqrt{\frac{9 \cdot 4}{4 - 3}}$
	$=$	$\frac{16}{3} \cdot \sqrt{\frac{36}{1}}$
	$=$	$\frac{16 \cdot 6}{3}$
	$=$	$32 FE$

Für $t = - 2,4$ erhält man die Funktion

$f_{- 2,4} (x)$	$=$	$- \frac{1}{9} (- 2,4 - 3) x^{2} - 2,4$
	$=$	$0,6 x^{2} - 2,4$

Die eingeschlossene Fläche liegt unterhalb der x-Achse. Deshalb wird der Betrag verwendet. Die Fläche beträgt dann:

$A (- 2,4)$	$=$	$\| \frac{4}{3} \cdot (- 2,4) \cdot \sqrt{\frac{9 \cdot (- 2,4)}{- 2,4 - 3}} \|$
	$=$	$\| - 3,2 \cdot \sqrt{\frac{- 21,6}{- 5,4}} \|$
	↓	Berechne den Bruch.
	$=$	$\| - 3,2 \cdot \sqrt{4} \|$
	↓	Ziehe die Wurzel und fasse zusammen.
	$=$	$\| - 6,4 \|$
	$=$	$6,4 FE$

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