Aufgaben zu Wurzelgleichungen - lernen mit Serlo!

1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen

Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.

$\textcolor{009999}{\sqrt{5-4x^2}}$ : Prüfe, wann der Radikand $5-4x^2$ größer oder gleich null ist.

$\displaystyle 5-4x^2$	$≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4x^2$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 5$	$≥$	$\displaystyle 4x^2$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle \dfrac{5}{4}$	$≥$	$\displaystyle x^2$

Du hast die Ungleichung $x^2\leq \dfrac{5}{4}$ erhalten. Sie ist wahr, wenn $x\in \Bigg[-\sqrt{\dfrac{5}{4}};+\sqrt{\dfrac{5}{4}}\Bigg]$ .

Der Gültigkeitsbereich für die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.

Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung $\textcolor{009999}{\underbrace{\sqrt{5-4x^2}}_{-\sqrt{\frac{5}{4}}\leq x\leq\sqrt{\frac{5}{4}}}}=x^2$ ist:

\displaystyle \textcolor{009999}{\mathbb D=\Big[-\sqrt{50};+\sqrt{50}\Big]}

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x\in\textcolor{009999}{ \mathbb D}$ ist.

2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.

Das ist hier bereits der Fall.

3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren

$\displaystyle \sqrt{5-4x^2}$	$=$	$\displaystyle x^2$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle 5-4x^2$	$=$	$\displaystyle x^4$	$\displaystyle +4x^2-5$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^4+4x^2-5$

4. Erhaltene Gleichung lösen

Du hast eine biquadratische Gleichung $x^4+4x^2-5 =0$ erhalten.

Diese Gleichung lässt sich lösen, indem man $x^2$ durch $z$ ersetzt (substituiert).

Da $x^4=\left(x^2\right)^2$ ist, wird $x^4$ durch die Substitution zu $z^2$ .

\displaystyle \textcolor{009999}{\mathbb D=\Big[-\sqrt{50};+\sqrt{50}\Big]}

Du hast nun die quadratische Gleichung $\displaystyle z^2+4z-5=0$ erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.

Lies die Werte für $p$ und $q$ ab:

$p=4$ und $q=-5$

Setze die Werte in die pq-Formel ein:

$\displaystyle z_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p=4$ und $q=-5$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{4}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{4}{2}\right)^2-(-5)}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle -{2}\pm\sqrt{{4}+5}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle -{2}\pm\sqrt{9}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle -{2}\pm3$
$\displaystyle z_1$	$=$	$\displaystyle -5$
$\displaystyle z_2$	$=$	$\displaystyle 1$

Du hast die beiden Werte $z_1=-5$ und $z_2=1$ erhalten. Nun muss wieder resubstituiert werden: $x=\pm\sqrt{z}$

Da $x^2=z$ (also $x=\pm\sqrt z$ ) gesetzt wurde, können nun die Lösungen der ursprünglichen Gleichung bestimmt werden:

$z_1=-5$ also ist $x^2=-5\;\Rightarrow\;$ keine Lösung

$z_2=1$ also ist $x^2=1\;\Rightarrow\; x_{1{,}2}=\pm\sqrt{1}=\pm1$

Somit ist $x=-1$ und/oder $x=1$ .

Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich $\mathbb D=\Bigg[-\sqrt{\dfrac{5}{4}};+\sqrt{\dfrac{5}{4}}\Bigg]$ für die Wurzel:

$-1\geq-\sqrt{\dfrac{5}{4}}\approx -1{,}12$ und $1\leq\sqrt{\dfrac{5}{4}}\approx 1{,}12$

5. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen

Probe für $x=-1$ :

Setze $x=-1$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{5-4x^2}=x^2$ ein:

$\displaystyle \sqrt{5-4\cdot(-1)^2}$	$=$	$\displaystyle (-1)^2$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{5-4}$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{1}$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Ziehe die Wurzel
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 1$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist $x=-1$ Lösung der Wurzelgleichung.

Probe für $x=1$ :

Setze $x=1$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{5-4x^2}=x^2$ ein:

$\displaystyle \sqrt{5-4\cdot1^2}$	$=$	$\displaystyle 1^2$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{5-4}$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{1}$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Ziehe die Wurzel
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 1$

Du hast wieder eine wahre Aussage erhalten. Somit ist auch $x=1$ Lösung der Wurzelgleichung.

6. Lösungsmenge angeben

\displaystyle \textcolor{009999}{\mathbb D=\Big[-\sqrt{50};+\sqrt{50}\Big]}

1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen

2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.

3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren

4. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen

5. Lösungsmenge angeben

Hast du eine Frage oder Feedback?

1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen

2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.

3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren

4. Erhaltene Gleichung lösen

5. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen

6. Lösungsmenge angeben

Hast du eine Frage oder Feedback?

$\displaystyle 50-x^2$	$≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +x^2$
$\displaystyle 50$	$≥$	$\displaystyle x^2$

$\displaystyle \sqrt{50-x^2}$	$=$	$\displaystyle x$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$\displaystyle 50-x^2$	$=$	$\displaystyle x^2$	$\displaystyle +x^2$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 50$	$=$	$\displaystyle 2x^2$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle 25$	$=$	$\displaystyle x^2$	$\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm 5$

$\displaystyle \sqrt{50-(-5)^2}$	$=$	$\displaystyle -5$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{50-25}$	$=$	$\displaystyle -5$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{25}$	$=$	$\displaystyle -5$
	↓	Ziehe die Wurzel
$\displaystyle 5$	$=$	$\displaystyle -5$

$\displaystyle \sqrt{50-5^2}$	$=$	$\displaystyle 5$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{50-25}$	$=$	$\displaystyle 5$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \sqrt{25}$	$=$	$\displaystyle 5$
	↓	Ziehe die Wurzel
$\displaystyle 5$	$=$	$\displaystyle 5$